点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用

1、2012年高中数学竞赛讲座在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。1点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n（n4）点共线可转化为三点共线。例1如图，设线段AB的中点为C,以AC和CB为对角线作平行四边形AECDBFCG又作平行四边形 CFHDCGKE求证：H, C, K 三点共线。证连AK DG HB由题意,AD ECKG知四边形AKG是平行四边形，于是AK DG 同样可证AKHB四边形AHBI是平行四边形，其对角线 AB KH互相 平分。而C是AB中点，线段KH过C点，故K

2、, C, H三点共线。 例2 如图所示，菱形ABC呼,/ A=120° ,已0为厶ABC外接圆，M 为其上一点，连接 MC交AB于 E, AM交 CB延长线于F。求证： D, E, F三点共线。证如图，连AC DF DE因为M在'O上 ,则/ AMC60° 二/AB(=Z ACB有厶AM0A ACF得MC CF CFMA CA CD又因为/ AMCBAC所以 AM3A EAC得MC AC AD二 二 。MA AE AE所以 CF=AD，又/ BAD/BCD120。，知厶 CFEhCD AE ADE 所以/ ADE：/ DFB 因为 AD/ BC 所以/ AD=/ D

3、FB/ ADE 于是F, E, D三点共线。例3四边形ABCD3接于圆，其边 AB与DC的延长线交于点P, AD与BC的延长线交于点 Q由Q作该圆的两条切线QE和QF切点分别为E，F。求证：P, E, F三点共线。证 如图。连接PQ并在PQk取一点M使得B, C, M P四点共圆，连CM PF。设PF与圆的另一交点为E',并作QGL PF,垂足为G易如QE=QM QPW QB/PMC/ABC/PDQ从而C, D, Q M四点共圆，于是PM- P(=PC- PD 由，得PM- PQQM PCPC- Pt+QC- QB即 PQ=QC QBPC PD易知 PD- POPE - PF,又 QF

4、二QC QB 有PE - PF+QF二PD PGQC AB=PQ,即 PE - PF=PdQF。又PQ2-qF二pG gF=(pggf (PG-gf二PF(PG-GF ,从而 PE 二PG- GF=PG- GE，即 GF=GE，故 E 与 E重合。所以P, E, F三点共线。例4以圆0外一点P,引圆的两条切线PA PB A, B为切点。割线PCD交圆0于C, D又由B作CD的平行线交圆0于E。若F为CD中点，求证：A，F，E三点共线。P证 如图，连 AF, EF, OA OB OP BF, OF 延长FC交BE于 G。易女口 OA丄 AP OB± BPOF丄 CP 所以 P, A,

5、F , Q B五点共圆，有/ AF(=Z AOPZ POB/ PFB又因CD/ BE所以有/ PFB：/FBE / EF=Z FEB而FOG BE的垂直平分线,故 EF=FB, / FE母/ EBF所以/ AF(=Z EFD A, F, E三点共线2.线共点的证明证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点),或证 明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给 予证明。例5 以厶ABC勺两边AB AC向外作正方形 ABDE ACFG ABC勺高为AH求证：AH BF, CD交于一点证 如图。延长HA到M使 AM=BC 连 CM BM设CM与 BF交于点K。在厶 ACMHA

6、 BCF中,AC=CF, AM=BC/ MAC/ HAC180°/ HAC/ HCA90°, 并且/ BCF90。+/ HCA 因此/ BCF/ HAC1800/ MAC/BCF从而 MAQ BCF / ACM/ CFB所以/ MKF/ KCF/ KFC/ KC+/ MCF90°,即BF丄MC同理CD丄MB AH BF, CD MBC勺3条高线，故 AH BF,CD三线交于一点。例 6 设 PABC内一点，/ APB-/ ACB/ APC-/ ABC 又设 D,E分别是 APBSAPC的内心。证明：AP BD CE交于一点（ 证 如图，过P向三边作垂线，垂足分别为

