第35课时2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2012.3.23

1、平面向量的数量积的平面向量的数量积的物理背景及其含义物理背景及其含义向量的夹角向量的夹角 两个非零向量两个非零向量a 和和b ，作，作 ， ，则，则 叫做向量叫做向量a 和和b 的夹角的夹角aOA bOB AOB)1800( OABab OABba若若 ，a 与与b 同向同向0 OABba若若 ，a 与与b 反向反向180 OABab 若若 ，a 与与b 垂直，垂直，90 ba 记作记作.0,:范围是是同起点的两向量必须两向量的夹角定义注意复习回顾复习回顾sF 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生位的作用下产生位移移s，那么力，那么力F 所做的功应当怎样计所做的功应当怎样计算？算？其中力其

2、中力F 和位移和位移s 是向量，功是数量是向量，功是数量.| s|F|W cos 是是F的方向的方向 与与s的方向的方向 的夹角。的夹角。平面向量数量积的物理背景平面向量数量积的物理背景问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。cosSFW| a| bcos ba功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义说明：说明： 已知两个已知两个非零非零

3、向量向量a 和和b ，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把，我们把数量数量 叫做叫做a 与与b 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作a b ，即即 cos|ba cos|baba （2） a b中间的中间的“ ”在向量的运算中不能省略，也不能在向量的运算中不能省略，也不能写写 成成ab ，ab 表示向量的另一种运算（外积）表示向量的另一种运算（外积）规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 00a（1）问题问题3 3：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？结果有什么不同？实数同向量积的实数

4、同向量积的线性运算的结果是线性运算的结果是向量向量两向量的数量积是一个实数，是一个两向量的数量积是一个实数，是一个数量数量问题问题4：影响数量积大小的因素有哪些？：影响数量积大小的因素有哪些？a b|a |b |cos这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。夹角夹角 的范围的范围 900 9018090的正负ba正正负负0数量积符号由数量积符号由cos 的符号所决定的符号所决定平面向量的数量积的运算性质平面向量的数量积的运算性质问题问题5 5：设：设a与与b都是非零向量，若都是非零向量，若ab，则，则ab等于多少？等于多少

5、？反之成立吗？反之成立吗？ ab ab0问题问题6 6：当：当a与与b同向时，同向时，ab等于什么？当等于什么？当a与与b反向时，反向时，ab等于什么？特别地，等于什么？特别地，aa等于什么？等于什么？ 当当a与与b同向时，同向时，abab；当当a与与b反向时，反向时，abab；aaa2a2或或a .aa. cosbaba 12, 9, 54 2,.ababab 例：已知求与的夹角212abaa bb 例：已知 ， 满足：=9，求的取值范围。问题问题7 7：ab与与ab的大小关系如何？为什么的大小关系如何？为什么？ abab 问题问题8：对于向量：对于向量a，b，如何求它们的夹角，如何求它们的

6、夹角？ （）（）a b | a | | b |.（）（）ab a b=0 .(判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据)|.2或a aaaa a特别地，特别地，（）当（）当a与与b同向时，同向时，ab | a | | b |；当当a与与b反向时，反向时，ab | a | | b |.cos.a bab（）（）平面向量的数量积的运算性质平面向量的数量积的运算性质设向量设向量a、b为两非零向量，为两非零向量，e是与是与b同向的单位向量：同向的单位向量： 例例1 . 1 . 已知已知，当，当，与与的夹角是的夹角是6060时，分别求时，分别求. .解：当时，若与同向，则它们的夹角，cos036118；

7、若与反向，则它们的夹角180，cos18036（-1）18；当时，它们的夹角90，；当与的夹角是60时，有cos6036219平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的几何意义向量向量a在在b方向上的投影方向上的投影是什么？是什么？ 投影一定是正数吗？投影一定是正数吗？| b | cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的方向上的投影投影bOBaOA ，作作，过点，过点B作作1BB垂直于直线垂直于直线OA，垂足为，垂足为 ，则，则1B 1OB| b | cosOABab 1BacosC说明：说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABab 1BBOAab 1BO

8、ABab )(1B为锐角时，为锐角时，| b | cos0为钝角时，为钝角时，| b | cos0为直角时，为直角时，| b | cos=0当当 = 0 时投影为时投影为|b|当当 = 180 时投影为时投影为-|b|.问题问题4 4：根据投影的概念，数量积：根据投影的概念，数量积ab=a| |bcos的几何意义是什么？的几何意义是什么？ 数量积数量积ab等于等于a的模与的模与b在在a方向上的方向上的投影投影bcos的乘积，或等于的乘积，或等于b的模与的模与a在在b方向上的投影方向上的投影acos的乘积的乘积. .上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（

9、夹角为与若abbababababa000012041203902301,8| ,4|32024练一练：练一练：类比实数的乘法运算律：()()()a bb aab ca bcabca ba c 交换律：结合律：分配律：数量积的运算律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：关于向量的数量积运算：平面向量的数量积平面向量的数量积运算律运算律数量积运算不满足乘法结合律。数量积运算不满足乘法结合律。交换律：交换律： abba分配律：分配律：cbcacba )( 思考思考： ab与与ba相等吗？为什么？相等吗？为什么？ 思考：思考：对于非零向量对于非零向量a，b，c，(ab)c表示什么意义？表示什么意义？

10、(ab)c与与 a(bc)相等吗？为什么？相等吗？为什么？思考思考：对于向量：对于向量a，b，c，(ab)c表示什么意义？它与表示什么意义？它与acbc相等吗？为什么？相等吗？为什么？问题问题: : 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些 运算运算律对向量是否也适用？律对向量是否也适用？ 数乘结合律：数乘结合律：(a)b(ab)a(b)12 1A1BABOabCc2B1| |cos|cosOBOBab 11| |cosOAa1122| | |cosABABb 如图可知：如图可知：111112| |cos|cos|cosOBOAABabab 12|cos|cos

11、|coscabcac b()abca cb c ()abca cb c ()cabc ac b 练习：练习：否正确，并说明理由一、判断下列各命题是3 3若若a 00，a b b = =0，则，则b= =02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b ,有有a b01 1若若a = =0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b= =04 4若若a b= =0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b= = b c，则，则a=c6 6若若a b = = a c , ,则则bc, ,当且仅当当且仅当a= =0 时成立时成立7对任意向量对任意向量 a 有有22|aa 222222 (1) 2(2) ababaa bbababab例 、 对 任 意 向 量 ，是 否 有 以 下 结 论 ： 3646023 . aba babab例、已知， 与的夹角为，求4 34ababkakbakb例 、已知， 与 不共线， 为何值时，向量与互相垂直？小结小结1. 向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的