圆的方程经典例题

1、高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程(1)；示准方程，圆心a,b,半径为r；点M(X0,y0)与圆(xa2(yb)2r2的位置关系：当，点在圆外当，点在圆上当，点在圆内(2)般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程,需求出 a,b,r;若利用一般方程，需要求出 D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。1.若过点 P(a,a)可作圆 x2+y2-2ax+a2+2a-3=0 的两条切线，则实数 a 的取

2、值范围是2,圆 x2+y22x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形，则 ab 的取值范围是()A.(巴 4)B.(8,0)C.(-4,+8)D.(4,+8)3.求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关224.求半径为 4,与圆xy4x2y40相切，且和直线y0相切的圆的万程.5.求经过点A(0,5),且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程.6.已知直线 l:x+y-2=0 和圆 C:x2+y2-12x-12y+54=0，则与直线 l 和圆 C 都相切且半径最小的圆的标准方程是.7、设圆满足：(1)截 y y 轴所得弦长

3、为 2;(2)被 x x 轴分成两段弧，其弧长白比为 3:1,3:1,在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x2y0的距离最小的圆的方程.118.已知点 P(2,2)，点 M 是圆 O1：x2+(y-1)2q上的动点，点 N 是圆 O2：(x-2)2+y2互上的动点,|PN|-|PM|的最大值是()A.-1B.45-2.V5%S类型二：直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种情况：(1)设直线l:AxByC0,圆 C:xa2yb2r2,圆心 Ca,bCa,b 到 l 的距离为(2)过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径,求解 k

4、,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x,y),则过此点的切线方程1、已知直线3xy2V33xy2V30 0 和圆 x x2y y24,4,判断此直线与已知圆的位置关系.222：直线xy1与圆xy2ay0(a0)没有公共点，则a的取值范围是223：若直线ykx2与圆(x(x2)2)(y(y3)13)1 有两个不同的交点，则k的取值范围是.4,圆 x2+y22x2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为.5 .圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离为 1 的点有几个6 .、若直线yxm与曲线 y

5、J4yJ4X X2有且只有一个公共点，求实数 m m 的取值范围227 .已知圆 M:x(y2)1,Q 是 X X 轴上的动点，QA、QB 分别切圆 M 于 A,B 两点(1 靖点 Q 的坐标为(1,0),求切线 QAQB 的方程；类型三：圆与圆的位置关系通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。几同人222222仅圆。：xayb1r r, ,C C2: :x8x82ybyb2R R两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线条；当时两圆夕卜切，连心线过切点，有夕卜公切线两条，内公切线一条;当时两圆相交，连心线垂直平分

6、公共弦，有两条夕卜公切线;当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当时，两圆内含；当d0时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切,两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点1、判断圆C1:x2y22x6y260与圆C2：x23,圆 x2+y22x5=0 与圆 x2+y2+2x4y4=0 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线的方程是().A.x+y1=0B.2x-y+1=0C.x-2y+1=0D.x-y+1=04：求与圆 x x2y y25 5 外切于点P(1,2),且半径为 2J52J5 的圆的方程.xOy 中，圆 C 的方程为 x2

7、+y2-8x+15=0,若直线 y=kx+2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最小值是(3C.D.54,相互垂直的两条直线 1 11、l l2都过点A(a,0).(I)若 1 11、l l2都和圆C相切，求直线 1 11、l l2的方程；(n)当a2时，若圆心为M(1,m)的圆和圆C外切且与直线 1 11、l l2都相切，求圆 M M 的方程;(出)当a1时，求 l l1、l l2被圆C所截得弦长之和的最大值.(2)求四边形 QAMB 的面积的最小值;(3)若ABMQ 的方程.y24x2y40的位置关系,2222：圆 xy2x0 xy2x0 和圆

