2-2随机变量的数字特征ppt课件

1、一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望二、随机变量的方差二、随机变量的方差 2.2 2.2 随机变量的数字特征随机变量的数字特征三、随机变量的矩与切比雪夫不等式三、随机变量的矩与切比雪夫不等式数字特征数字特征-反映反映r.v.分布的某些特征的数值，它更分布的某些特征的数值，它更能集中、明显的反映能集中、明显的反映r.v.统计规律性的某些层面。统计规律性的某些层面。分布函数能完整地描述分布函数能完整地描述 r.v.r.v.的统计特性的统计特性, , 但实际应但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道用中并不都需要知道分布函数，而只需知道 r.v.r.v.的的这些特征这些特征. .判断棉

2、花质量时判断棉花质量时, , 既看纤维的平均长度既看纤维的平均长度 平均长度越长平均长度越长,偏离程度越小偏离程度越小, 质量就越好质量就越好; 又要看又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度纤维长度与平均长度的偏离程度例如：例如：考察一射手的水平考察一射手的水平, , 既要看他的平均环数是既要看他的平均环数是否高否高, , 还要看他弹着点的范围是否小还要看他弹着点的范围是否小, , 即数即数据的波动是否小据的波动是否小. . r.v.的平均取值的平均取值 数学期望数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况取值平均偏离均值的情况 方差方差1 1、离离散散型型随随机机变变量量的的数数学学期期望望_x求

3、求该该射射手手的的平平均均中中耙耙环环数数频率频率1 2 1 2 3 3 2 1 2 2 1 频数频数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10中靶环数中靶环数ixinif220120220320320220120220220120120一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望20观观察察一一名名射射手手次次射射击击的的成成绩绩如如下下引例引例1 0_0iiixnxn 1 00.iiixxp 则则的的 稳稳 定定 值值 为为1 005.iiixf12210191 02 02 02 02 0 .5()设设 中中 靶靶 环环 数数随随 机机 变变 量量的的 概概 率率 分分 布布 为为X,0

4、 , 1, 2 , 1 0 .iPXipi 此数值是对射手真实水平的综合评价，它是以概率此数值是对射手真实水平的综合评价，它是以概率为权重的加权平均，称为为权重的加权平均，称为r.v.X的数学期望。的数学期望。(1,2,),1,2,iiiXx iP Xxp i若若离离散散型型随随机机变变量量 的的可可能能取取值值为为其其概概率率分分布布为为1|iiix p如如果果级级数数时时， 1.iiix pXEX称称为为随随机机变变量量 的的数数学学期期望望（简简称称期期望望），也也叫叫均均值值，记记作作1kkkx p（即即级级数数绝绝对对收收敛敛）义义：定定1().kkkEXxp即即1|iiix pr.

5、v.X如如果果级级数数，称称的的数数学学期期望望不不存存在在。 关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种加它是一种加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的真正平均值取可能值的真正平均值, 也称也称均值均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均

6、值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变. (3)如果如果D.r.v.只取有限多个值，只取有限多个值，EX一定存在。一定存在。52.93XEX设设盒盒中中有有 个个球球，其其中中两两个个白白球球，三三个个黑黑球球，从从中中随随机机抽抽取取 个个球球，记记 为为取取到到的的白白球球数数，求求例例33351010CP XC解解2132356110C CP XC1232353210C CP XC1630121.2101010EX 他们的射击技术分别为他们的射击技术分别为乙两个射手乙两个射手甲甲,试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射

7、手乙射手击击中中环环数数概概率率10982 . 05 . 03 . 0甲射手甲射手击中环数击中环数概率概率10983 . 01 . 06 . 0解解),(3 . 96 . 0101 . 093 . 08)(1环环 XE),( 1 . 93 . 0105 . 092 . 08)(2环环 XE.,21XX为为乙乙射射手手击击中中的的环环数数分分别别设设甲甲平均起来甲射手每枪击中平均起来甲射手每枪击中9.39.3环环, ,乙射手每枪击中乙射手每枪击中9.19.1环环. .因此甲射手的本领要高一些因此甲射手的本领要高一些. .2.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望定义定义( ),|( )

