高数D0闭区间上连续函数的性质ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 一、最值定理一、最值定理 二、介值定理二、介值定理 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意: 若函数在开区间上连续若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一、最值定理一、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(baCxf12那么, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,xyab)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 21,31,110,1)(xxxxxxf22也无最大值

2、和最小值 又如又如, xy11OxyO11目录 上页 下页 返回 结束 ,)(baxf在因此12mM二、介值定理二、介值定理由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .定理定理2. ( 零点定理零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使.0)(f0)()(bfaf( 证明略 )推论推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界. b xya)(xfy Oxyab)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3. ( 介值定理介值定理 ) 设 ,

3、,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数作辅助函数Cxfx)()(那么,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论: 在闭区间上的连续函数在闭区间上的连续函数C使.)(Cf至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .xAbya)(xfy BO目录 上页 下页 返回 结束 例例. 证明方程证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,

4、0(使,0)(f即01423在区间)1 ,0(内至少有目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结则设, ,)(baCxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba目录 上页 下页 返回 结束 1. 任给一张面积为任给一张面积为 A 的纸片的纸片(如图如图), 证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示: 建立坐标系如图.xOy则面积函数,)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使)(S目录 上页 下页 返回 结束 , 2,0)(aCxf, )2()0(aff证明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令令, )()()(xfaxfx那么, ,0)(aCx 易证0)()0(a2. 设设作业作业P74 (习题习题110） 2 ; 5一点目录 上页 下页 返回 结束 ,4,0)(上连续在闭区间xf备用题备用题 1e3xx至少有一个不超过 4 的 证：证：证明令1e)(3x