控制系统的分析方法

1、第四章第四章 控制系统的分析方法控制系统的分析方法 控制系统的分析和设计是进行控制系统设控制系统的分析和设计是进行控制系统设计仿真的主要内容，也是工程实际当中解决计仿真的主要内容，也是工程实际当中解决问题的主要方法。控制系统的分析包括系统问题的主要方法。控制系统的分析包括系统的的稳定性分析、时域分析、频域分析及根轨稳定性分析、时域分析、频域分析及根轨迹分析迹分析。主要内容主要内容4.1 控制系统定性分析控制系统定性分析4.2 时域分析时域分析4.3 频域分析频域分析4.4 根轨迹分析根轨迹分析4.1 线性系统定性分析线性系统定性分析 在系统特性研究中，系统的在系统特性研究中，系统的稳定性稳定性

2、是最重要的指标，是最重要的指标，如果系统稳定，则可以进一步分析系统的其他性能，如如果系统稳定，则可以进一步分析系统的其他性能，如果系统不稳定，系统则不能直接应用。本节首先介绍系果系统不稳定，系统则不能直接应用。本节首先介绍系统稳定性的判定方法，然后介绍系统的统稳定性的判定方法，然后介绍系统的可控性和可观测可控性和可观测性性等系统性质的分析。等系统性质的分析。线性系统稳定性分析线性系统可控性分析线性系统可观测性分析4 4.1.1 .1.1 线性系统稳定性分析线性系统稳定性分析q给定线性系统模型，如何分析稳定性？q 系统稳定性分析原理系统稳定性分析原理 由控制理论的一般规律可知，对线性系统而言：由

3、控制理论的一般规律可知，对线性系统而言：对于连续时间系统，如果闭环极点全部在对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平平面左半平面，则系统是稳定的；面左半平面，则系统是稳定的；对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于Z平面的单位圆内，则系统是稳定的。平面的单位圆内，则系统是稳定的。状态方程系统的稳定性连续线性状态方程解析解稳定性：A 矩阵的特征根均有负实部离散系统的稳定性离散系统状态方程离散系统时域响应解析解稳定性判定：所有特征根均在单位圆内MATLAB判别稳定性的方法判别稳定性的方法q 直接判定：直接判定：eig(G)函数函数MATLAB控制系统工具箱中

4、，求取一个连续线性控制系统工具箱中，求取一个连续线性定常系统特征根只需用定常系统特征根只需用 eig(G)函数即可，不论即可，不论系统的模型系统的模型G是是传递函数、状态方程还是零极传递函数、状态方程还是零极点模型点模型，且不论系统是，且不论系统是连续还是离散连续还是离散的。的。q 图解判定法：图解判定法：pzmappzmap(G)函数函数用图形的方式绘制出系统所有特征根在用图形的方式绘制出系统所有特征根在S复平面上的位置，复平面上的位置，所以判定所以判定连续系统连续系统是否稳定只需看系统所有极点在是否稳定只需看系统所有极点在S复复平面上是否位于虚轴左侧即可。同样，对于平面上是否位于虚轴左侧即

5、可。同样，对于离散系统离散系统，观察零极点的位置是否位于单位圆内即可判定其稳定性。观察零极点的位置是否位于单位圆内即可判定其稳定性。例： 高阶系统稳定性判定直接分析方法零极点模型例：高阶离散单位负反馈系统模型MATLAB 求解例：例： 951229425. 0535261429. 0171390672. 04040929. 300147635. 02zzzzzzG假设离散系统的受控对象传递函数为假设离散系统的受控对象传递函数为且已知控制器模型为且已知控制器模型为Gc(z)=1.5(z-0.5)/(z+0.8)，试分析单位负反馈下闭环系统的稳定性。试分析单位负反馈下闭环系统的稳定性。z=tf(z

6、,0.1);G=0.00147635*(z2+3.4040929*z+0.71390672)/(z-1)*(z-0.535261429)*(z-0.951229425);Gc=1.5*(z-0.5)/(z+0.8); % 控制器模型控制器模型GG=feedback(G*Gc,1); % 闭环系统模型闭环系统模型eig(GG) abs(eig(GG) % 闭环系统的特征根闭环系统的特征根及模及模ans=-0.7991 0.79910.7945+0.0782i 0.97760.9745-0.0782i 0.97760.5344 0.53444 4.1.2 .1.2 线性系统的可控性分析线性系统的可

