数学分析极限与连续

1、第二章 极限与连续一、本章知识脉络框图数列极限的定义收敛数列的基本性质收敛数列极限的计算柯西准则判定极限是否存在一元函数极限的定义一元函数极限的基本性质一元函数极限的计算连续函数的定义和性质归结原则海涅定理二元函数极限的定义二元函数极限的基本性质二、本章重点及难点（一）重点：极限的定义与性质、数列极限和一元函数极限的计算、两个重要极限的运用、归结原则、柯西准则以及有界闭集上连续函数的性质.（二）难点运用柯西准则和归结原则进行证明、理解多元函数重极限与累次极限的概念、有界闭集上连续函数的性质以及一致连续性.三、本章的基本知识要点本章符号说明： 每一个或任给的； 至少有一个或存在；：充分必要条件.

2、 （一）数列极限1. 数列极限定义当时，有注：定义中的可不取整数，可以是定理：增加、改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性. 数列极限的等价定义:(1) 当时有 其中为某个正数. (2) 当时有其中与为某个正数.  2. 收敛数列的性质(1) 唯一性定理：每个收敛的数列只有一个极限.(2) 有界性定理：收敛的数列必定有界. (3) 保号性定理：若则对任意 有 (或).(4) 保不等式性定理：若都存在，且则(5) 迫敛性定理：设 数列满足：有 则数列收敛，且(6) 四则运算法则：(7) 与子列的关系：数列收敛数列的任何非平凡子列都收敛.3. 数列极限

3、存在的条件递增数列：递减数列：(1) 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.(2) 柯西收敛准则： （二）函数极限1. 函数极限和非正常极限概念函数极限定义(通过对比加以理解)：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 上述左极限和右极限也可以写成和.定理：非正常极限定义（只列出2个，其余可以类似写出）：(1) (2) 2. 函数极限的基本性质下面只以为代表来说明，其余类型极限的性质可以类似写出. (1) 唯一性定理：若存在,则极限唯一.(2) 局部有界性定理：若存在，则在的某个空心邻域内有界.(3) 局部保号性定理：若则(或),当时，有(或).(4)保不等性定理:设与都存在

4、，且在某邻域内有则(5) 迫敛性定理：设且在某邻域内有 则(6) 四则运算法则：3.函数极限存在的条件(1) 归结原则（也称为海涅定理）：设在内有定义. 存在任意含于邻域且以为极限的数列极限存在且相等.(2) 柯西准则：设函数在邻域内有定义. 存在正数有4. 两个重要极限(1) (2) 由归结原则得5. 无穷小量与无穷大量(1) 无穷小量定义：i) 设函数在某邻域内有定义. 若 则称为当时的无穷小量. ii) 设函数在某邻域内有界，则称为当时的有界量.由无穷小量的定义可知，两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；无穷小量与有界量的乘积为无穷小量(2) 定理：其中是当时的无穷小.(3

5、) 无穷小量阶的比较无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢若无穷小量与满足，则称当时为的高阶无穷小量，为的低阶无穷小量，记作（）特别，为当时的无穷小量，记作（）若存在正数和，使得在某邻域上有，则称无穷小量与为当时的同阶无穷小量特别当时，与必为同阶无穷小量若无穷小量与满足，则记作特别，若 在某 内有界，则记为（）甚至当 时，也有（）若无穷小量与满足，则称与为当 时的等价无穷小量，记作（）应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较例如，当 时， 和 都是无穷小量，但它们的比=  或   =当

6、 时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较下述定理表明了等价无穷小量在求极限问题中的作用定理： 设函数， 在邻域 内有定义，且有（）) 若，则) 若，则  (4) 无穷大量定义：对于自变量的某种趋向（或时），所有以、或为非正常极限的函数（包括数列），都称无穷大量定理：)设在内有定义且不等于0若为当时的无穷小量，则为当时的无穷大量)若为当时的无穷大量，则为当时的无穷小量由上述定理，对无穷大量的讨论可归结为无穷小量的研究（三）一元函数的连续性1. 函数在点连续的定义: 设函数在的某邻域内有定义. 若 则称函数在点连续.若记 ，则 

7、;的等价叙述为，于是函数在 点连续的定义又可以写成:定义:  设函数在的某邻域内有定义. 若,则称在点连续.改用语言叙述，则 在点连续可以定义为：定义: 设函数在的某邻域内有定义. 若对，使得当时，都有 则称在点连续.2. 函数在点左、右连续的定义相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定义如下：定义: 设函数在的某左（右）邻域内有定义. 若（或）, 则称在左（或右）连续.定理: 函数在点连续在点既左连续又右连续.与上述定理等价的否定叙述：定理: 函数在点不连续在点或不左连续或不右连续.3. 函数的间断点（不连续点）及其分类 定义：设函数