7、 R S, T。连RS ST, RT设BD交AP于M CE交AP于N。NS<EIP、易知 P, R A, S; P, T , B, R;P, S, C, T分别四点共圆，贝S/ APB- / ACBZ PAG/ PBC二/ PRS/ PRT=/ SRT同理，/ APC-Z ABC/ RST由条件知/ SRT/ RST所以RT=ST。又 RT=PBsinB, ST=PCsinC所以 PBsinB=PCsinC 那么PB PCoAB AC由角平分线定理知AN AC AB AM二二二oNP PC PB MP故M N重合，即AP BD CE交于一点。例7O与Q外切于P点，QR为两圆的公切线，其中

8、 Q R分别 为Q，®Q2上的切点，过Q且垂直于QQ勺直线与过R且垂 直于RQ的直线交于点I , IN垂直于QQ ,垂足为N, IN与QR 交于点M0证明：PM RQ, QQ三条直线交于一点。证 如图，设RQ与QQ交于点Q连 MQ PQ因为/ QQM/QNM90。，所以Q Q, N, M四点共圆，有/IQM= / QQQ而/ IQQ=90° =/ RQQ所以/ IQM=Z QQQ,故厶QIWA QGD,得同理可证些=竺。RM MI因此QM QO1IMr因为QO RO,所以有O1O QO1OR RO2由，得 MQ QQ 又由于OP=OQ PO=RQOiOOiQOi P所以 O

9、R RO2 PO2即OP/ RO。从而MO QO/ RO/ OP故MO P三点共线，所以PM RO, QO三条直线相交于同一点。3.塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用定理1（塞瓦（Ceva）定理）:设P, Q R分别是 ABC的BCCAAB边上的点。若AP BQACF相交于一点M则BP CQ 空=1。PC QA RBP -CCQ SbmcQA S.amb证 如图，由三角形面积的性质，有AR S 选mc BP S 虫mb RB S BMC PC S AMC以上三式相乘，得聖d空=1PC QA RB定理2 （定理1的逆定理）:设P, Q R分别是 ABC勺BC CA AB上的点。若芝QA签1，则AP

10、BQ CR交于一点证如图，设AP与BQ交于M连CM交AB于R1而 BP CQ ARPC QA RB所以由定理1有BP CQ AR'PC QA R' BAR' ARR'B 一 RB 于是R与R重合，故AP BQ CR交于一点定理3 （梅涅劳斯（Menelaus）定理）:一条不经过 ABC任 一顶点的直线和三角形三边 BC CA AB或它们的延长线）分别交于P，Q R,则 证 如图，由三角形面积的性质，有ARRBBPPCS.CPRCQS.crpQA S 'arp将以上三式相乘，得竺竺空"PC QA RB定理4 （定理3的逆定理）:设P, Q R分别

11、是 ABC的三边BC CA AB或它们延长线上的3点。若BP CQ ARPC QA RB则P, Q R三点共线。定理4与定理2的证明方法类似。塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目中有着广泛的应用。例8 如图，在四边形ABC中，对角线AC平分/ BAD在CD上取一点E, BE与AC相交于F,延长DF交BC于G 求证：/ GAC/ EAC证 如图，连接BD交AC于 H,过点C作AB的平行线交AG的延长线于I ,过点C作AD的平行线交AE的延长线于J。对厶BCD用塞瓦定理，可得CG BH DE 1 GB HD EC因为AH是Z BAD的角平分线,由角平分线定理知里喘。HD

12、ADFBI代入式得CG ABGB ADDE =1EC因为 CI / AB CJ/ AD则 CG = CLGB ABDE AD。EC CJ代入式得CI AB AD 彳1 . AB AD CJ从而CI=CJo又由于/ ACI=180°-Z BAC180-Z DAC/ACJ所以 ACIA ACJ 故Z IAC=Z JAC 即Z GACZ EACABC兎一个平行四边形，E是AB上的一点，F为CDh的一点。AF交ED于 G EC交FB于H。连接线段GH并延长交AD于 L,交 BC于 M 求证：DL=BM如图，设直线LM与 BA的延长线交于点J,与DC的延长线交于占F C I八、在厶FAB中分别