7、控性分析q 可控性定义可控性定义假设系统由状态方程假设系统由状态方程(A,B,C,D)给出，对任意的初始时给出，对任意的初始时刻刻t0，如果状态空间中任一状态，如果状态空间中任一状态xi(t) 可以从初始状态可以从初始状态xi(t0)处，由有界的输入信号处，由有界的输入信号u(t)的驱动下，在有限时间的驱动下，在有限时间tf内能够到达任意预先制定的状态内能够到达任意预先制定的状态xi(tf)，则称此状态是，则称此状态是可控的。若系统中所有的状态都是可控的，则称该系统可控的。若系统中所有的状态都是可控的，则称该系统为完全可控的系统。为完全可控的系统。分析系统的可控性实质上就是分析系统状态的可控性

8、，分析系统的可控性实质上就是分析系统状态的可控性，也就是分析系统输入对系统状态是否有控制作用。也就是分析系统输入对系统状态是否有控制作用。q 可控性判定矩阵可控性判定矩阵BAB,.,AAB,B,Tc1n2q 若矩阵若矩阵Tc是满秩矩阵，则称系统为完全可控的。是满秩矩阵，则称系统为完全可控的。如果该矩阵不是满秩矩阵，则它的秩为系统的如果该矩阵不是满秩矩阵，则它的秩为系统的可控状态的个数。可控状态的个数。q MATLAB的判定方法：的判定方法：rank(T)，即可求出矩，即可求出矩阵阵T的秩。再将得出的秩和系统状态变量的个的秩。再将得出的秩和系统状态变量的个数相比较，就可以判定系统的可控性。数相比

9、较，就可以判定系统的可控性。q 构造系统的可控性判定矩阵构造系统的可控性判定矩阵Tc，用，用MATLAB实实现：函数现：函数 Tc=ctrb(A,B)线性系统的可控性判定例：给定系统状态方程模型例：给定系统状态方程模型kTukTxTkx446984465 . 311 . 04 . 15 . 029 . 06 . 05 . 163 . 62 . 015 . 17 . 02 . 21判定系统的可控性。判定系统的可控性。 A=-2.2,-0.7,1.5,-1;0.2,-6.3,6,-1.5;0.6,-0.9,-2,-0.5;1.4,-0.1,-1,-3.5; B=6,9;4,6;4,4;8,4; T

10、c=ctrb(A,B) %生成可控性判定矩阵生成可控性判定矩阵Tc = 6.0000 9.0000 -18.0000 -22.0000 54.0000 52.0000 -162.0000 -118.0000 4.0000 6.0000 -12.0000 -18.0000 36.0000 58.0000 -108.0000 -202.0000 4.0000 4.0000 -12.0000 -10.0000 36.0000 26.0000 -108.0000 -74.0000 8.0000 4.0000 -24.0000 -6.0000 72.0000 2.0000 -216.0000 34.00

11、00 Tc1=B,A*B,A2*B,A3*B; %直接建立直接建立 rank(Tc) %判定系统可控性，秩为判定系统可控性，秩为3，不可控，不可控ans = 3这样的判定方法同样适合于连续系统和离散系统。也适用于多变量模型4 4.1.3 .1.3 线性系统的可观测分析线性系统的可观测分析假设系统由状态方程假设系统由状态方程(A,B,C,D)给出，对任意的初给出，对任意的初始时刻始时刻t0，如果状态空间中任一状态，如果状态空间中任一状态xi(t) 在任意在任意有限时刻有限时刻tf的状态的状态xi(tf)可以由输出信号在这一时可以由输出信号在这一时间区间内间区间内t0,tf的值精确地确定出来，的值

12、精确地确定出来，则称此状态是可观测的。若系统中所有的状态都是可观的，。若系统中所有的状态都是可观的，则称该系统为完全可观测系统。则称该系统为完全可观测系统。系统的可观测性就是指系统内部的状态是不是可系统的可观测性就是指系统内部的状态是不是可以由系统输出信号重建起来的性质，对于线性时以由系统输出信号重建起来的性质，对于线性时不变系统不变系统(LTI)来说，如果系统的某个状态可观测，来说，如果系统的某个状态可观测，则可以由输入输出信号重建出来。则可以由输入输出信号重建出来。q 可观测性定义q 可观测性判定矩阵可观测性判定矩阵q 系统的可观测性问题和系统的可控性问题是系统的可观测性问题和系统的可控性

