幂级数laurent级数Fourier级数课件

1、第第3 3节节 解析函数的孤立奇点与留数解析函数的孤立奇点与留数 留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。一.孤立奇点及其分类定义1 若 在 不解析，但在 的某一去心邻域0z0z)(zf00zz内解析，则称 是 的孤立奇点。)(zf0z非孤立奇点孤立奇点奇点0z)(zf（1） 为 的可去奇点：nnnzzC)(0若 中无负幂项000000)()(zzzzCzfzzCnnn解析，且在则重新定义000)(,)(zzfCzf000,)()(zzzzCzfnnn0)(lim0Czfzz根据Laurent级数的形式分类：0z00zz)(zf0z设 为 的孤立奇点,在

2、的去心邻域)(zf内 ， 的Laurent 展式为:nnnzzCzf)()(0孤立奇点可按以下两种方式分类：0z)(zf（3） 为 的本性奇点：若 中负幂项有nnnzzC)(0无穷多项,)()()()( ),()()(00202010内解析在其中zzzzCzzCzzCCzgzgzzzfmnnnmmmm不存在也不为)(lim0zfzz（2） 为 的( m 级)极点：0z)(zfnnnzzC)(0若 中负幂项只有有限项(m项)()()( )()(,0010101000zzCCzzCzzCzzCzfzzmmmnnn)(lim0zfzz不存在且不为存在且有界本性奇点极点可去奇点)(lim)(lim)(

3、lim000zfzfzfzzzzzz定义2 级零点。的为则称为一正整数，解析且在其中能表示成若mzfzmzzzzzzzfzfm)(,0)()(),()()()(0000根据 的极 限分类：)(0zfzz时的零点。为则称若)(, 0)(00zfzzf AzfzzAznnn)(lim, ),(00使得的点列存在趋向于有限或无穷数为本性奇点. 0)(),1, 1 , 0(0)(0)(0)(zfmnzfmn性质1级零点的为则解析在若mzfzzzf)(,)(00性质2级零点的为级极点的为mzfzmzfz)(1)(00例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：12)1(sin)()1(zzzf解为非孤立奇点0

4、 z为极点，), 2, 1(kzk级极点为10)1sin()(1( ,0)(12kzkzzzzfzfk0lim)., 2, 1(1, 0:kkkzkkzz奇点)(limzfkzz2222)1(sin)1()()2(zzzzzf解1, 1, 0:zzz奇点为极点，0)(lim0zzfz级极点为10)1()1(! 311)(2222zzzzzzf级极点为 21z为可去奇点1z)1(1)()3(2zezzf级零点的为零点级的为级零点的为级零点的为1)1()(1), 1(,3)1()(1011), 1, 0(2,20222zkzzkezzfkzezzfzekikzzz解级极点的为级极点的为1)(),

5、1(2,3)(0zfkikzzfzkzzzf1cos)()4(0:z奇点解1)!2()1(1!411!2111cos)(242nnznzzzzzzf的本性奇点为)(0zfz 以上讨论了当 为有限奇点时，孤立奇点的分类。0z现讨论若 在无穷远点的去心邻域内解析（这时)(zf处的性态。在无穷远点为孤立奇点）称)(,zf内解析的去心邻域在无穷远点设zRzzf)(zt1内解析的去心邻域在Rtttft100)1()(Laurent 展式为:nnnzCzf)(Laurent 展式为:nnntCt)(本性奇点级极点的可去奇点为称本性奇点时，级极点的可去奇点为规定：当,)(,)(0mzfzmtt为本性奇点z)

6、(limzfz存在且有界)(limzfz不含正幂项（)(zRzCzfnnn为可去奇点z为极点z只含有限个正幂项（)(zRzCzfnnn含无穷多个正幂项（)(zRzCzfnnn不存在且不为)(limzfz223!51!311sinzzzz例如关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为原点情况或者利用已知函数的展开式来判定，当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内的Laurent展式。的本性奇点为级极点的为)(,2)(0zfzzfz3!3111sinzzz的可去奇点为的本性奇点为)(,)(0zfzzfz二.留数0z00zz)(zf0z设 为 的孤立奇点,在 的去心邻域)(zf内 ， 的Laurent 展