13、使用梅涅劳斯定理，得EG DI CHGD IC HEAG FH BJGF HB JA因为AB/ CD所以从而DCEG AGGD 一 GFBJ 即 CD CIJA，CICH FHHE 一 HB AB AJ，故 CI=AJ.而 AJBM BJ DI DL MC - CI 一 AJ 一 LA且 BMMCBCAD=AL+LD 所以 BIMDL。例10在直线I的一侧画一个半圆T, C, D是T上的两点，T上过C和D的切线分别交I于B和A，半圆的圆心在线段BA上, E是线段AC和BD的交点,F是I上的点，EF垂直I。求证:EF平分/ CFD相交于点T的圆心。H,连 OD由题意知Rt OAG Rt PAH于

14、是有AH _ HP AD DO类似地，Rt OC合RtA PHB则有BHHPBC COAH BHAH BC PD由CQDQ有=，从而. = 1.AD BCHB CP DA由塞瓦定理的逆定理知三条直线 AC BD PH相交于一点，即E在PH上，点H与F重合。因/ ODPZOCP90° 所以Q D, C, P四点共圆，直径为OP又/ PFC90。，从而推得点F也在这个圆上，因此/ DFP/ DOPZ COP/ CFP所以EF平分/ CFD例11如图，四边形ABC内接于圆，AB DC延长线交于E, AD BC延长线交于F,P为圆上任意一点，PEPF分别交圆于R, S.若对角线AC与BD相交

15、于T.求证：R T, S三点共线。先证两个引理。引理1:ABCDEFi为圆内接六边形，若AD,FBEi, CFi交于一点，则有AB C1D1 E1F1BiG D1E1 F1A1=1.如图，设AD, BE, CF1交于点Q根据圆内接多边形的性质易 OABsOED,A OEQsAofe, OCDOAR,从而有A, B _ B1O E1F1 _ F1O C1D1 D1E1 DQ ' B1C1 BQ ' F1A1D1OF1OD1将上面二式相乘即得A1 B-i C1D1 E1 F-iB1C1 D1E1 R A引理2:圆内接六边形ABCDEFi，若满足则其三条对角线 AD, BE, CF1

16、交于一点。该引理与定理2的证明方法类似，留给读者例11之证明如图，连接PD AS RC BRAP SD由厶 EBRA EPA FD3A FPA 知BR _ EB PA 一 EP 'PA FPDSFD两式相乘，得BR EB FPDS EP FD又由 ECFbA EPD FPD FASECPDEPPD FPAS 一 FA式相乘，得CREC FPAS EP FA由，得腔些二里DS CR EC FDBR CD SA EBAF DCRC DS AB BAFD CE对厶EADS用梅涅劳斯定理，有EB AF DC ,1 BA FD CE由，得BR CD SA ,1. RC DS AB由引理2知BD

17、RS AC交于一点，所以T, S三点共线。1. 由矩形ABC的外接圆上任意一点M向它的两对边引垂线M/口 MP 向另两边延长线引垂线 MR MT证明：PR与QT垂直，且它们的 交点在矩形的一条对角线上。2. 在厶ABC的BC边上任取一点P,作PD/ AC PE/ AB PR PE和以AB AC为直径而在三角形外侧所作的半圆的交点分别为D, E。求证：D, A, E三点共线。3. 一个圆和等腰三角形ABC的两腰相切，切点是D, E,又和 ABC 的外接圆相切于F。求证： ABC勺内心G和D, E在一条直线上。4. 设四边形ABCD等腰梯形，把厶ABC绕点C旋转某一角度变成 A B C'。

18、证明：线段A D BC和B C的中点在一条直线上。5. 四边形ABC内接于圆Q对角线AC与 BD相交于P。设三角形ABPBCP CDP和 DAP的外接圆圆心分别是Q, O, Q, Q。求证：0P Q1Q3 Q2Q4 三直线交于一点。6. 求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的 4 条垂线交于一 点。7. ABC为锐角三角形，AH为BC边上的高，以AH为直径的圆分别 交AB AC于 M N M N与A不同。过A作直线I A垂直于MN类 似地作出直线l b与lc。证明：直线l A, Ib , Ic共点。8. 以厶ABC勺边BC CA AB向外作正方形，A , B , C是正方形的边 BC CA AB的对边的中点。求证：直线 AA , BB , CC相交于一点。9. 过厶ABC的三边中点D, E, F向内切圆引切线，设所引的切线分 别与EF, FD DE交于I