勾股定理 (3)

1、直角三角形的性质1、两锐角互余2、斜边上的中线等于斜边的一半3、30所对的直角边等于斜边的一半4、如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于3086 1051213815 17121620这些直角三角形的两条直角边与斜边有何关系？这些直角三角形的两条直角边与斜边有何关系？6282 1025212213282152172122162202+=这些直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边这些直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。的平方。动脑筋：动脑筋：猜一猜猜一猜：是否所有的直角三角形都有两直角边的平是否所有的直角三角形都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？方和等于斜边的平方呢

2、？探究探究：任作：任作RtABC，C=90。，BC=a，AC=b，AB=c，那么，那么a2+b2=c2是否成立？是否成立？拼图活动：拼图活动：拼图准备：拼图准备：在桌面上有8个完全一样的直角三角形，其中较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c。另外还有三个正方形，它们的面积分别是a2 、b2、c2。拼图（一）拼图（一）取四个直角三角形和面积是c2的正方形，利用这几个图形看是否能拼成 一个较大一点的正方形。拼图（二）拼图（二）取剩下的四个直角三角形和面积是a2 、b2的2个小正方形，利用这几个图形看是否也能拼成一个较大一点的正方形。图中的两个大正方形面积相等吗？怎么算？图中的两个大正方形面积

3、相等吗？怎么算？勾股定理勾股定理 直角三角形两直角边直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜的平方和等于斜边边c的平方。的平方。222cba 你能不能只用上图来验证勾股定理（1）上面大正方形的面积有几种算法？分别是什么？（2）两种算法得出的面积相等吗？会得出什么结论？?)(222cba其它证法（一）cb a 3世纪我国汉代的赵爽指出：四个全等的直角三角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个三角形的面积和得： 两直角边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方和等于斜边的平方赵爽弦图其它证法（二）在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的

4、美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于5的平方加上7的平方”小男孩又说

5、道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。其它证法（三）abbcc伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。acab勾股定理勾股定理如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为斜边为c，那么，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边

6、的平方和等于斜边的平方即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾勾股股弦弦常用的勾股数3 4 55 12 137 24 258 15 179 40 41 以及它们的倍数例例1 在直角三角形中，一条直角边为在直角三角形中，一条直角边为5，一条斜边为，一条斜边为13，求第三边。求第三边。解：设第三边为x,由勾股定理可得：222135 x整理得：144513222x12x所以第三边为12。例例2 一个米长的木梯一个米长的木梯,架在高为架在高为2.米的墙上米的墙上(如如图图),这时梯脚与墙的距离约是多少米这时梯脚与墙的距离约是多少米? （精确到（精确到0. 01米）米）AB2.解：依题意，在解：依题

7、意，在由勾股定理得由勾股定理得:AO2+OB2=AB2OB2=AB2-AO2 OB=22AO-ABOB1.66米米答答：梯脚与墙的距离约是梯脚与墙的距离约是1.66米米 OB=225 . 23 练练1 如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，米处，旗杆折断之前有多高？旗杆折断之前有多高？9米米12米米思考思考 在直角三角形中，两边的长为5，4，求第三边的平方。解：1、如果5为斜边，设第三边为X由勾股定理得：22245 x92x所以2、如果5为直角边，设第三边为X由勾股定理得：22254 x412x所以所以，第三边的平方为9或41.b小小 结结1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为，斜边为c，那么那么 a2+b2=c2，即直角三角