7、式为:nnnzzCzf)()(0对上式两边积分得的任一条简单闭曲线，内包含为000zzzL12)(iCdzzfL10001)(21),(Res,),(Res)()(21CdzzfizzfzzfzzfdzzfiCLL即的留数，记为在为称1)(21),(ReCdzzfizfsL无穷远点处的留数内解析的去心邻域在无穷远点设zRzzf)(处的留数定义为在则简单闭曲线，内任一条逆时针方向的为)(zfzRL的系数中展式内的在为其中11Laurent)(zzCzRzfCnnn0),(Res0zzf)()(lim),( sRe000zfzzzzfzz)()(lim)!1(1),( sRe01100zfzzdz

8、dmzzfmmmzz留数计算法：则的可去奇点为若,)() 1 (0zfz则级极点的为若,1)()2(0zfz则级极点的为若,)()3(0mzfz , 0)(, 0)(, 0)()()(,)()()()4(0000则解析，且在及设zQzQzPzzQzPzQzPzf0 ,z1)z1(Res),(zRes )5(2ff)()(),(zRes 000zQzPzf1m),(Re)(3) 1()(2)!1(lim)!1(1)()(lim)!1(10120100101100zzfsCzzCmzzCmCmmzfzzdzdmzzmmmzz于是证明,)()3(0级极点的为若mzfz的去心邻域内则在0z)()()(

9、 )(0101010zzCCzzCzzCzfmm,)()()()(001010mmmmzzCzzCCzfzz0mC）；即得（）中取（注：2, 13. 1m2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m,也可当作级数为m 来计算。这是因为表达式)()()()()(00101010zzCzzCzzCCzzzfmmmm这不影响证明结果。的系数 中可能有一个或几个为零而已，,1mmCC例2 求下列函数的奇点并计算留数：)2(23)()1 (2zzzzf解法1为可去奇点级极点为级极点为zzz,12,2012322321)2(23212),(Res2222zLLzzdzzzzidzzzzizf1)223()

10、!12(122321)2(23210),(Res022zLLzzdzzzzidzzzzizf0)223(23()223223(21)2(23)2(23(21)2(2321)2(2321),(Res0222222222121zzLLLLLLzzzzdzzzzdzzzzidzzzzdzzzzidzzzzidzzzzizf 法2123lim)()2(lim2),(Res222zzzfzzfzz1)2(4lim )(lim)!12(10),(Res2020zzfzzfzz1)2(223 )2(232),(Res2222zzzzzzzzzzf或00 ,2z12z3Res 0 ,z1)z1(Res),(z

11、Res 22ff法3级数内展成在将Laurent220)( zzf4121)2(1 21)2(1 43)22(221 21)22(221 43222222zzzzzzzzz22222221 121221 143)2(2)2(42)2(3)2(2)2(4)2( 3)(zzzzzzzzzzf.12),(Re1Czfs级数内展成在将Laurent20)( zzf)21 (2431)243(1)(22zzzzzf42111)8421 (2312322zzzzzzz.10),(Re1Czfs级数内展成在将Laurent2)( zzf)21 (431)243(1)(22zzzzzzf432322243)8

12、421 (431zzzzzzzz.0),(Re1Czfsze11)2(解3213211)1(! 31)1(!21)1(1)1 (1! 31)1 (1!21111zzzzzzez时的可去奇点为的本性奇点为10)(,)(1zzfzzfz.11),(Re1Czfs时 z1232232112111 )21(!21)111 (11 )11(!2111111)1 (1! 31)1 (1!21111zzzzzzzzzzzzzez.1),(Re1Czfs. 1221210 ,Re0 ,1)1(Re),(Re0121212zzzLzzzzeiidzzeizeszzfszfs 或或421)()3(zezfz140

