加强数形结合提高解题能力

1、 加强数形结合，提高解题能力例谈数形结合思想在初中数学中的应用 摘要：恩格斯说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”数学中的两大研究对象“数”和“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素数形结合是贯穿于数学发展的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远一方面，借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观感；另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论“数”和“形”的信息转换、相互渗透，不仅使解题简洁明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径数形结合是连接“数”和“形”的“桥”，它不仅是一种重要的解题方法，更是一种重要的数学思

2、想 关键词：数形结合、以形助数、以数解形，函数，方程，不等式，比较大小，绝对值 一、数形结合就是把抽象的数学与直观的图形结合起来进行思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，从而利用数形的辩证统一，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 二、研究的目的和意义 数是形的抽象概括，形是数的直观表现华罗庚教授说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事非”数形结合就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法数形结合的

3、思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化 数形结合思想方法是中学数学基础知识的精髓之一，是把许多知识转化为能力的“桥”在中学数学教学中，许多抽象问题学生往往觉得难以理解，如果教师能灵活地引导学生进行数形结合，转化为直观、易感知的问题，学生就易理解，就能把问题解决，从而获得成功的体验，增强学生学习数学的信心尤其是对于较难问题，学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决，心情更是愉悦，这样，就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性同时，学生一旦掌握了数形结合法，并不断进行尝试、运用，许多问题就能迎刃而解

4、三、数形结合在提高学生解题能力中的作用 题型一 数形结合思想在绝对值方面的应用 大家都知道绝对值的另一种理解数轴上两点间的距离.如-8表示-8到原点0的距离，也就是数轴上-8和0之间的距离，可表示为-8-08.又如数轴上-4和2之间的距离是6也就是-4-26.在学习绝对值的过程中，我们利用了数轴，这体现了数形结合的思想 例1 求|x-1|+|x+2|的最小值 解析 |x-1|表示x到1的距离，而|x+2|则表示x与-2之间的距离。在数轴上，找到到1与-2的距离之和最小的点，我们知道它一定位于1与-2之间，由此我们可知最小距离为3，即|x-1|+|x+2|的最小值为3. 注 该题也可采用去绝对值

5、的办法，但相对来说较为繁琐，需对x的大小分三种情形进行讨论，对于初中生来说不易理解掌握. 题型二 数形结合思想在函数方面的应用 例2 已知直线y1=x,y2=x+1,y3=x+5的图象如图（1）所示，若无论x取何值，y总取y1,y2,y3中的最小值，求y的最大值. y y1 y y1 y2 y2 0 y3 x 0 y3 x 图(1) 图（2） 解析 由于y总取y1,y2,y3中的最小值，则所有图像中最下方的部分就组成了函数y的图像，因此y关于x的图像就是图（2）中的实线部分，是一条折线.由图看出这条折线有一个最高点P，只需求出点P的纵坐标就可求出y的最大值.由y2=x+1,y3=-x+5得方程

6、组y=x+1,y=-x+5解之得x=,y=.所以，y的最大值为 题型三 数形结合思想在方程方面的应用例3 函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 y B.有两个相等的实数根 3 C. 没有实数根 0 x D.无法确定 解析 所给的方程是一元二次方程，一般通过计算来判定根的情况.如果发挥图像的作用，答案几乎可以一眼看穿.把方程ax2+bx+c-3=0写成ax2+bx+c=3,它的根就是函数y=ax2+bx+c的图像与直线y=3交点的横坐标.由图可知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=3只有一个交点（就是抛物线

7、的顶点），因此方程ax2+bx+c-3=0有两个相等的实数根，选B. 题型四 数形结合思想在不等式方面的应用 例4 如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3,0）则由图象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是 解析 根据二次函数图像的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点为（-1,0），补全函数图像可知当1x3时这条抛物线上的点在x轴的下方，因此不等 y ax2+bx+c0的解集是1x3. 0 1 3 x 题型五 数形结合思想在比较大小方面的应用 例5 若函数y=x2-4x+c,那么（ ） A.(2)f(1)f(4) y B.f(1)f(2)f(4) 0 1 2 3 xC.f(2)f(4)f(1) f(1) f(3) D.(4)f(2)f(1) f(2) 解析 所要比较的三个函数值不在同一单调区间，可以 考虑运用二次函数的单调性，f(1)=f(3),则可用二次函数的单调性进行比较.选A. 从以上各例可以看出，解题时如能见“数”想“形”，以“形”助“数”，使“数”与“形”珠联璧合，相