13、问题是对偶关系，若想研究系统对偶关系，若想研究系统(A,C)的可观测性的可观测性问题，可以将其转换成研究问题，可以将其转换成研究(AT,CT)系统的可系统的可控性问题。控性问题。q MATLAB实现：实现：函数函数 To=obsv(A,C)12.noCACACACT可观测性判定4.2 时域分析时域分析 时域分析是经典控制理论中的常用方法，它主要时域分析是经典控制理论中的常用方法，它主要利用控制系统对阶跃信号的响应曲线来了解系统的利用控制系统对阶跃信号的响应曲线来了解系统的动态特性。动态特性。q 给给线性系统一个激励信号线性系统一个激励信号，输出是什么输出是什么? 阶跃信号的响应阶跃信号的响应q

14、 有两大类方法：有两大类方法：解析解方法解析解方法 求解微分方程、差分方程解析解求解微分方程、差分方程解析解数值解方法数值解方法4 4.2.1 .2.1 时域分析基本原理时域分析基本原理 一个动态系统的性能常用典型输入作用下的响应一个动态系统的性能常用典型输入作用下的响应来描述。来描述。响应是指零初始值条件下某种典型的输入函响应是指零初始值条件下某种典型的输入函数作用下对象的响应数作用下对象的响应，控制系统常用的是输入函数为，控制系统常用的是输入函数为单位阶跃函数和脉冲激励函数（即冲激函数）。单位阶跃函数和脉冲激励函数（即冲激函数）。q 典型控制系统阶跃响应指标典型控制系统阶跃响应指标 (1)

15、 最大偏差最大偏差A：受控变量第一个波峰值与设定值之差。：受控变量第一个波峰值与设定值之差。表示偏离设定值的程度。偏差愈大，时间愈长，离生表示偏离设定值的程度。偏差愈大，时间愈长，离生产状态愈远。实际系统中不希望出现。产状态愈远。实际系统中不希望出现。(2) 余差余差C：过渡过程终了时的残余偏差。：过渡过程终了时的残余偏差。反映控制准确性的重要指标，生产中一般希望愈小愈反映控制准确性的重要指标，生产中一般希望愈小愈好好(不超过某一个预定范围不超过某一个预定范围)。(3) 超调量超调量 B：第一个波峰与稳态值：第一个波峰与稳态值 之差。之差。反映过程稳定性的一个指标反映过程稳定性的一个指标(同同

16、A)。(4) 衰减比衰减比N：第一个波峰与第二个波峰之比。：第一个波峰与第二个波峰之比。反映过程稳定性的一个指标，反映过程稳定性的一个指标，N1，衰减震荡；，衰减震荡；N=1，等幅震荡；等幅震荡；N1，非周期。，非周期。(5) 过渡时间过渡时间(恢复时间恢复时间)Ts：从系统受扰后至受控变量：从系统受扰后至受控变量又重新建立新的平衡的最短时间。又重新建立新的平衡的最短时间。反映过程快慢、长短标志反映过程快慢、长短标志(快速性指标快速性指标)。在。在 N一定的一定的情况下，情况下，Ts愈短，过程愈快，适应性愈强，质量愈好。愈短，过程愈快，适应性愈强，质量愈好。(6) 震荡周期震荡周期 T：从第一

17、个波峰到第二个波峰的时间。：从第一个波峰到第二个波峰的时间。周期的倒数为震荡频率周期的倒数为震荡频率 f。在在N 一定的情况下，周期短，频率高，反映过程快慢一定的情况下，周期短，频率高，反映过程快慢的标志。的标志。4 4.2.2 .2.2 MATLABMATLAB时域分析方法时域分析方法q 阶跃响应函数阶跃响应函数 step()绘制响应曲线绘制响应曲线step(num,den,t)step(A,B,C,D,iu,t)step(Z,P,K,t)step(sys,iu,t)其中，其中，sys为用为用tf、ss、zpk描述的描述的 LTI 模型。模型。iu、t可选。可选。t 为选定的仿真时间向量，一

18、般可以由为选定的仿真时间向量，一般可以由t=0:step:end等等步长地产生出来。步长地产生出来。iu用来在多输入输出时指明输入变用来在多输入输出时指明输入变量的序号。不画图，通过函数返回值得到响应的相关量的序号。不画图，通过函数返回值得到响应的相关数据数据y,x,t=step(sys,t)y,x=step(sys,t)y=step(num,den,t)其中，其中，y为各个仿真时间的输出向量，为各个仿真时间的输出向量，x为自动选择的状为自动选择的状态向量的时间响应态向量的时间响应 数据，数据，t 为时间向量。为时间向量。例：假设已知带有时间延迟的连续系统模型为例：假设已知带有时间延迟的连续系