13、442!2!1)2(111)(nnnnzznnzzzezf.340),(Re1Czfs341lim! 310),(Re)3(4240zezzfszz解 法1)(zf所以，0为 的三级极点，且法2 因为0是分子的一级零点，是分母的四级零点，)(zf所以0是 的三级极点，取 m=4,由公式 2 得.34),(Re1CzfsLnkkzzfsidzzf1),(Re2)(三.留数定理)(zf定理定理1 设函数 在区域D内除有限个孤立奇点nzzz,21外处处解析，L是D内包围诸奇点的一条逆时针方向简单闭曲线，那么由复合闭路定理,得利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分，转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处

14、的留数。0),(Re),(Re1nkkzzfszfs)(zf定理定理2 如果函数 在扩充的复平面内除有限个点）的留数的总和必等于零,即)(zf孤立奇点外解析，那么 在所有各奇点（包括逆时针。),(2:d)1()1(1)1 (2222yxyxLzzzIL例3 计算下列积分：解2)4121(2)()(lim )()1(lim)!12(1i2),(Res1),(i(Res2I21iizfizzfzizfzfizz由留数定理1，得.2)1()1(:, 1, 1)1()1(1)(2222内在的奇点为yxLizzizzzzzf逆时针。,25:d)1)(3(1)2(5zLzzzIL.3),4, 3,2, 1

15、,0(01)(5外在奇点的五个根奇点为内在LzkzzzfLk由留数定理1，2，得,2421)()3(lim3),(Res3zfzzfz其中121)02421(2),(Re3),(Re(2),(Re251iizfszfsizzfsiIkk解)111)(931 (1)11 ()31 (1)1)(3(110526555zzzzzzzzzzz时 z3.0),(Re1Czfs00 ,)1)(31 (Re0 ,1)1(Re),(Re542可可去去奇奇点点或或zzzszzfszfs四.利用留数计算某些实积分,)sin,(cos) 1 (20型dRizdzizzzzRdRzezi)2,2()sin,(cos1

16、1120.)cos32202xdx（计算122202)21321)cos32zizdzzzxdx（例4解.2 , 0cossin)sin,(cos 上连续的有理函数，在，为其中R4)3(lim234) 1343431122zziizzzdzizz（,)()2(型dxxR满足：),0, 0()()()(1010nmnnmmnmbaxbxbbxaxaaxQxPxR则在实轴上无奇点，即在实轴上)(, 0)()2(, 2) 1 (zRzQmnn),(Re2)(kzzRsidxxR点。在上半平面内的所有奇为其中)(zRzk其中证由留数定理得轴所围的区域内。与内的所有奇点都在在上半平面适当大，使的半圆周。

17、取为半径的在上半平面以原点为中心，xCzRRRCRR)(:),(Re2)()(kCRRzzRsidzzRdxxRR上在RC)()()()(1101101010nnnmnmmmnnmmnmbzbzbzazazazbzbbzazaazQzPzR充分大，使取RnRMzR)(RMRRMdzzRdzzRRRCC2)()()(0R于是得两边令等式,),(Re2)()(RzzRsidzzRdxxRkCRRR),(Re2)(kzzRsidxxR. ), 0, 0()22222bababxaxdx（计算)1)(2222222222bxaxdxbzazzf（232222223222)(2)2()(21)(432)()(lim) )()(lim2),(Re),(Re2abbaababbiabiaabizfbizzfaizibizfsaizfsibizaiz例5解.)1032 xdx（计算dxxdxxzzf3232032)1121)11)11)(（163)(12lim21 )()(lim)!13(1),(Re22133 izizfiziizfsiiziz例6解,)0()()3(型adxexRiax满足：),0, 0()()()(1010nmnnmmnmbaxbxbbxaxaaxQxPxR,)(Re2)(kiaxiaxzezRsidx