8、在某领域内有定义. 若在点无定义，或在点有定义但不连续，则称点 为函数的间断点或不连续点.由连续的定义知，函数在点不连续必出现如下3种情形之一:i），而在点无定义，或有定义但；ii） 左、右极限都存在，但不相等；iii） 左、右极限至少一个不存在.据此，函数 的间断点可作如下分类：i） 可去间断点 若（存在），而在点无定义，或有定义但，则称为可去间断点（或可去不连续点）. ii） 跳跃间断点 若的左、右极限都存在，但不相等（即与 均存在，但），则称为的跳跃间断点.注：可去间断点与跳跃间断点统称的第一类间断点.iii） 第二类间断点若与至少有一个不存在，则称为的第二类间断点.

9、定义: 若函数在区间上每一点都连续，则称为上的连续函数. 对于区间端点上的连续性，则按左、右连续来确定. 定义: 如果在区间上仅有有限个第一类不连续点，则称函数在区间上按段连续.4. 连续函数的性质局部有界性定理: 若函数在点连续，则在点的某邻域内有界. 局部保号性定理: 若函数在点连续，且(或)，则对(或)，某邻域 当时，有(或).四则运算性质： 若函数在区间上有定义，且都在连续，则（）在点连续.复合函数连续性定理: 若函数在点连续，在点连续，则复合函数 在点连续. 定义：设为定义在数集上的函数. 若，使得对都有(或)，则称在上有最大值（或最小值），称为在上的最

10、大值点（或最小值点），并称为在上的最大值（或最小值）.闭区间上连续函数的基本性质:最大最小值定理: 若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有最大值与最小值. 有界性推论：若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有界. 介值性定理: 若函数在闭区间上连续，且，为介于与之间的任何实数（或）,则在开区间内至少存在一点，使得根的存在定理: 若函数在闭区间上连续，且与异号，则至少存在一点 使得即在内至少有一个实根.反函数的连续性定理: 若连续函数在闭区间上严格递增（递减），则其反函数在相应的定义域（或）上递增（递减）且连续. 5. 一致连续性一致连续性定义：设函数在区间上有定义. 若， 当且时

11、，有 则称在区间上一致连续. 注意：这里的只与有关，与的位置无关. 区间上的连续函数 当且时，有 这就是说，连续函数里的与预先取定的点的位置有关，区间上的无穷多个点，对应无穷多个，这无穷多个的下确界可能为零，也可能大于零. 如果这无穷多个的下确界为零，则不存在对上所有点都适合的公共，这时在上连续，但不一致连续；如果这无穷多个的下确界大于零，则必存在对上每一点都适用的公共，如我们可取则对上任意两点，当时，便有 这种情况，在上连续就成为一致连续. 一致连续性定理：若函数在闭区间上连续，则在上一致连续. 定理：一切基本初等函数都是定义域上的连续函数.因为任何一个初等函数都是由基本初等函数经过有限次四

12、则运算与复合运算所得到,故任何初等函数都是定义域上的连续函数.（四）多元函数的极限与连续1点列与二元函数的极限(1) 点列极限与二重极限设是轴上的一个点列，是轴上的一个点列，则以，为坐标的所有点组成平面上的一个点列记作.又设是平面上的一点，坐标是.若正整数当时，有，就称收敛于，记作点列收敛的柯西准则：平面点列收敛当时，对一切正整数，都有定义： 设为定义在上的二元函数，为的的一个聚点，是一个确定的实数. 若 使得当时，都有则称在上当时以为极限，记作 在对不致产生误解时，也可简单地写作 当分别用坐标表示时，也常写作 定理：对的每一个子集,只要点是的聚点,就有.推论：i) 设,是的聚点. 若极限不存

13、在,则极限也不存在.ii) 设, 是和的聚点. 若存在极限, , 但, 则极限不存在.iii) 极限存在对内任一点列, 但,数列收敛.定义: 设为二元函数的定义域，是的一个聚点. 若对总存在的一个邻域，使得当时,都有，则称在上当时，存在非正常极限，记作 类似定义和(2) 累次极限在前面研究的极限中，两个自变量同时以任何方式趋于 这种极限也称为二重极限. 这一段考察与依一定的先后顺序相继趋于与时的极限，这种极限称为累次极限定义：设 是的聚点，是的聚点，二元函数在集合上有定义. 若对每一个，存在极限由于此极限一般与有关，因此记作而且进一步存在极限则称此极限为二元函数先对后对的累次极限，并记作或简记

