2412垂直于弦的直径(1)第2节课

1、 实践探究实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴所在直线都是它的对称轴O O如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么

2、？OABCDE思考思考（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂，垂足为足为E（如图）。（如图）。求证：求证：AE=BE ，ACBC=ADBD.=,OCDEBA证明：证明：连结连结OA、OB， OAOB,CDAB直径直径CD所在的直线既是等腰所在的直线既是等腰 三角形三角形OAB的对称轴，又是的对称轴，又是 O的对称轴的对称轴. 则则A点与点与B点重合，点重合，AE和和BE重合，重合，ACBC和和ADBD和和也重合也重合.AE=B

3、E ，ACBC=ADBD.=,OABCDE垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧题设题设结论结论（1）直径）直径（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 符号语言：符号语言： CD是直径且是直径且CDABAE=BE, AD=BD. AC=BC, 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，平分弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧经过圆心的一条直经过圆心的一条直线或线段线或线段E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD D

4、E EO OA AB BD DC CO OB BA AE EE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B 练习练习1在下列图形中，你能否利用垂径定理找到在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧相等的线段或相等的圆弧 例例1 已知：如图，在已知：如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm， 圆心圆心O到到AB的距离为的距离为3cm。 求：求： O的半径。的半径。A AB B.O OE E注意：注意：解决有关弦的问题时解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助半径是常用的一种辅助线的添法往往结合勾股定理计算。线的添法往往结合勾股定理计算。弦心距：圆心到弦的

5、（垂直）距离叫做弦心距。弦心距：圆心到弦的（垂直）距离叫做弦心距。 赵州桥的主桥拱是赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为所对的弦的长）为37.437.4米，拱高（弧的中点到米，拱高（弧的中点到弦的距离）为弦的距离）为7.27.2米，你米，你能求出赵州桥主桥拱的能求出赵州桥主桥拱的半径吗？半径吗？OAB解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2又又OD=

6、OCCD=（R7.2）m如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O O，半径为半径为R R经过圆心经过圆心O O 作弦作弦AB AB 的垂线的垂线OCOC，D D为垂足，为垂足，OCOC与与 相交于点相交于点C C，根据，根据垂径定理垂径定理，D D 是是AB AB 的中点，的中点，C C是是 的中点，的中点，CD CD 就是拱高就是拱高ABABABAB,7.184.372121ABADAB=37.4m，CD=7.2m解：解：1 1半径为半径为4cm4cm的的OO中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是

7、 。2 2 OO的直径为的直径为10cm10cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 。3 3半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。cm32cm328cmA AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E 练练 习习小结：小结：圆是轴对称图形圆是轴对称图形, ,经过圆心的每一条直经过圆心的每一条直线都是它的对称轴线都是它的对称轴. .垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. .

8、垂径定理垂径定理: :在解决有关圆的问题时，可以利用在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为垂径定理将其转化为解直角三角形解直角三角形的问题的问题 。1.在在 O中，若中，若CD AB于于M，AB为为直径，则下列结论直径，则下列结论不正确不正确的是（的是（ ）2.已知已知 O的直径的直径AB=10，弦，弦CD AB，垂足为，垂足为M，OM=3，则，则CD= .3.在在 O中，中，CD AB于于M，AB为直径，若为直径，若CD=10，AM=1，则，则 O的半径是的半径是 . OCDABMC A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM813思考思考 已知：如图，在以已知

9、：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中，大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。 求证：求证：ACBD。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，所以，ACBDE.ACDBO练习：练习：5.在在 中，、中，、AC为为互相垂直且相等互相垂直且相等的两条弦，的两条弦，于，于，于于求证：四边形是正方形求证：四边形是正方形ABOE)(2650mmOB D)(2600mmEB 油的最大深度油的最大深度ED=ODOE=200(mm)或者油的最大深度或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).(1) 在直径为在直径为650mm650mm的水平放置的圆柱形油槽的水平放置的圆柱形油槽内装入一些油后内装入一些油后, ,油面宽油面宽AB=600mm,AB=600mm,求油的最求油的最大深度。大深度。22EBOBOEOE=125(mm)(2)BAOED解：解：