8、x x2y4y0y4y0 的公切线共有条。5.在平面直角坐标系4A.36.已知圆C:(x5B.42)2类型四：切线方程、切点弦方程、公共弦方程类型五：弦长、弧问题一-一一一一、一22一一一、1、求直线l:3xy60被圆C:x2y22x4y0截得的弦AB的长.2、直线 J3xy2m0J3xy2m0 截圆 x x2y y24 4 得的劣弧所对的圆心角为.22223、求两圆xyxy20和xy5的公共弦长4.过点 A(11,2)作圆 x2+y2+2x4y164=0 的弦，其中弦长为整数的共有()221.已知圆O:xy4,求过点P2,4与圆O相切的切线.222.两圆C1:xyD1xE1yF1220与C2

9、:xyD2xE2yF20相交于 A A、B B 两点,求它们的公共弦ABAB 所在直线的方程.223、 过圆xy1外一点M(2,3),作这个圆的两条切线线 A AB B 的方程。MAMA、MBMB, ,切点分别是A、B,求直224.求过点M(3,1),且与圆(x1)y4相切的直线l的方程.5、过坐标原点且与圆x2y24x2y50相切的直线的方程为2A.16 条 B.17 条 C.32 条 D.34 条类型六：圆中的对称问题221、圆xy2x6y90关于直线2xy50对称的圆的方程是2 自点A3,3发出的光线l射到 x x 轴上，被 x x 轴反射，反射光线所在的直线与圆C:x2y24x4y70

10、相切(1)求光线 l 和反射光线所在的直线方程.(2)光线自 A 到切点所经过的路程.类型七：圆中的最值问题221：圆xy4x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是.一.9.9.一-99一.一.2(1)已知圆O1:(x3)(y4)1,P(x,y)为圆O上的动点，求dxy的最大、最小值.(2)已知圆O2:(x2)2y21,P(x,y)为圆上任一点.求上一2的最大、最小值，求x2y的最大、x1最小值.3,已知圆 O:x2+y2=c(0c1),点 P(a,b)是该圆面(包括 OO 圆周及内部)上一点，则 a+b+c 的最小值等于.cc2224、已知点 A(A(2,2),2,2),

11、B(B(2,6),2,6),C(4,C(4,2),2),点P在圆 x x2y y24 4 上运动，求 PAPBPC 的最大值和最小值.类型八：轨迹问题1 .设 A 为圆(x1)2+y2=1 上的动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程是()A.(x1)2+y2=4B.(x1)2+y2=2C.y2=2xD.y2=2x2、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x(x1)1)2y y24 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.223 .如图所不，已知圆O:xy4与 y y 轴的正方向父于 A A 点，点 B B 在直线y2上运动，过 B B 做圆O的切线，切点为

12、C,求 ABCABC 垂心 H H 的轨迹.,2224 .已知圆的方程为xyr,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点 A A、B B, ,使 PAPBPAPB, ,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.练习：1、由动点P向圆 x x2y y21 1 引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,APBAPB=600,则动点P的轨迹方程是.轨迹方程是y y24 4 相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,求点P的轨迹方程类型九：圆的综合应用2、已知定点B(3,0),点A在圆 x x2y y21 1 上运动,AOB的平分线交AB于点M,则点M的23.已知直线ykx1与圆 x x2例 2

13、5、已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30相交于 P P、Q两点，O为原点，且OPOQ,求实数 m m 的值.例 26、已知对于圆x2(y1)21上任一点P(x,y),不等式xym0恒成立，求实数 m m 的取值范围.例 27 有一种大型商品，A A、B B 两地都有出售，且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离 A A 地的运费是 B B 地的运费的 3 倍.已知 A A、B B 两地距离为 10 公里，顾客选择 A A 地或 B B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求 A A、B B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线

14、外的居民应如何选择购货地点.分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用.解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法.解：以 A A、B B 所确定的直线为 x x 轴，ABAB 的中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.AB10,10,A(5,0),B(5,0).设某地 P P 的坐标为(x,y),且 P P 地居民选择 A A 地购买商品便宜，并设 A A 地的运费为3a元/公里，B B 地的运费为 a a 元/公里.因为 P P 地居民购货总费用满足条件：价格+A A 地运费 w 价格+B B 地的运费即：3