14、作类似地可以定义先对后对的累次极限注：i) 两个累次极限存在时,可能不相等. 例如:  设，它关于原点的两个累次极限分别为与ii) 两个累次极限中的一个存在时,另一个可能不存在.例如函数在点(0,0)的情形.iii) 二重极限存在时,两个累次极限可能不存在（见例题）. iV) 两个累次极限存在(甚至相等)，二重极限可能不存在（见例题）. 综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系. 但有以下确定关系： 定理：若二重极限和累次极限 (或另一次序)都存在, 则二者必相等. 推论：i) 二重极限和两个累次极限三者都存在时，三者相等. ii) 两个累次极限存在但不相等时，二重极限

15、不存在.3. 二元函数的连续性(1) 连续性概念定义： 设为定义在点集上的二元函数. （它或者是的聚点，或者是的孤立点）. 若只要就有，则称关于集合在点连续. 在不至于误解的情况下，也称在点连续. 设、则称为函数在点的全增量. 和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当时，在点连续. 如果在全增量中取或，则相应的函数增量称为偏增量，记作，一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和. 若一个偏增量的极限为零，例如它表示在的两个自变量中，当固定时，作为的一元函数在连续. 同理，若则表示一元函数在连续. 容易证明，当在其定义域的内点连续时，在和在都连续. 但是反过来，二元函数对单个自变量

16、都连续并不能保证该函数的连续性. (2) 连续函数的性质 局部保号性定理：若二元函数在点连续，并且存在实数(或)使得(或)，则存在的邻域，当时有(或).局部有界性定理：若二元函数在点连续，则在的某个邻域上有界. 四则运算性质: 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数. 复合函数的连续性定理：设函数和在平面上点的某邻域内有定义，并在点连续；函数在平面上点的某邻域内有定义，并在点连续，其中，.则复合函数在点也连续(3) 二元初等函数及其连续性 与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由和的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表

17、示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可. 4. 有界闭区域上连续函数的性质 (1) 有界性与最值性定理： 若函数在有界闭域上连续，则在上有界，且能取得最大值与最小值. (2) 一致连续性： 若函数在有界闭域上连续，则在上一致连续， 即使得只要就有. (3) 介值性与零点定理：设函数在区域连续，若为中任意两点，且，则对任何满足不等式的实数，存在点，使得. 四、基本例题解题点击【例1】按定义证明 【提示】在用定义证明极限

18、时,先写出定义,运用放缩法，找到合适的即可【证明】 当时，有 因此 【例2】求极限【提示】【解】 【例3】求极限【提示】用极限的迫敛性定理.【解】因且由极限的迫敛性定理，得 【例4】应用柯西收敛准则，证明数列收敛，其中【提示】利用柯西收敛准则和三角函数有界性. 【证明】， 有 故由柯西收敛准则知数列收敛. 【例5】计算【提示】定义函数 再用极限四则运算、归结原则和等价无穷小量求解.【解】记函数则有故由归结原则得 【例6】设,，求.【提示】极限的四则运算法则和【解】因,当时,当时，；当时，故由极限的四则运算法则，有 【例7】设.证明 其中为整数.【提示】当时，直接利用函数极限定义证明.当时，把分

19、子有理化，然后利用放缩法证明.【证明】因为，故.若，由，则当时，有 所以，即.若，由，则当时，有从而有 故. 【例8】求极限【提示】利用重要极限及函数极限的运算法则.【解】 当时，故 【例9】证明：若在点连续，则与也在连续. 又问：若或在上连续，那么在上是否必连续？ 【提示】要证连续，证即可，要证连续，证即可，或连续不一定有连续.【证明】由在连续，得，从而再由例7的结论知 故与也在连续.构造函数 则有 即在上连续，但在不连续，故在上不连续. 因此，由或在上连续不能断定在上连续. 【例10】 设在上连续，.证明：存在，使得 .【提示】在上连续，则存在最大值和最小值，利用连续函数介值性定理.【证明

20、】设 不失一般性，设（1）若则，此时有取即可.（2）若，则由连续函数介值性定理知，使得由此本题得证. 五、扩展例题解题点击【例1】 设为个正数. 证明：【提示】运用迫敛性定理和【证明】设 则有因故由极限的迫敛性定理，得【延伸】：设 试证明：【提示】：与前面方法类似（运用） 【例2】设数列满足：存在正数对一切有证明：数列与都收敛. 【提示】利用单调有界原理，柯西收敛准则及绝对值不等式证明.【证明】由且知为单调有界数列. 由单调有界原理知收敛.因收敛，故由柯西收敛准则知，当时有 而 由柯西收敛准则知收敛，故与都收敛. 【例3】设 证明： 【提示】令利用二项式定理把分母展开，利用放缩法和基本例题中的

