勾股定理及逆定理的应用-讲义

1、 中小学1对1课外辅导专家龙文教育学科教师辅导讲义学员： 教师： 陈玉芬 日期： 课 题勾股定理及逆定理的应用教学目标1运用勾股定理进行简单的计算和解决生活中的实际问题。2通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质重点、难点重点：勾股定理及逆定理的应用难点：勾股定理在实际生活中的应用考点及考试要求1、 勾股定理及其应用；2、 勾股定理的逆定理的应用教学内容一直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角互余。（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（3）直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半（互逆的）。（4）勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等

2、于斜边c的平方。二判定三角是直角三角形的方法：（1）一个角为直角。 （2）两个锐角互余。（3）证明一个角等于其余两角的和或差。 （4）勾股定理的逆定理。例1已知，ab=34，c=15，求a、b及斜边高线。解：过C作CDAB于D由ab=34，设a=3 k，则b=4 k在RtABC中，C=90°，c=15a2+b2=c2（勾股定理）(3k)2+(4k)2=152解得 k=3 （舍负）a=3k=9，b=4k=12又BC×AC=AB×CD（利用面积列公式）答：a=9，b=12，斜边高为7.2。例2已知，如图：分别以RtABC三边为边向外做三个半圆，其面积分别为S1、S2、

3、S3表示，S1、S2、S3之间的关系是什么？图一解：，又在RtABC中，a2+b2=c2，即S2+S3=S1例3已知，如图，在RtABC中，D为BC的中点，DEAB于E。求证：AC2=AE2BE2。解题思路：连接AD，构造两个新的直角三角形。证明：连接AD。在RtACD中，AC2=AD2CD2在RtADE中，AE2=AD2DE2在RtDEB中，BE2=DB2DE2右边=AE2BE2=(AD2DE2)(DB2DE2)=AD2DB2又D是BC的中点 DB=CD右边=AD2CD2又左边=AC2=AD2CD2左边=右边 等式成立例4（2006 娄底）如图，滑杆在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑杆AB

4、长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？解：设AE的长为x米，依题意得CE=ACx。AB=DE=2.5，BC=1.5，C=90°，。BD=0.5，在RtECD中，2x=1.5，x=0.5。即AE=0.5。答：梯子下滑0.5米。例5已知，如图，AB=AC=20，BC=32，DAC=90°，求BD的长。解：作AEBC于E，设BD=xAB=AC，AEBC又BC=32 BE=16DE=16x，DC=32x在RtAEC中，AE2=AC2EC2在RtADE中，AE2=AD2DE2AC2EC2=AD2DE2

5、（方程思想）在RtADC中，又AD2=DC2AC2AC2EC2=DC2AC2DE2即 202162=(32x)2202(16x)2解得 x=7，即 BD=7小结：此题利用方程思想和勾股定理求边长，由于在不同的Rt中用勾股定理，故要分清每个Rt中的直角边、斜边。练习题：1、如图所示是一块菜地，已知AD=8米，CD=6米，D=90°，AB=26米，BC=24米，求这块菜地的面积。ACBD2、如图，在ABC中，AB=5，BC=6，BC边的中线AD=4，求ABC的面积第二题的图 第一题的图3、如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，AB=5，AD=2，AC=3。求BC的长。QCPAB 第四题的图4、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边变作PBQ60°，BQBP，连结CQ (1)、观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明猜想(2)、若PAPBPC345，连结PQ，试判断PQC的形状，说明理由5、（2010芜湖课改）如图（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图（2）所示。已知展开图中每个正方形的边长为1。（1）求