复数的概念及其运算知识梳理

1、第四节复数的概念及其运算*X方仁山复习目标学法指导1,理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.2,了解复数的代数表示法及其几何意义.3.掌握复数代数形式的四则运算.4,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.理解复数的有关概念是基础，解决复数问题的基本思路是把复数问题实数化.复数代数形式的运算类似多项式的运算，加法类似合并同类项，乘法类似多项式乘以多项式，除法类似分母后埋化，因此要用类比的思想学习复数的运算问题.知识塞条完善W网络构建网络构建一、复数的有关概念1.复数的定义形如a+bi(a,b6R)的数叫做复数，其中实部是a,虚部是b(i是虚数单位).实数b=0复数z=a+bi(a,bR)

2、兴纯虚数a=0非纯虚数a03,复数相等a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,dR).4 .共钝复数a+bi与c+di互为共钝复数？a=c且b=-d(a,b,c,dR).5 .复数的模向量戕的模叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=Vab2(r0,r,a,bR).二、复数的几何意义1.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.2.实轴、虚轴在复平面内,x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数.3,复数的几何表示复数z=a+bi,一时应复平面内的点Z(a,b)用二.对应J平面向量戕.三、复数

3、的运算1,复数的加、减、乘、除运算法则设zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),贝U(1)加法:zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;减法:zi-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:zi-z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;(4)除法：三=土国=abicdi二能当+二i(c+di?0).z2cdicdicdic2d一？d22,复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何zi,z2,z36C,有zi+Z2=Z2+Zi，(zi+Z2)+z3=zi+(z2+Z3).四、与复数运算有关

4、的结论1 .(1士i)2=2i.2 .L2=i,LJ=-i.1i1i3 .(a+bi)(a-bi)=a2+b2.4 .(abi)2=a2-b22abi.5 .abi=b-ai.i口拓展空间概念理解复数的代数形式z=a+bi(a,bR),虚部是b而不是bi,即实部和虚部都是实数.(2)一个复数若为纯虚数， 则既要满足实数a=0,又要满足虚部b?0,两个条件缺一不可.(3)两个复数一般不能比较大小，只能说相等或不相等.(4)两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等.(5)虚轴上的点除原点外都表示纯虚数.(6)复平面内表示复数z=a+bi的点Z的坐标为(a,b),而不是(a,bi).五、复数

5、的模设Zi,Z2是任意两个复数，|Z1Z2|=|z11Tz2|,|至尸件(|Z2|*0).Z2Z2(2)|Zn|=|Z11n(n6N*).(3)|ZI|-|Z2|Zi+Z2|ZI|+|Z2|,等号成立的条件是当|Zi+Z2|=|zi|+|z2|时， 即zi,z2所对应的向量同向共线； 当|Zi|-|Z2|=|Zi+Z2|时，即Zi,Z2所对应的向量反向共线.(4)|zi|-|z2|zi-z2|=_2i=2i(1i)=-1-i,1i1i2故Z的虚部为-1,模为质.答案：-123.若复数z满足|z-3i|=5,求|z+2|的最大值和最小值.解：由复数模的几何意义可知，|z-3i|=5表示以(0,3

6、)为圆心，以5为半径的圆上的点.则|z+2|表示该圆上点到点(-2,0)的距离，由图可知,|z+2|的最大值为5+对，最小值为5-屈.考点三复数代数形式的运算例3(1)i是虚数单位，复数。等于()34i(A)1-i(B)-1+i尸争若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()(A)-4(B)-4(C)4(D)：55解析:(1)M%-=7i34i=2g2gi=1-i.34i34i34i25(A)-4+2i(B)4-2i(C)-2+i(D)2-i故选A.解析:(2)z=2=2_534i34i34i_534i25=3+4i,55所以复数z的虚部是4,故选D.5反思归纳(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算；复数除法运算的关键是分子、分母同乘以分母的共钝复数转化为复数的乘法运算，注意要把i的哥化成最简形式.(2)将所求复数z分离出来，利用复数运算法则求解.口迁移训赛1 .已知z=LL,其中i是虚数单位，则z+z2+z3+-+z2017的值为(C)1i(A)1+i(B)1-i(C)i(D)-i解析：由于z=i,1i所以z+z2+z3+-+z2017=504(i+i2+i3+i4)+i=i,故选C.2 .已知复数ZI满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,z1