南昌大学数学物理方法期末考试试卷2009B卷答案

1、南昌大学 20082009学年第二学期期末考试试卷 参考答案及评分标准 试卷编号：6031 (B)卷课程编号：H55020190 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级：物理系07各专业 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分454015 100得分考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每小题 3 分，共 45 分) 得分评阅人 说明：有两个空的小题，第一个空2分，第二个空1分。1.复数_ 1i , 。2

2、.复变函数可导的充分必要条件为 u(x,y)，v(x,y)偏导数存在且连续并满足柯西黎曼条件 。3.若复变函数在区域B上解析，其实部为，则其虚部为 B （备选答案：A. ；B. ；C. ；D. ）。4. 0 。5.根据柯西公式，积分；。第 6 页 共 6页6.函数有_1_个极点，为_1_阶极点，在极点处的留数为_2_。7.闭区域E的内点为 某一邻域及其本身均属于E的点 ；境界点为任一邻域及其本身均部分属于，部分不属于点集E的点 。8.双边幂级数为 包含负幂项的幂级数 ，其主要部分为 负幂部分 ，解析部分为 正幂部分 。9.在原点的邻域上，可展开为，可展开为。10. 函数 的傅里叶变换为。11.

3、的拉普拉斯变换为。12.数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在性_，_唯一性_，_稳定性_。13.一根两端(左端为坐标原点而右端）固定的弦，用手在离弦左端长为处把弦朝横向拨开距离，然后放手任其振动。横向位移的初始条件为 。14.偏微分方程的类型为 A (备选答案：A.双曲型B.抛物型 C. 椭圆型 D. 混合型)；为了得到标准形，可以采用的自变量函数变换为。15.判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打，错误的打×。（1）若函数在点解析，则函数在点可导，反之亦然。 （×）（2）复通区域上的回路积分不一定为零。同样，单通区域上的回路 积分也可以不为零。 （）（3

4、）设为复数，则。 （×）二、求解题(每小题 10 分，共 40 分)得分评阅人 说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。1. 用留数定理计算复积分。解：被积函数有两个极点对积分有贡献：单极点，两阶极点。 -(2分)留数分别为 -(6分)根据留数定理得 -(2分)2. 用留数定理计算实积分。解：根据留数定理有：在上半平面所有奇点留数之和-(2分)所以-(3分)-(3分) -(2分)3. 解常微分方程初值问题已知，。(可使用拉普拉斯变换或其它任何方法)。解：对方程拉普拉斯变换并化简得-(5分)解之得-(2分)由拉普拉斯逆变换得 -(3分)4. 设满足方程和边界条件，其中可为任意实数，试根

5、据的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值和本征函数。 解：可分为三种情况讨论：1) ，解为，由边界条件只能得到平庸解，显然没有意义。 -(3分) 2) ，解为，代入边界条件得，于是为任意常数。 -(2分) 3) ，解为,代入边界条件得a) 当 的取值使得 时，必有 ，这和上两种情况一样没有意义。b) 当 的取值使得 时， 不必为零，这种是有意义的情况。此时由 得到本征值: 综合2）和3）两种情况得本征值 此时，本征解为 -(5分)三、数学物理定解问题 (共15 分)1.（8分）考查半无限长弦定解问题：，初始条件为，端点处边界条件为。 （1）寻找泛定方程的一个特解再作变换 使得的边界条件满足； （2）利用的边界条件满足将该问题延拓为达朗贝尔公式定解问题； （3）给出达朗贝尔公式，并求解该问题。 解：（1） -(2分) （2）作变换后，的定解问题为，。根据边界条件，做奇延拓，即假定时，。 -(2分) （3）若方程的初始条件为，则其解为，此即达朗贝尔公式。-(2分) 根据此公式，容易求得，当 时，当， -(2分) 2. 矩形区域上的定解问题是否可直接利用分离变数法求解？为什么？然后将之变换为可利用分离变数法求解的问题。（提示：寻找满足泛定方程和边界条件的一个特解再作变换 使得的泛定方程以及在方向上的两个边界