广东省广州育才中学高三数学 综合训练《不等式》

1、 广州育才中学高三数学各类题型综合训练系列 不等式 1. 已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0时0 (1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式 f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数t的取值范围 2 设不等式x22ax+a+20的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围 3. 解关于x的不等式1(a1) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4. 设函数f(x)=ax满足条件 当x(，0)时，f(x)1；当x(0，1时，不等式f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，求实数m的

2、取值范围 5. ，求关于不等式的解集。6. 解关于。7.已知求证：（1）；（2）。8.某种商品原来定价每件p元，每月将卖出n件。假若定价上涨，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍。（1） 若时的值；（2） 若 ，求使售货金额比原来有所增加的的取值范围。9.已知函数在R上是增函数，。（1） 求证：如果；（2） 判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；（3） 解不等式。10.奇函数上是增函数，当时，是否存在实数m，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m；若不存在，说明理由。11. 设数列满足 （） 证明：对一切正整数成立；（）令判断与的大小，并说明理由.12.

3、设使,，求证：()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.13. 已知函数,数列满足:证明:（）;().14. 已知函数,数列满足:,(1)证明:数列是单调递减数列.（2）证明：15. 若关于的不等式的解集是，求不等式的解集16.设都是正实数,求证:17、设，解关于的不等式 18.过点作直线交正半轴于两点.(1)若取到最小值,求直线的方程(2)若的面积取到最小值,求直线的方程19.设函数正实数满足，且（1）求证：; （2）求证：20.已知函数,数列满足:,(1)设证明: （2）证明：21. （1）设a0，b0且，试比较aabb与abba的大小。（2）已知函数，试比较与的大

4、小22. 已知实数a,b,c满足条件：，其中m是正数，对于f(x)=ax2+bx+c(1)如果，证明：(2)如果，证明：方程f(x)=0在(0,1)内有解。23. 已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有 和，其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足 和()证明，并且不存在，使得；()证明；()证明.24. 己知，（1）（2），证明：对任意，的充要条件是；（3）讨论：对任意，的充要条件。25. 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多

5、少辆？答案：1. (1)证明 任取x1x2，且x1，x21，1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数 (2)解 f(x)在1，1上为增函数， 解得 x|x1，xR(3)解 由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，故对x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，记g(a)=t22at，对a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(

6、1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范围是 t|t2或t=0或t2 2. 解 M1，4有两种情况 其一是M=，此时0；其二是M，此时=0或0，分三种情况计算a的取值范围 设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)当0时，1a2，M=1，4(2)当=0时，a=1或2 当a=1时M=11，4；当a=2时，m=21，4 (3)当0时，a1或a2 设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24即，解得 2a，M1，4时，a的取值范围是(1，) 3. 解 原不等式可化为 0，当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解

7、由于原不等式的解为(，)(2，+) 当a1时，原不等式与(x)(x2) 0同解 由于,若a0，,解集为(，2)；若a=0时，解集为；若0a1，,解集为(2，)综上所述 当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2） 4. 解 由已知得0a1，由f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)，x(0，1恒成立 在x(0，1恒成立 整理，当x(0，1)时，恒成立，即当x(0，1时，恒成立，且x=1时，恒成立，在x(0，1上为减函数，1，m恒成立m0 又，在x(0，1上是减函数，1 m恒成立m1当x(0，1)时，恒成立m(1，0) 当x=1时，

8、即是m0 、两式求交集m(1，0）,使x(0，1时，f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，m的取值范围是(1，0)5.解集为 6、若；若；若。7.证明：（1）， ， （2）首先易证8.解：该商品定价上涨成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是因而有：（2）9.（1） 证明：当（2）（1）中命题的逆命题为： 的逆否命题是： 仿（1）的证明可证成立，又与互为逆否命题，故成立，即（1）中命题的逆命题成立。（2） 根据（2），所解不等式等价于。10.解：易知， 因此，满足条件的实数m存在，它可取内的一切值。11. 解析：（）证法一：当时，不等式成立，假设时，成立当时，时，成立

9、由可知，对一切正整数成立.证法二：由递推公式可得上述各式相加并化简得又时，成立，故（）解法一：故解法二：故.因此12. 解析：()因为,所以又,消去,得,由消去,得所以()抛物线的顶点坐标为又两边乘以得,又而所以方程在区间与内分别有一实根,即方程在有两个实根13. 解析：（）先用数学归纳法证明当时,由以知,结论成立.假设当时,结论成立,即.因为时.所以在上是增函数.又在上连续,从而即故当时,结论成立.由可知对一切正整数都成立.又因为时,所以.综上所述.()设函数由（）知当时,从而.所以在上是增函数,又在上连续,且.所以当时,成立,所以即,故14. 解析：本题以函数、数列为载体，考查不等式证明的

10、基本方法，在证明的过程中，要对所证的不等式适当变形、合理放缩.(1)证明:由题意得所以数列是单调递减数列（2）证明：由(1)的证明过程可知，所以 故15.解：由不等式的解集是得是方程的两个根，故又所以 不等式即或 所以不等式的解集是. 16、证明：因为都是正实数， 上述各式相加，得： 17、解：设则原不等式化为当时，所以当时，所以当时，所以综上所述：即 当时，由得（2）当时，由得 所以，当时，原不等式的解集是当时，原不等式的解集是 18、解：设直线的方程为：则，（1）当且仅当且时，即时取等号.此时，直线的方程是： （2）当且仅当且时，即时取等号.此时，直线的方程是：. 19、证明：（1）由得，

11、得，所以 （2）由得，得，所以，又 20、证明：（1）因为,数列满足:,所以=（所以 ： （2）由（1）得所以即 21. 解：(1)根据同底数幂的运算法则，可考虑用比值比较法。当ab0时，,则，于是aabbabba当ba0时，,则，于是aabbabba综上所述，对于不相等的正数a,b，都有aabbabba解(2)作差=当时，得=。（2）当时，当时，得=。当时，得。当时，得。当且时0时, 因为,所以若c0,f(0)=c0,所以方程f(x)=0在内有解,若c0,所以方程在内有解当a0时,同理可证故时,方程f(x)=0在(0,1)内有解23. 证法一：（I）任取 和 可知 ，从而 . 假设有式知不存

12、在（II）由 可知 由式，得 由和式知， 由、代入式，得 （III）由式可知 （用式） （用式）证法二：题目中涉及了八个不同的字母参数以及它们的抽象函数值。参数量太多，让考生们在短时间内难以理清头绪。因而解决问题的关键就在于“消元”把题设条件及欲证关系中的多个参数量转化为某几个特定变量来表示，然而再进行运算证明。“消元”的模式并不难唯一，这里提供一个与标准解答不同的“消元”设想，供参考。题设中两个主要条件是关于与的齐次式。而点、是函数图象上的两个点，是连接这两点的弦的斜率。若欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示，则可以借助斜率进行“整体消元”。设为不相等的两实数，则由题设条件可得：和。令，则对任意相异实数，有及，即。由此即得；又对任意有，得函数在R上单调增，所以函数是R上的单调增函数。如果，则，因为，所以。即不存在，使得。于是，（）的结论成立。考虑结论（）：因为，故原不等式为；当时，左右两边相等；当时，且，则原不等式即为：，令，则原不等式化为，即为。因为，则，所以成立，即（）中结论成立。再看结论（）：原不等式即，即，注意到，则，则原不等式即为即，令，则原不等式即化为，即，因为，则，所以成立，即（）的结论成立。在一般的“消元”方法中，