19、统模型为 sejsjssssssssG211545 . 33218绘制阶跃响应曲线绘制阶跃响应曲线 G=zpk(-1;-2;-3,-1+1i;-1-1i;-3.5;-4;-5,8,ioDelay,2); step(G,10); %绘制阶跃响应曲线绘制阶跃响应曲线,终止时终止时间为间为q 脉冲激励响应函数脉冲激励响应函数 impulse()绘制响应曲线绘制响应曲线impulse(sys,iu,t)不画图，通过函数返回值得到响应的相关数据不画图，通过函数返回值得到响应的相关数据y,x,t=impulse(sys,t)y,x=impulse(sys,t)y=impulse(num,den,t)q 任

20、意输入响应函数任意输入响应函数 lsim()绘制响应曲线绘制响应曲线lsim(sys,iu,t,x0)其中，其中，x0为初始状态，为初始状态，iu是给定输入构成的列向量，是给定输入构成的列向量，它的元素个数与时间向量它的元素个数与时间向量t 的元素个数一致。的元素个数一致。不画图，通过函数返回值得到响应的相关数据不画图，通过函数返回值得到响应的相关数据y,x=lsim(sys,u,t,x0)q 零输入响应函数零输入响应函数 initial()绘制响应曲线绘制响应曲线initial(sys,x0,t)x0为初始状态，为初始状态，t 为时间向量为时间向量不画图，通过函数返回值得到响应的相关数据不画

21、图，通过函数返回值得到响应的相关数据y,x,t=initial(sys,x0,t) 对于离散系统的分析函数，只需在连续系统对对于离散系统的分析函数，只需在连续系统对应函数前加应函数前加d即可，如即可，如dstep、dimpulse等。等。 MATLAB除了提供对系统阶跃响应、冲激响应除了提供对系统阶跃响应、冲激响应等进行仿真的函数外，还提供了大量对控制系统等进行仿真的函数外，还提供了大量对控制系统进行时域分析的函数，进行时域分析的函数，如求连续系统对白噪声的如求连续系统对白噪声的方差响应函数方差响应函数covar()等。等。例：例： 已知系统传递函数为已知系统传递函数为 4242sssG分别求

22、阶跃响应和脉冲响应，并作性能分析分别求阶跃响应和脉冲响应，并作性能分析 num=4;den=1 1 4;step(num,den);y,x,t=step(num,den);tp=spline(y,t,max(y) %spline为三次样条插值为三次样条插值函数函数tp = 1.5738 num=4;den=1 1 4; impulse(num,den);y,x,t=impulse(num,den);trapz(t,y) %计算误差面积计算误差面积ans=0.99794.3 频域分析频域分析 频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一种频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一种典型方法，其具有明确

23、的物理意义，计算量小，一典型方法，其具有明确的物理意义，计算量小，一般可采用作图的方法或实验的方法求出系统的频率般可采用作图的方法或实验的方法求出系统的频率特性，这对于工程中很难有明确模型表示的系统和特性，这对于工程中很难有明确模型表示的系统和元件，具有重要的实用价值。元件，具有重要的实用价值。 频率响应频率响应是指系统对正弦输入信号的稳态响应，是指系统对正弦输入信号的稳态响应，从频率响应中可以得出带宽、增益、转折频率、闭从频率响应中可以得出带宽、增益、转折频率、闭环稳定性等系统特征。环稳定性等系统特征。频率特性频率特性是指系统在正弦信是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特

24、性。号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。频率特性函数与传递函数有直接的关系，用频率频率特性函数与传递函数有直接的关系，用频率jw取代复变量取代复变量s，得到，得到G(jw)。4.3 频域分析频域分析q频域分析 Nyquist 1932 Bode ，Nichols 提出的新图形方法q主要内容单变量系统的频域分析多变量系统的频域分析4.3.1 单变量系统的频域分析q用 jw 取代 s，则G(jw)为复数增益 q三种表示方法实部和虚部G(jw)P(w)jQ(w) 实部与虚部关系曲线即为 Nyquist 图 Nyquist 图的缺陷：无对应频率信息 幅值和相位，G(jw)A(w)ej?(w)