8、d( )d,( )d,().Xf xx f xxx f xxx f xxXE X 设设连连续续型型随随机机变变量量的的概概率率密密度度为为若若积积分分（即即绝绝对对收收敛敛）则则称称积积分分的的值值为为随随机机变变量量的的数数学学期期望望记记为为()( )d .E Xx f xx 即即|( )d. . .x f xxC r v X 若若，称称的的数数学学期期望望不不存存在在。. .,r v X注注：对对于于只只要要数数学学期期望望存存在在，则则一一定定是是一一个个确确定定的的常常数数。2.11,01,( )2,120,Xxxf xxxEX 例例设设随随机机变变量量 的的密密度度函函数数为为，求

9、求其其他他( )EXxf x dx 解解12323101()133xxx 12201(2)x dxxx dx 设顾客在某银行窗口等待服务的时间为设顾客在某银行窗口等待服务的时间为 X(X(以分计以分计),),其概率密度为其概率密度为51,0,( )50,0.xexf xx 试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间? ?解解()( )dE Xx f xx 5015dxxex ).(5 分钟分钟 因此因此, ,顾客平均等待顾客平均等待5 5分钟就可得到服务分钟就可得到服务. .例例 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间? ?例例 均匀分布均匀分布则有则有()( )dE Xxf xx

10、 baxxabd1).(21ba 1,( )0,.axbf xba 其其它它X设设的的概概率率密密度度为为结论结论: 均匀分布的数学期望位于区间的中点均匀分布的数学期望位于区间的中点.2|(1)dxxx 解解 ： 由由 于于，故故 柯柯 西西 分分 布布 的的 数数 学学 期期 望望 不不 存存 在在 。21( )()(1).Xf xxxEX 随随机机变变量量 服服从从柯柯西西分分布布，其其密密度度函函数数为为 求求例例3、随机变量函数的数学期望、随机变量函数的数学期望( (1 1) )随随机机变变量量函函数数概概念念( )()Xg xYg X 设设 是是一一个个随随机机变变量量，是是任任意意

11、实实函函数数，则则称称为为随随机机变变量量X X的的函函数数。定义定义1y = g(x)（注注：）与与之之间间有有确确定定的的函函数数关关系系取取值值的的随随机机性性完完全全由由取取值值的的随随机机性性确确定定。r.v.Yr.v.X,r.v.Yr.v.X(2)r.v.Yr.v.X的的统统计计规规律律性性（分分布布）完完全全由由的的分分布布确确定定；从从而而可可根根据据Y Y的的分分布布求求出出E EY Y. .3. .Yrv XEY（）也也可可以以不不求求 的的分分布布，直直接接由由 的的分分布布求求(2) r.v.函数的期望函数的期望2.1定定理理1( )1,1,2,.| ()|,()iii

12、iiXg xXP Xxp ig xpEg X 设设 是是一一个个随随机机变变量量，是是任任意意实实函函数数，（ ）若若 是是离离散散型型随随机机变变量量，概概率率分分布布为为且且则则存存在在, ,2( )| ( )|( ),()Xf xg xf x dxEg X （ ）若若 是是连连续续型型随随机机变变量量，是是其其密密度度函函数数，且且则则存存在在，1()()iiiEg Xg xp 且且()( ) ( ).Eg Xg x f x dx 且且2.12X例例设设 的的概概率率分分布布为为2()E XEX 求求1630121.2101010EX 解解2()E XEX 222163(01.2)(11

13、.2)(21.2)1010100.36 X012P101106103解解3333311111()( 2)0133212123E X 练习：练习： 求求:).(3XE3102 3121121121Xp. r v X设设的的概概率率分分布布为为2.13,01,( )2,120,|Xxxf xxxE XEX 例例设设随随机机变变量量 的的密密度度函函数数为为，其其他他 求求12201( )(2)1EXxf x dxx dxxx dx 解解|1|1|( )E XEXE Xxf x dx 1201|1|1|(2)xxdxxx dx 12011(1)(1)(2)3x xdxxx dx 4、数学期望的性质、

