1随机序列及数字特征ppt课件

1、 第一章 基础知识：时域离散随机信号分析1.1 随机序列与随机矢量1.1.1时域离散随机信号(随机序列)1. 随机序列的特征:随机序列是所有可能的随机变量的集合, 其特征是:幅度和时间均取离散值。其中离散时间用序号 表示；每个时间点上的信号取值是随机的,不可预测。n0随机变量和随机过程及其样本)(nx3n2n1n1( )x n2( )x n3( )x n11()nx12()nx13()nx1nX随机变量21()nx31()nx随机序列一个样本随机变量样本( )X n随机过程2.符号与意义:留意留意: : 为方便计，以下讨论有时用为方便计，以下讨论有时用 或或 表示随机表示随机序列或随机变量；将

2、样本序列简单表示为序列或随机变量；将样本序列简单表示为: : ; ; ; ; ; ; ; ; ( )x nnx11( )nx nx22( )nx nx( )inix nx根据随机过程的定义，一个随机序列就是一个随机过程。根据随机过程的定义，一个随机序列就是一个随机过程。1.1.2随机矢量随机矢量 ，是有限维或无限维随机变量的集合，表示为:其中， 表示随机变量在时间 的样本值。有限维( 维)随机矢量： 常用：一维 ；二维 。xT12,nx xxxnxnNT12,Nx xxx1x12,x x1.2 随机序列的统计描述随机变量取值是随机的，但其统计特性(包括概率特性和统计平均特性)是确定的， 因此时

3、域可用其特性量表征；频域用功率谱表征。二维: 描述随机序列中两个时间点( 与 )上的随机变量 与 之间的关系，即 上式含义: 与 点的随机变量 与 ，其取值同时满足 及 的概率, 亦称“二维联合概率分布函数”。1.2.1概率描述1.概率分布函数一维: 描述随机序列在某一时刻 的统计特性, 即 上式含义：随机变量 在点 上取值不超过 的概率。(, )()nXnnnFx nP XxnnXnnxnmnXmX,(, ,)(,)nmXXnmnnmmFx n xmP XxXxnmnXmXnnxXmmxX2.概率密度函数一维: 设 取连续值, 则一维概率密度函数定义为: (1.2.3) 因此， 可等价表示为

4、：式中， 是在范围 到 内， 取值的微概率。二维: 对于连续变量 和 , 其二维概率密度函数为：(1.2.4) nX(, )(, )nnXnXnnpx nFx nx),(nxFnXn(, )( , )nnnxXnXFx npx n dxdxnxpnX),(xdxx nXnXmX2,(, ,)(, ;,)nmnmXXnmXXnmnmpx n xmFx n xmxx 阐明阐明: 概率分布函数可完整地描述随机序列概率分布函数可完整地描述随机序列, 但实际中却很难得但实际中却很难得到。而随机序列的数字特征统计平均值，到。而随机序列的数字特征统计平均值， 方差，相关函数方差，相关函数等比较容易测量和计算

5、。等比较容易测量和计算。 因此常用这些数字特征描述随机序列。因此常用这些数字特征描述随机序列。1.2.2 随机序列的数字特征1.1.数学期望数学期望( (统计平均值统计平均值, , 一阶原点矩一阶原点矩) )定义：定义： (1.2.5)(1.2.5)意义意义: : 表示随机过程的全部样本在同一时刻表示随机过程的全部样本在同一时刻( ( 点点) )随机随机变量变量 取值的中心取值的中心( (统计平均值统计平均值) )。( ) ( )( )( , )nxxm nE x nx npx n dx随机变量在n时刻的取值取值区间x , x+x上的微概率(密度函数)nnx2.均方值与方差（1均方值 (二阶原

6、点矩)定义:(1.2.6)意义: 假设 代表电流或电压, 均方值则表示在 时刻消耗在1电阻上的集合平均功率。（2方差 (二阶中心矩)定义:(1.2.7) 22| | ( )|( , )nnxE Xx npx n dxnXn22( )|( )| xnxnE Xm n有时将x称为标准方差意义: 方差表示 取值的分散程度或偏离中心值的大小）。假设 代表电流或电压,方差则表示消耗在1电阻上的交变功率的集合平均. 3.相关函数与协方差函数（1自相关函数(二阶联合原点矩)定义:(1.2.8)式中的“*”表示复共轭。意义: 反映同一随机序列在不同时刻取值的关联程度。nXnX,( ,)(, ,)nmxxnmn

7、mXXnmnmRn mE XXx x px n xm dx dx（2自协方差函数(二阶联合中心矩)定义:(1.2.9)或者表示为：(1.2.10)假设 , 那么(1.2.11)即对零均值随机序列, 自相关函数与自协方差函数相等。意义: 反映同一随机序列在不同时刻取值偏离中心值的关联程度。( ,)() ()nmxxnXmXCn mE XmXm( ,)( ,)nmxxxxXXCn mRn mmm0mnXXmm( ,)( ,)xxxxCn mRn m（3互相关函数定义:(1.2.12)意义: 描述两个随机序列在不同时刻取值的关联程度.（4互协方差函数定义:(1.2.13)当 时， 有(1.2.11)