21、例6.【证明】令表示的整数部分，显然 故当时，因此，因 故由迫敛性定理知，当时， 【例4】计算 （上海大学2001年考研试题）【提示】先用数列代替，猜测出极限的值，然后考虑用迫敛性定理.【解】在区间内， 而 故由迫敛性定理知， 【例5】已知 求与的值. 【提示】此题中实际上就是的整式部分.【解】因故 由(3)与极限四则运算法则，得：把代入(2)，得：同理，把代入(1)，得 【例6】设（或或），则（或或）.问：反之是否成立？【提示】利用极限定义和绝对值不等式证明.【证明】由极限定义知，当时，有 故当时，有记，因故 当时有取 当时，因此 或的情形可类似进行证明.反之，若，则不能得出. 例如，取 则

22、 而不存在; 取 则 而不存在；的情形类似. 【例7】设函数定义在上，在每一个有限区间内有界，并满足 则【提示】运用极限的定义，由题设条件推出结论成立.【证明】由题设 则 使得当时，有 记 则 于是因而有由(1)式可得又由于在上有界，则及于是 使得当时，有取 于是当时，由(2)、(3)与(4)便有故 【例8】设为区间上的单调函数，证明：若为的间断点，则必是的第一类间断点.【提示】利用确界与极限关系，证明在的左右极限均存在.【证明】若为区间上的单调增函数，取 且满足使得则在上为有界函数. 由 知道在左、右极限均存在. 因此，若为的间断点，则必为的第一类间断点. 若为区间上的单调减函数，则令则为上

23、的单调增函数，从而因此，结论也成立. 【例9】设函数为区间上满足利谱希茨条件（），即存在常数使得对于 上的任意两点与都有 证明：在上一致连续.【证明】 取 则 且 有故在上一致连续. 【例10】设是有界数列，且 若存在，则也存在（北京大学2009年考研试题）.【证明】因有界，故 使得 有 因存在（令其值为），故 当时，有 即因 故有下面用反证法证明反设 由得，即因 故有即依此类推，于是得因此，当充分大时，有（例如当时）这与为有界数列矛盾. 于是 同理可证因此，当时有故收敛. 六、本章训练题提示点评【训练题1】证明函数在内非一致连续.（云南大学2004年考研试题）【提示】利用非一致连续的定义证明

24、.【证明】当正整数充分大时有（例如当时），故有 因此，命题成立. 【训练题2】已知 其中为个正数.求（1）；（2） 与 （2004年云南大学考研试题） 【解】（1）因（洛比达法则）故（2）由（1）知是的可去间断点. 由初等函数在其定义域内的连续性知，而 若则当时，故 即 若 则当时，故 即 若则为时的无穷大量. 故由洛比达法则得，因此， 若则为时的无穷大量.故由洛比达法则得，因此，综合知， 【训练题3】设是连续函数，求,的值.(福建师范大学2006年考研试题)【提示】利用极限的四则运算法则和连续函数的定义.【解】当时，当时，当时，当时，因在处连续，故即 因在处连续，故即 解方程组可得 , 【训

25、练题4】求和 使得当时，无穷小量等价于无穷小量（上海大学2002年考研试题）.【解】在右领域内，当时，即当时，无穷小量等价于无穷小量 【训练题5】设在上连续，且是一对一（即且时，有），证明：在上严格单调.【证明】反证法. 反设在上非严格单调，即且有或（因是一对一，故不能取等号）若成立，取显然且在上连续，由介值性定理知， 使得同理 使得于是 这与在上一对一矛盾.因此，当时，与不能同时成立.同理可证，当时，与不能同时成立.综上所述知，在上严格单调. 【训练题6】求（华南理工大学2004年考研试题）【解】因而（由泰勒公式）于是 【训练题7】设, , , 试证收敛, 并求, (华南理工大学2004考研试题). 【解】 因, 故, 即.因, 故.因 , 故 . 同理 , , 因此得, .因, 故.因, 故.因且,故有, 即. 同理得. 因此, 子列单调减小有下界, 故存在, 设极限为. 子列单调增加有上界, 故存在, 设极限为. 对左右两边取极限, 得. 由极限保号性知. 同理得. 由数学分析第一册(华东师大)第26页例题7知, . 【训练题8】证明极限存在. (哈尔滨工业大学2009考研试题). 【证明】 记. 则. 因, , 故. 因此得, 即为单调递减数列. 由于 , 故. 因此得, . 于是有下界. 综上所述, 知为单调