14、数学期望的性质(1),;EaaaR (2),(),();EXaE XaEXaE aXaEX 如如果果存存在在，则则对对任任意意实实数数有有(3) 如果如果EX,EY存在，则存在，则E(X+Y)存在，存在， 且且E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) ；11()nniiiiiiEa XCa E XC推推广广：22224,)()EX EXE XEXEXEX （ ）设设都都存存在在，则则 （222)2() E XEXE XXEXEX 证证明明（222()EXEX EXEX 22()EXEX 1. 方差的定义方差的定义二、随机变量的方差二、随机变量的方差X EX -离差离差()0E

15、XEX |X EX -绝对离差绝对离差|EXEX 平平均均偏偏离离2. .E XEXr v XEX （）刻刻画画了了的的取取值值离离 开开均均值值的的平平均均偏偏离离程程度度。22()(),XEXE XEXE XEXXDXVarXDX 设设为为一一个个随随机机变变量量，其其数数学学期期望望存存在在，如如果果也也存存在在，则则称称为为随随机机变变量量 的的方方差差。记记作作或或并并称称为为标标准准差差。定义：定义：注：（注：（1DX是一个确定的非负常数，它的大小反映了是一个确定的非负常数，它的大小反映了r.v.X对于对于EX的分散程度。的分散程度。（2若若EX不存在，则不存在，则DX一定不存在；

16、一定不存在； 若若EX存在，则存在，则DX不一定存在。不一定存在。 2. 随机变量方差的计算随机变量方差的计算 2(1)()DXE XEX 根根据据定定义义22,()();iiiiiXP XxpDXE XEXxEXp 若若 是是离离散散型型随随机机变变量量，概概率率分分布布为为22( )()()( )Xf xDXE XEXxEXf x dx若若 为为连连续续型型随随机机变变量量，为为其其密密度度函函数数，则则22(2)()DXEXEX根根据据公公式式2.16,01,( )2,120,Xxxf xxxDX例例设设随随机机变变量量 的的密密度度函函数数为为， 求求其其他他12201( )()121

17、EXxf x dxx dxxx dx解解方方法法12222011(1)( )(1)(1) (2)6DXxf x dxxxdxxx dx122232017( )(2)6EXx f x dxx dxxx dx方方法法2 2：221()6DXEXEX3. 方差的性质方差的性质(1) 设设 C 是常数是常数, 则有则有. 0)( CD(3) 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, a是常数是常数, 则有则有2()().D aXa D X(2) ();D XaDX()01,=1.D XXCPX = C注注：的的充充要要条条件件是是以以概概率率取取常常数数即即22(4)()()()D XE XEXE X

18、CC（ 为为常常数数）44)(2 EXEXDX434352 .30 .30)2(2 XE所所以以解解)44()2(22 XXEXE4)(4)(2 XEXE.)2(, 5)(, 3)(2 XEXDXE求求已已知知练习：练习：三三、r.v.r.v.的的矩矩与与切切比比雪雪夫夫不不等等式式1 1、原原点点矩矩与与中中心心矩矩（1原点矩原点矩,(|),|kkkkXkEXE XEXXkE XXk为为一一随随机机变变量量为为正正整整数数 如如果果存存在在即即则则称称为为 的的 阶阶原原点点矩矩，称称为为 的的 阶阶绝绝对对矩矩。 定义：定义：（2性质性质0Xtsst随随机机变变量量的的 阶阶矩矩存存在在，则则其其 阶阶矩矩（）也也存存在在。,1().kE XX显显然然 当当时时，就就是是 的的数数学学期期望望(3)(3)中中心心矩矩,()|kkkXkEXE XEXXkE XEXXk定定义义： 为为随随机机变变量量为为正正整整数数 如如果果存存在在则则称称为为 的的 阶阶中中心心矩矩；称称为为 的的 阶阶绝绝对对中中心心矩