8、意义: 描述两个随机序列在不同时刻取值偏离中心值的关联程度。,( , )(, , )nmxynmnmXYnmnmRn mE XYxypx n ym dx dy( ,)() ()( ,)nmnmxynXmYxyXYCn mEXmYmRn mmm0mnYXmm( ,)( ,)xyxyCn mRn m1.2.3 平稳随机序列及其数字特征1.何谓平稳随机序列? 平稳随机序列的统计特性不随时间的平移而变化.狭义(严)平稳随机序列: 其 维概率分布函数满足：(1.2.12) 即这类平稳随机序列的 维概率分布函数与 的起始位置无关. 实践很难实现狭义(严)平稳随机序列 N1212,12,12(,1,2,)(

9、 ,1,2,)kkN kNXXXkkN kX XXNFxk xkxNkFxxxNNn将随机序列在时间上平移k, 其统计特性不变,意味着与时间起点无关广义广义(宽宽)平稳随机序列平稳随机序列: 均值和均方差不随时间改变均值和均方差不随时间改变, 其相关函数仅其相关函数仅是时间差的函数是时间差的函数. 下面重点研究广义平稳随机序列下面重点研究广义平稳随机序列, 并简称为并简称为“平稳随平稳随机序列机序列”.2.实平稳随机序列的数字特征实平稳随机序列的数字特征（1与时间与时间 无关的数字特征：无关的数字特征：均值均值:(1.2.13)均方值均方值:(1.2.14) nxnnmmE xE x22| |

10、 nn mE XE X方差:(1.2.15) （2与起始时间 无关, 仅与时间差 有关的数字特征自相关函数:(1.2.16a)或 (1.2.16b)222| | xnxn mxE xmE xmnm( ) ( )()xxRmE x nx nm( )xxnn mRmE xx自协方差函数:(1.2.17) 互相关函数:或 (1.2.18)互协方差函数: (1.2.19)22( )() ()( )xxnxn mxnn mxxxxCmE xmxmE xxmRmm( ) ( )()xyRmE x ny nm( )xynn mRmE xy( )()()( )xynxn myxyxyCmE xmymRmm m

11、3.3.实平稳随机序列的相关函数实平稳随机序列的相关函数, , 协方差函数的性质协方差函数的性质（1 1是是 的偶函数的偶函数: :(1.2.20)(1.2.20)(1.2.21)(1.2.21)（2 2） 的值等于随机序列的平均功率的值等于随机序列的平均功率: :(1.2.22) (1.2.22) m( )( )()xyxxxxyxRmRmRmRm( )( )()xyxxxxyxCmCmCmCm参见：1王永德.随机信号分析基础(第二版). p46, p492王宏禹.随机数字信号处理.p4)0(xxR2(0)xxnRE X（3） (1.2.23)（4随着时间差的增大, 随机序列内部的相关性减弱

12、: (1.2.24) (1.2.25)（5） (1.2.26)(1.2.27) (0) |( )|xxxxRRm2lim( )xxxmRmmlim( )xyxymRmm m2( )( )xxxxxCmRmm2(0)xyxC4.4.平稳随机序列互为正交与互不相关条件平稳随机序列互为正交与互不相关条件（1 1正交正交 对于所有的对于所有的 , , 若满足若满足: , : , 则称两个随机序列相互正交则称两个随机序列相互正交. .（2 2不相关不相关 于所有的于所有的 , , 若满足若满足: , , : , , 则称两个随机则称两个随机序序列互不相关列互不相关. . 小结小结 对于平稳随机序列对于平

13、稳随机序列, , 其数字特征中最主要的是自相关函数其数字特征中最主要的是自相关函数 . . 表表现为现为: :m( )0 xyRm m( )xyxyRmm m( )0 xyCm ( )xxRm问题: 解释正交条件和互不相关条件. 时, 均方值；当 时, 与 不相关, 那么 ；当 时, ；频域: 当 时, 功率谱函数。0m 2(0)xxnRE xm nxn mx2( )xxnn mxRE xE xm 222(0)()xnxxxxxE xmRR0 xm ( )( )xxxxCmRm0 xm FT( )( )xxxxRmP当时,下式成立2lim( )0 xxxmR mm 这时Rxx(m)存在z变换和付氏变换。1.2.4随机序列数字特征的矢量表示知 维随机矢量为 的均值矢量 的均值 是一个 维矢量: (1.2.28)式中, 为 维随机矢量 的联合概率密度函数:T12 ,Nx xxxNxxmN ( )NEpdmx