Ch5常微分方程的数值解法Word版

1、Ch5. 常微分方程数值解法1. 引言1. 问题的提出假设一阶微分方程初值问题中的关于满足Lipschitz条件，即存在常数，使得，则由常微分方程理论知，初值问题有唯一解。除了一些特殊类型的方程外，许多微分方程都没有解析解。2. 数值解法的基本思想离散化计算解在离散点上值的近似值，。3. 几个基本概念(1) 单步法与多步法若计算时只用到，则称这种方法为单步法，如；若计算时需用到，则称这种方法为多步法。(2) 显式与隐式若可以直接用表示，则称此计算公式为显式，否则称之为隐式。2. Euler方法1. Euler公式将在上积分，得，用数值积分法求。(1) ，得。 Euler公式(2) ，得。 后退

2、的Euler公式(3) ，得。 梯形公式（隐式）2 / 92. 改进的Euler公式Euler公式计算简便，但精度差，梯形公式为隐式，计算较复杂，但精度较高，可将两者结合。，称为改进的Euler公式，上式也可写为。例1 用Euler公式和改进的Euler公式求解初值问题。解 (贝努里方程，)，。由，得，从而。Euler公式：。改进的Euler公式：。x0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0Euler1.1001.1921.2771.3581.4351.5091.5801.6501.7171.785Euler改1.0961.1841.2661.3431.4161.4861.

3、5531.6161.6781.738准确1.0951.1831.2651.3421.4141.4831.5491.6121.6731.7323. Runge-Kutta方法1. Taylor级数方法与阶对，有Taylor级数，将此级数截断，并用代替，得阶Taylor公式。显然截断误差为。定义 若某方法的截断误差为，则称此方法精度为阶。2. Runge-Kutta方法基本思想， 平均斜率。(1) 取，即为Euler公式；(2) 取，即为后退的Euler公式；(3) 取，即为梯形公式。借用Taylor级数法的思想，将中的(平均斜率)表示为在若干点处值的线性组合，通过选择组合系数使公式达到一定的阶。

4、3. 二阶Runge-Kutta方法选为在某两点处值的线性组合，即，其中 ，待定。将代入，得。将上式与二阶Taylor公式对比，得（*）。根据Euler公式， ，代入得，其中满足（*）式，称之为二阶Runge-Kutta公式。特别地，当时， 改进的Euler公式。4. 四阶Runge-Kutta方法三阶Runge-Kutta方法较少使用，仿二阶Runge-Kutta方法，可得四阶Runge-Kutta公式。经典的四阶Runge-Kutta公式为。特点 单步、自开始；精度高，误差为，四阶；数值稳定；要计算四次函数值；对解的光滑性要求高。例2 用经典的四阶R-K公式求解初值问题。Euler公式计算

5、结果改进的Euler公式计算结果四阶Runge-Kutta公式计算结果4. 单步法的收敛性与稳定性1. 收敛性定义1 若某数值解法对固定的，当时（此时）， ，则称此方法收敛。例3 对典型方程考察Euler方法的收敛性。解 Euler公式为。，而，即，故收敛。例4 用梯形方法解初值问题，证明其近似解为，并考察它的收敛性。解 显然，初值问题的解为。，故方法收敛。定理 若数值方法中的关于满足Lipschitz条件，则该方法收敛。2. 稳定性定义2 若某方法在节点值上有大小为的摄动，而其后各节点上的误差均不超过，则称此方法是稳定的。例5 对方程考察Euler公式和后退的Euler公式的稳定性。解 对应的Euler公式为。若在上有摄动值，而它使产生的摄动值为，则 。显然，即时，Euler公式稳定，称之为条件稳定。后退的