二倍角地正弦余弦正切公式

1、二倍角的正弦余弦正切公式教学目标1 .会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.（重点）2 .掌握二倍角公式及其变形公式的应用.（难点）3 .二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切公式的区别与 联系.（易混点）基础初探教材整理 二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材Pl32 Pl33例5以上内容，完成下列问题.店备mt 2fl!=l-2fiinTaMn atnis 2a21 .二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2 asin 2 a= 2sin acos aC2 acos 2 a= cos2 a-Sin2 aT 2 a2ta n atan 2 a=丄21 tan 2 a2.余弦的二倍角公式的变形3

2、.正弦的二倍角公式的变形1 sin 2 a(1閒 acos a=2sin 2 a，cos a=孟(2)1 ±sin 2 a= (sin a士cos a2.1.判断(正确的打“错误的打“X” )(1) 二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.()(2) 存在角a,使得sin 2 a= 2sin a成立.()(3) 对于任意的角a, COS 2 a= 2COS a都不成立.()解:(1) X.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍 nn角的正切公式，要求ah + k兀(k Z)且a± + k兀(k Z),故此说法2 4错误.(2) "当况=k 兀(k

3、 Z)时，sin 2 a=2sin a.i - a/3(3) X.当 cos a=2 时,cos 2 a= 2COS a.【答案】(1) XVX12 .已知 cos a= 3，贝S cos 2 a等于.解：由cosoc=3'1 27得 cos 2 a= 2cos2 a- 1 = 2X 3- 1 =-9【答案】M化简求值.aa(1)cos 4 _-sin4 _ ；22n2412'(2)s incos cos24(3)1 2si n 原式=_. 8 原式=cos(2 X750 ° = cos 1 5001tan 1501 3ta n+2ta n 1502 150灵活运用倍

4、角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得a解:(1)cos=cos(4 X360 ° +50 ° = cos 60= sin4a=cos2 -2-sin2a2acos2 2a+ sin2 2=cos a.1nnn(2)原式=22sin24cos24os121nn1nn=sincos=2sinos2 1212412 121n16 = 8=sin4(4)原式=2tan 2150 ° 用-3tan2 1502tan 150 °1 - tan2 15012tan 150 ° = tan (2 X150 ° )1 1tan 300 °

5、 = tan (360 ° -60 ° )tan 60 °3原式=3二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有：2sinoccos a= sin 2 a, sinocCOS1a=_ s in 22a,cossin 2 aa=, cos2 a Sin22sin a2ta n aa= cos 2 a, -；J = tan 21 tan 2 aa-公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：1 士sin 2 a= sin2 a+ cos2a±2sin 况co

6、s a= (sin a士cos a),1 + cos 2 a= 2cos2 a, cos2a=1 + cos 2 a,sin1 cos 2 aa=再练一题1求下列各式的值:nn(1)sin cos 一12122tan 150一' 1 tan2150 °1 sin 10cos 10(4)cos 20cos 40 cos 80nn2sin cos 1212sin解:(1)原式=4原式=tan(2 X150 °) = tan 3004an (360=tan 60=cos 10 ° 3sin 10(3)原式=sin 10 °os 10 °1_c

7、os 102-3sin 102sin 10 cos 104 (sin 30 °cos 10 ° -cos 30 °sin 10 ° )2sin 10 cos 104sin 20 °sin 20 °2si n 20(4)原式=cos 20 ° cos 40 ° cos 802sin 20 °2sin 40 ° cos 40 ° cos 804sin 202sin 80 ° cos 80 ° sin 160 °8sin 20 °= 8sin 20 &

8、#176; = 8利用二倍角公式解决求值问题攸(1)已知sinA. 2a= 3cos a,那么tan 2 a的值为(B.233C.-D44n12 n已知sin + a6=，贝y cos332 a的值等于（）71A.B.9371C._D933 2(2016 天津高一检测已知cos a= -, sin p= 3 , a是第三4 3n象限角，餐，n求sin 2 a的值;求C0S(2 a+ B)的值.(1)可先求tana,再求tan 2 a；n6 +a求值;可先求sin 2 a, cos2 a,cos B，再利用两角和的余弦公式2可利用3 n2 a=求 C0S(2 a+ ® 解：(1)因为

9、Sin a= 3C0Sa,所以 tan a= 3,所以tan 22ta n a 2 X331 tan 21 32 4.n因为cos 3 a=sinn2 n3an1=sin+6a=3,所以cos32 an=2cos2 -一a 1【答案】(1)D (2)C3因为久是第三象限角，cos尸一4,所以sin仇=1 cos2 a=所以sin 2a= 2sin acos a= 2 X-卫4因为貨22，n , sin B= 3,所以cosB=1 sin2 -二,u 3cos 2 a= 2cos2a 1=2 x118'所以 cos(2 a+ ® = cos 2 况cos838324直接应用二倍