25、 横轴对数坐标 rad/s，纵轴分贝、度，Bode 图 幅值与相位关系，Nichols 图，无频率信息 jQPjXjXjGioG(jw)为增益，是复数量，为为增益，是复数量，为w的函数。描述这个复数变量有的函数。描述这个复数变量有几种方法，根据表示方法的不同，可构造出不同的频率响应曲几种方法，根据表示方法的不同，可构造出不同的频率响应曲线。线。q Nyquist图图用横轴表示用横轴表示P(w)，纵轴表示，纵轴表示Q(w)，则可将增益，则可将增益G(jw)在复数在复数平面上表示出来，称这样的曲线为平面上表示出来，称这样的曲线为Nyquist图图。绘制响应曲线：绘制响应曲线：nyquist(sys

26、,iu,w)不画图，通过函数返回值得到相应的相关数据不画图，通过函数返回值得到相应的相关数据re,im,w=nyquist(sys)返回系统频率特性函数的实部返回系统频率特性函数的实部re和虚部和虚部im及角频率点及角频率点w矢量矢量(为正的部分为正的部分)。q Bode图图复数量复数量G(jw)可以分解为幅值和相位的形式，即：可以分解为幅值和相位的形式，即： jeAjG以频率以频率w为横轴，幅值为横轴，幅值A(w)为纵轴，可构造出幅为纵轴，可构造出幅值和频率之间的关系曲线，有称为值和频率之间的关系曲线，有称为幅频特性幅频特性；以；以频率频率w为横轴，以相位为横轴，以相位?(w)为纵轴，可构造

27、出相为纵轴，可构造出相位和频率之间的关系曲线，成为位和频率之间的关系曲线，成为相频特性相频特性。 在实际系统分析中，常用对数形式表示横轴，在实际系统分析中，常用对数形式表示横轴，其单位常用其单位常用rad/sec，幅频特性中幅值进行对数变，幅频特性中幅值进行对数变换，单位是分贝换，单位是分贝(dB)，相频特性中，相位的单位，相频特性中，相位的单位常取作角度常取作角度 ，这时的图形称为系统的，这时的图形称为系统的Bode图图。绘制响应曲线绘制响应曲线bode(sys,iu,w)w为给出的频率范围，一般由为给出的频率范围，一般由 logspace(a,b,n)给出。给出。省略时可由系统自动地选择一

28、个合适的频率范围。省略时可由系统自动地选择一个合适的频率范围。不画图，函数返回值得到响应的相关数据不画图，函数返回值得到响应的相关数据mag,pha,w=bode(sys,iu,w)mag,pha=bode(sys,iu,w)幅值幅值mag相角相角pha角频率点角频率点w矢量。相交以度为单位，矢量。相交以度为单位，幅值可转换为分贝单位幅值可转换为分贝单位 magdb=20log10(mag)qNichols图图用横轴表示相位，用纵轴表示单位为用横轴表示相位，用纵轴表示单位为dB的幅值的幅值nichols(sys,w)mag,phase,w=nichols(sys,w)例：qNyquist 图q

29、闭环阶跃响应例：离散系统 Nyquist 图与 Nichols 图例：例： 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 1101510ssssG绘制其绘制其Bode图，奈式曲线，并得出系统频率响图，奈式曲线，并得出系统频率响应的性能指标应的性能指标 num=10; den=conv(1 0,conv(5,1,10,1); G=tf(num,den); bode(G,0.001,100) margin(G) Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G) figure(2) nyquist(G,0.1,100) Gm = 0.0300 %幅值欲度幅值欲度Pm = -60.7504 %相角欲

30、度相角欲度Wcg = 0.1414Wcp = %截止频率截止频率 0.57074.3.2 多变量系统的频域分析例： 多变量系统的Nyquist图q用 nyquist 函数直接求解4.4 根轨迹分析根轨迹分析 控制系统的动态特性是由系统闭环零极点共同决定，控制系统的动态特性是由系统闭环零极点共同决定，而控制系统的稳定性由闭环系统极点的位置唯一决定。而控制系统的稳定性由闭环系统极点的位置唯一决定。 根轨迹是指当开环系统某一参数从零变到无穷大时，根轨迹是指当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在闭环系统特征方程的根在s复平面上的轨迹。复平面上的轨迹。一般来说，一般来说，这一参数选作开环系统的增益这一参数选作开环系统的增益K，而在无零极点对消时，而在无零极点对消时，闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点。根轨闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点。根轨迹分析方法就是分析系统特征根分布的一种迹分析方法就是分