课时2数列求和的归纳概括与提高(使用2)

1、1数列求和求数列求数列的前的前项和项和.n例例11111 ,2 ,3 ,248解：解： 设数列的通项为设数列的通项为,na则则12nnan1231111(1) (2) (3)()2482nnnSaaaan1 1 11(1 2 3) ()2 4 82nn (1)1122nn n 22122nnn求数列求数列111,1223(1)n n的前的前项和项和.n例例2111(1)1nbn nnn则则解：解： 设数列的通项为设数列的通项为 ，nb12111111()()()12231nnSbbbnn1 1111111 2231nnn 1nn【小结】裂项的目的是为使部分项相互抵消.大多数裂项相消的通项均可表

2、示为bn=其中an是公差d不为0的等差数列，则b1+b2+bn=111111()nnnna ad aa122311111111(.)nnd aaaaaa2()1nn 变式训练变式训练( (学生课堂练习学生课堂练习) )：（1）求和）求和:n+32113211211112112()(1)(1)12nan nn nnn11111112(1)223341122(1)11nSnnnnn1(22)nn 221(2)1 (12)(122 )(1222)n求和：21nna 解：231(2222 )2(21)22nnnnSnnn注：注：“错位相减法错位相减法”求和求和,常应用于型如常应用于型如anbn的数列的

3、数列求和求和,其中其中an为等差数列为等差数列, bn 为等比数列为等比数列.222nnnS 三、错位相减法三、错位相减法错位相减法错位相减法: :是推导等比数列前是推导等比数列前n n项和的方法项和的方法23 1 22 23 22_nn 例例2 2. .1(1)22nn （2）求数列）求数列 x，3x2，5x3, ,(2n-1)xn ,的前的前n项和项和 1232482:.nnnS 求求习习1 1）和和：练练（ 对于等差对于等差数列和等比数数列和等比数列的前列的前n n项和可项和可直接用求和公直接用求和公式式. .方法总结方法总结公式求和拆项重组裂项相消错位相减 利用转化利用转化的思想的思想

4、, ,将数列将数列拆分、重组转拆分、重组转化为等差或等化为等差或等比数列求和比数列求和. .拆项重组裂项相消方法总结方法总结公式求和错位相减方法总结方法总结公式求和拆项重组裂项相消错位相减对于通项型如对于通项型如 的数列的数列, ,在求和时将每项在求和时将每项分裂成两项之差的形式分裂成两项之差的形式, ,一般除首末两项或附近一般除首末两项或附近几项外几项外, ,其余各项先后抵其余各项先后抵消消, ,可较易求出前可较易求出前n n项和项和. . 11nnnbba(其中其中 为等差数列）为等差数列）nb是等比数列是等比数列,的前的前n n项和项和, ,可用错位可用错位相减法相减法. . 如果如果

5、是等差数列是等差数列, ,那么求数列那么求数列 nanbnnba 方法总结方法总结公式求和拆项重组裂项相消错位相减 知识要点求数列的前n项和Sn基本方法： 1.直接由等差、等比数列的求和公式求和，等比数列求和时注意分q=1、q1的讨论； 2.拆项分解求和法：把数列的每一项分成几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求和； 3.错位相减法：若一个数列具备有如下特征:它的各项恰好是由某个等差数列与某个等比数列之对应项相乘所构成的,其求和则用错位相减法 (此法即为等比数列求和公式的推导方法)；数列求和4.裂项相消法：把数列的通项拆成几项之差,使在求和时能出现隔项相消(正负相消),剩下（首尾）若干项求和

6、.如: (1) (2) (3)111;(1)1n nnn1111().(21)(21)2 2121nnnn11().ababab5.倒序相加法：即等差数列求和公式的推导方法；巩固练习巩固练习(今日作业今日作业)：111,13 3557求的前n项和22222111312243611482nn（ ）求和9 , 9 9 , 9 9 9 , 求数列 n的前项和1 1111(2 13351111)(1)212122121nSnnnnn解（1）、1 0 (11 0)( 2 )11 01 0(1 01)9nnnSnn、2111 113()2(2)22nannn nnn（ ）、11111111(1)23243

7、521111323(1)221242(1)(2)nSnnnnnnn18 提高练习提高练习 题题1 已知数列已知数列 an 是等差数列是等差数列, 且且 a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求求数列数列 an 的通项公式的通项公式; (2)令令 bn=an 3n, 求数列求数列 bn 前前 n 项和的项和的公式公式.解解: (1)设数列设数列 an 的公差为的公差为 d, 则由已知得则由已知得 3a1+3d=12, d=2. an=2+(n- -1) 2=2n. 故数列故数列 an 的通项公式的通项公式为为 an=2n. (2)由由 bn=an 3n=2n 3n 得数列得数列 bn 前前

8、 n 项和项和 Sn=2 3+4 32+(2n- -2) 3n- -1+2n 3n 3Sn=2 32+4 33+(2n- -2) 3n+2n 3n+1 将将 式减式减 式得式得: - -2Sn=2(3+32+3n)- -2n 3n+1=3(3n- -1)- -2n 3n+1. 2Sn= +n 3n+1. 3(1- -3n) 又又 a1=2, 1923123( )()nnf xa xa xa xa xnN12,na aa2(1)fn na1( )3f解解(1)f(1)=a1+a2+a3+an=n2 an=n2-(n-1)2=2n-112323231111( )311111(2) ( )13 ( )5 ( )(21)