10、角公式求值的三种类型a (或 sin况(或2cos2(3- sin 2 况sin(1)sin (或cos )同角三角函数的关系cos(1) sina (或 cos a)csa 二公式2仇(或 cos 2 a.(2) sin a或 cos a二公式o -2 a= 1 2sin 2a_ 1).(3)sincosa或cos a同角三角数关系 a (或Sin a),tana二倍角公式再练一题n5a=,cos 2n , sin a=,贝S sin 225a=_ tan 2a=nsin 4n已知sin + a4值.n解：(1)因为a，a=5厂所以COsa=以sin2 a= 2sin 况cosa= 2552

11、54一，cos 52sin2tan 2 asin 2 a4cos 2 a322 a= 1 【答案】nn n因为sin ;-a=sin ;- 4+an=COS +a ,4nn1则已知条件可化为sin 4 + a cos 4+ a = 6，1n1即2Sin 2 4+a = 6，n1所以 sin 2+2 a= 3，1n所以cos 2 a= 3.因为卅2,n，所以 2 a (n,2 兀)，从而sin 2所以tan 2sin 2 aa=_cos 2 a故 tan 42ta n 2 a1 tan 22 a1 ( 22) 27利用二倍角公式证明洌 求证：(1)cos 2(A + B) sin2(A B) =

12、 cos 2 Acos 2 B;(2)cos 2 6(1 tan 2 0) = cos 2 0.(1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幕扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)证法一：从左向右：切化弦降幕扩角化为右边形式;证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幕后向左边形式转化.解：(1)左边=1 + cos (2A + 2B)21 cos (2A 2B)2cos (2A + 2B) + cos (2A 2B)等原则，设法消除差异，达到证明的目的.再练一题1 +sin 2 a113 .证明：=tan a+ .2cos 2 a+ sin 2 a 22sin2 a+ cos2 a+ 2

13、sin 况COS a证明:左边= 2COS2 a+ 2sin /OS a(sin a+ cos a) 2 2cos a (sin a+ cos a)sin a+ cos a2cos a1 1=2tan a+ 2"边.1 +sin 2 a2cos 2 a+ sin 2 a1=_ tan21a+ 2成立.倍角公式的灵活运用1 + sin a cos a 1 + cos a+ Sin a探究1在化简+时，如何灵1 + sin a+ cos a 1 cos a+ Sin a活使用倍角公式？【提示】在化简时，如果只是从a的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将aa看成2的倍角，可能会有另一

14、种思路，aaa2sin cos+sin2 22原式=+aaa2cos cos _+ sin 2 2 2aaa2coscos+ sin222aaa2sinsin+ cos222aasin cos 22+aacos sin 2 21 2a a sin a sin cos 2 2探究2如何求函数f(x) = 2cos 2x 1 23 sin xcos x(x R)的最小正周期?【提示】求函数f(x)的最小正周期，可由f(x) = (2cos 2x 1)2sin xcos x) = cos 2x 3sin 2x= 2sinn6 2x，知其最小正周期为n . -I 求函数f(x) = 5 1 3cos2

15、x+'3sin 2x 4sinxcos x, x n 7 n4, 2；的最小值'并求其单调减区间.化简 f (x )的解析式 f f (x) = As in (x +©)+ B 宀+ ©的范围f求最小值，单调减区间解:1 + cos 2 x 1 cos 2 x+2sin 2 x=3 '3 + 2 '3cos 2 x 2sin 2 x1+ 4 cos 2x一sin 2 x2 2n+4 sin 3cos 2nx cos sin 23+ 4sinn32x4sinn 7 nwxw4 x 24，n6 <2x34'sin 2x _3 1 /

16、2' 2n n7 n所以当2x ，即卩x= 时，3 424f(x)取最小值为3 ； 3 2 2nn 7 n因为y = sin 2x 在：，鳥 上单调递增,3 4 24n 7 n所以f（x）在4，24上单调递减.本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类 问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如 y = Asin（ + ®的形 式，再利用函数图象解决问题.再练一题4 .求函数y = sin4x+ 2 3sin xcos x cos4 x的最小正周期和最小值，并写出该函数在。，刃上的单调递减区间.解:y = sin4x + 2 3sin xcos x cos 4x=

