1.3.2--无理数战有理数-实数及其近似数

1、1.3.2. 实数及其近似数 无理数战有理数 故事:无理数的由来.一. 有理数与无理数1. 有理数定义 整数与分数的统称. 分数(m,n都是整数,且n0)叫做有理数. 有限小数与无限循环小数统称为有理数.2. 无理数定义 无限不循环小数叫做无理数. 例 证明是无理数. 证: 用反证法，见教材.3. 无理数的种类 (1) 开不尽的方根：如; (2) 特殊意义的数：如和e; (3) 人造无理数：如0.1010010001; (4) 三角函数值：如sin1º(5) 对数：如lg2; 等等. 例 求证: 连分数是无理数.证: 则=x，x2+2x=1，(x+1)2=2, x=-1，是无理数.

2、1判断: 正数,负数和零统称有理数.( ) 有理数都是有限小数. ( ) 有根号的数都是无理数. ( ) 无理数就是开不尽的数. ( ) 所有小数都属于有理数集合. ( ) 形如q/p(p0)的数都是有理数. ( ) 有理数与无理数之和是无理数( ) 有理数与无理数之积是无理数. ( ) 无理数与无理数之和是无理数 ( ) 无理数与无理数之积是无理数. ( ) 2下列数中无理数有 ., 0, 3.14159265, 0.101001000, -1. 3无理数就是( ). A开方开不尽的数 B. 无限小数 C. 无限循环小数 D.实数中不能化成分数的数4. 的小数部分b是一个无理数,则(4+b)

3、b是一个( ). A. 整数 B. 无限小数 C. 无限循环小数 D. 无理数5设a是非零有理数,是无理数,则下列数中一定是无理数的是( ). A. a3+3 B. (a+)3 C. (a+) D. a(a+) 二. 实数与数轴1. 定义 有理数与无理数统称为实数. 数的范围还可以扩充.实数+虚数=复数.2. 实数与数轴上的点一一对应数轴上的点不都是有理数. 如、都可以在数轴上表示. 例 数轴上任意两个点之间必有( C ). A. 整数点 B. 有限个有理点 C. 无数个有理点 D. 有限个无理点 解: 线段上两个点之间必有无限个点. 有理数点是稠密的,实数点是连续的. 3. 在数轴上画开不尽

4、的无理数 例 在数轴上作出的对应点. 解: 利用勾股定理,可如图作出(图中A点). 1. 判断: 是实数. ( ) 所有小数都是实数. ( ) 两个实数的和,差,积是实数. ( ) 两个实数的商是实数. ( ) 实数乘方还是实数. ( ) 实数开方还是实数. ( ) 算术根开方一定是实数. ( ) 算术根开方一定是正实数. ( ) 实数和数轴上的点一一对应. ( ) 数轴上任意两个点之间必有无数个无理点.( ) 2. 如果是实数,那么在-,|,中一定是实数的有 .3. 实数a,b在数轴上的位置如图,化简|a-b|-的结果是 . 4. 用作图法在数轴上作出-与的对应点. 5. 右图是由边长为1的

5、小正方形拼成的方格纸,组成很多矩形，这些矩形的对角线对应的数可以是整数或者无理数. (1) 画出一条矩形对角线,对应的数是整数; (2) 画出4条彼此不相交的长度不同的对角线,对应的数都是无理数; (3) 在更大的正方形方格纸上,矩形对角线可以对应哪些无理数?(写出10个) 三. 实数的大小比较 在实数范围内,相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同. 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1. 一般方法 用近似的有理数代替无理数,再用有理数的比较方法. 例 比较,的大小. 解: 3.162, >>.2. 利用性质法 若a>b>0,则;若a>b

6、,则. 例 比较 . 解: -34<-, 填<.3. 两边平方法 例 比较|-4| 3. 解: |-4|2=32, (3)2=27, 填>.4. 放缩法 例 . 解: ,填>.5. 特值法 例 . 解: 取a=1, 填<. 1. 大于,小于的整数有 个.2. 从,各数中,有 个在3和4之间的数.3. 比小但比-大的所有整数和是 .4. 实数,由小到大的顺序是 .5. 比较大小: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (>0) 四近似数1. 运算规律 有理数的运算律与运算性质在实数范围内仍然成立. 例 (+1)-(-)2=2+-2=.2. 近似数 例

7、 12000,1.2×104,1.20×104的精确位数与有效数字相同吗? 请比较. 解: 12000精确到个位,有5个有效数字;1.2×104精确到千位,有2个有效数字;1.20×104精确到百位,有3个有效数字.3. 近似数的计算例 用计算器根据要求计算(精确到0.01): -1.3 -0.80 .1. 由四舍五入得到的下列近似数,分别精确到哪一位?各有几个有效数字? (1) 某同学身高1.60m: 精确到 位,有 个有效数字. (2) 地球半径约为6.4×103km: 精确到 位,有 个有效数字. 2. 按要求用科学记数法表示下列四舍五入得到的近似数: (1) 某人一天饮水1950Ml,如果精确到百位,应 , 如果精确到千位,应 . (2) 某种光的波长为0.0000705cm, 如果精确到百万分位,应 , 如果精确到十万分位,应 .3. 用科学记数法表示下列四舍五入得到的近似数,并指出它的精确度: (1) 中国人口近似有13.7亿= 人,精确到 位.(2) 某种电子显微镜的分辨率为0.0000000