17、(sin2x + cos2x)(sin2x cos2x) + 2 ：3sin xcos x=cos 2 x+ 3sin 2 x2 二in 2x- 1cos 2x2 2n=2sin 2x 6所以 T=n,ymin = 2.n n3 n由2k <2x-&<2k n+y，k *Z，n5 n得 k n+； <x<k n+匚,k Z ,3 6又x 0, n，所以令k=0，得函数的单调递减区间为构建体系厂ffi正舷食式|itt;企式|1 >1 IIII二僻箱余菽企代1变乘公式|fltfl Ew公式1_粹饬在切公式卜1 . sin 22 °0 ' co

18、s 22 °30 '的值为 )241解原式=2sin 454【答案】 B12 .已知sin x=,贝卩cos 2 x的值为（）41B.821解:因为sin x=：,41 27所以 cos 2x= 1 -2sin2x= 1-2 x 4= 8.【答案】 A3.nncos sin1212ncos 12+ sin12的值为（）B.解:原式=cos2 sin212=cos12【答案】 D4 .已知tan1 sin 2 a cos2 a3 '则 1 + cos 2 asin 2 a- cos2 a1 + cos 2 a2sin occos a-cos2 a1 + 2cos 2 a

19、 12sin acos a cos2 a=tan2cos2 a1 5a=2 65【答案】：65 .求下列各式的值:n(1)coscos51 2 - cos2sin解:(1)原式=nCOS5n2sin 52 nsin cos5n2sin 54 n sin 5n4si nnsin 5 1n 44si nn12cos 28(2)原式=n2cos 2 18学业分层测评学业达标、选择题sin 2 a1.若 sin a= 3cos a,贝S 丁 =()COS 9.【答案】Bsin a+ cos a 1 .若贝y tan 2 a=()sin a cos a 2 aB. 3sin 2 a 解葫2sin 况co

20、s a 2sin a 6cosa COs2 aCOs acosa=6.a【答案】2 . (2016 铁岭高一检测已知sin2a=3，则 cos( n20=()所以 cos( n2 a = cos2 a= (1 2sin2B.2解:因为sin a=3,3B.-4sin a+ cos a 1解:因为=-sin a- cos a 2整理得tan a=- 3,2 x(-3)32 =2ta n a所以tan 2林=1 tan2 a 1 -(-3) 2 4【答案】4. (2016-沈阳高一检测若sin x tan x<0 ,1 + cos 2 x等于A.：2cos xB.2cosC.'

21、9;2si n x2sin解:因为 sin xtan x<0 ,所以x为第二、三象限角，所以cos x<0 ,+ cos 2 x= : 2cos2 x =所以'2|cos x|2cos x.【答案】 B5 .已知cos 2 x1=；，贝S sin 2 x =( n 52cos x + -4242525B.5cos 2 x_5'2cos x+一4cos 2x sin2x 1cos x sincos x + sinVI + sin 2x-2；，24sin 2 x =25【答案】 A、填空题n36 . (2016 广州高一检测已知sin x 一，贝S sin 2x的值等4

22、 5n 3解法 一：® ； - x - 5，nncos 2x = 1 2sin 又sin 2 a=4 '则有 x 243 27=1 2 x -=,5 25n7_sin 2 x = cos _ 2x =n法二：由 sin - - X2 2523sin x 得牙(sin xcos x)= 5,181 sin 2 x=25sin 2 x=25【答案】2517 已知 sin 2 a= 4，n na ,， c ，贝S cos a sin a=42a即 cos a sinn n解:因为a ,所以Sin a>cos42cosa sin(cosa sin a) 2【答案】2三、解答题1

23、 sin 228 .化简：tan 70 ° cos 10 °ta n 20 °).解原式sin 70sin 20 °葛厂COs 10 ° 3忑矿1sin 70cOs莎 COs 10；3sin 20 °os 20 cos 20 °sin 70 °2sin ( 10 ° )k cos 10 ° cos 20 °sin 70 ° sin 20cos 70 ° cos 20=1.9 .求证:sin 10cos 103ta n 12 °5 sin 124cos212

24、 ° -2)=4;证明：(1)左边=1sin 10 °.3cos 10cos 10sin 10 °os 1012 cos 102Qn 1021sin 2024sin (30 °0 ° )=4 =右边.sin 20所以原等式成立.3ta n 12左边一ss 12 ° 4cos212 ° -2)< 3sin 12 ° -cos 12cos 122sin 12 2cos212 ° )1 3sin 12 ° cos 122 22sin 12 cos 12 cos 242 ' 3sin (12 ° -60 ° ) 2 3sin 48sin 24 cos 241sin 482=-4所以原等式成立.能力提升