李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714)

1、第4章复习与思考题习题2、给出计算积分的梯形公式及屮矩形公式，说明它们的几何意义。答：用两端点的算术平均值作为f(幻的近似值，这样导出的求积公式jf(x)dxu上上f(a)+f(b)，就是梯形求积公式。2a而如果改用区间中点c = -近似取代f(幻，则导出中矩形公式f(x)dx(b-a)f()儿何意义的图形，略。2、什么是求积公式的代数粘确度？梯形公式及屮矩形公式的代数粘确度是多少?答：如呆某个求积公式对次数不超过m的多项式均能准确成立，但対JF+1次多项式就不 准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度梯形公式和中矩形公式的代数精度为：1.3、对给定求积公式的节点，给出两种计算求枳系数的方法。

2、由J是给定求积公式的节点，因此，不能使用高斯型求积公式由未说明是等距节点，因此不能用牛顿科特斯求积公式。未找到明确的资料.答：插值型求积公式和.4、什么是牛顿柯特斯求积？它的求积节点如何分布？它的代数粘确度是多少？答：设积分区间6b划分为n等份，步长h= (b-a) /rbii取等距节点不-a十kh构适出的插值型求枳公式In = (b-a)SCnf()k=0成为牛顿-柯特斯求积公式，式中C：称为柯特斯系数，苴节点是等距分布的，代数精度为节点数nJ次。5、什么是辛普森求积公式？它的余项是什么？它的代数精确度是多少？当n=2时，牛顿柯特斯求积公式即为辛普森求积公式，其余项为R(f)=()4 f 1

3、80 2其，代数精度为3.6、什么是复合求积法？给出复合梯形公式及其余项表达式。答：为了提高计算粘:度，通常把枳分区间分成卄干子区间(通常是等分)，再在每个子区间 上使用低阶求积公式。这种方法称为复介求积法。复合梯形公式为=亍（兀）+ f（）= 7f（a）+S f（无）十啊2 k-0Lk-1（ I、二%（=1-1亍（自 f”（）,k,b7、给出复介辛普森公式及其余项表达式。如何估计它的截断谋差？ 复合辛普森公式为SnfG0 + 4+ f（xj+ f（b）k=0k=l z、4Rh（f） = I-Sn = -22. - f（）,wa,b1808、什么是龙贝格求枳？它有什么优点？龙贝格求积公式也称为

4、逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式Z间的 关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。使用理査森外推算法，它在不增加计算帚 的前提下提高了误差的精度.在等距基点的情况卜，用计算机计算枳分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样， 前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用，且易r编程。龙贝格算法公式4m1宜亠中箱）一科1吗1,2,3.9、什么是高斯熨求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数桔确度是多少？为何称 它是具有最高代数精确度的求积公式？：如果求积公式J f(x)Q(x)dxuf ffg) ak-oMi 2n-l （n为秋季节点数）次代数精度，则称梵节点耳为高斯

5、点，求积公式为高斯醴求 积公式。可以使用证明的方法求证，插值公式的代数粘度不超过2n-lft即回到了垠后一个问题。根据老师的讲课，给出证明的方法。10. 牛顿-柯特斯求积和高斯求积的节点分布仃什么不同？对同样数冃的节点，两种求积方 法哪个更精确？为什么？牛顿柯特斯求积节点等距分布高斯求积的节点分布是插值型多项式的零件。对同样数目的节点，高斯求积更精确。口、描述自动求积的一般步骤。怎样得到所需的误差估计？答：如果求枳区间屮彼枳函数变化很人，灯的部分函数值变化剧烈，需耍使用小不长，另一 部分函数值变化平缓，可以使用人步长，什对被积函数在区间上的不同情形采用不同的步氏,使得在满足精度前提卜积分计算工

6、作最尽可能小，针对这类问题的算法技巧是在不同区间t 预测被积函数变化的剧烈程度确泄响应步长。就是口动求积的一般步骤。12、怎样利用标准的一维求积公式计算矩形域上的二匝积分 基本原则：累次积分。f (耳畑)血+2若 f f(x,yj血+f f(x,yM)dx影重积分的辛普森公式： f f f（x,y）dydx = f（x,y0）cix+4 j对每一个积分再次利用辛普森公式bh悝小（f（x）dx=-f（a） + 4X f（兀就）+ 2工 g+ f（b）6k=oe23、对给定函数，给出两种近似求导的方法。卄给定函数值仃扰动，在你的方法中怎样处理 这个问题？14、判断如下命题是否正确:（1）如果被枳函

7、数在区间6b上连续，则它的黎曼（Riemann）积分一定存在。（2）数值求积公式计算总是稳定的。（3）代数精确度是衡最算法稳定性的一个熏要指标。（4）n + l个点的插值型求积公式的代数粘确度至少是门次，最多可达到2门+ 1次。（5）高斯求积公式只能计算区间JJ上的积分。（6）求积公式的阶数与所依据的插值多项式的次数-样。（7）梯形公式与两点高斯公式精度一样。（8）高斯求枳公式系数都是正数，故计算总是隐定的。（9）由F龙贝格求积节点与牛顿柯特斯求积节点相同,因此它们的精度相同。（10）阶数不同的高斯求积公式没有公共节点。2）正确2）错误3）错谋，是衡彊计算准确度的一个指标4）正确5）错误，可以

8、通过变化使得计算时区间在卜1,1上。6）错谋，典型的例子是，当n为偶数时，牛顿-柯斯特公式至少为n+1阶代数粘度。7）错谋。梯形公式，代数精度为2,两点高斯公式代数桔度为38）正确9）错误。龙贝格精度为2n,牛顿-柯特斯精度最人为n+110）错谋。习题1、确定卜列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽斎高，并指明所构造出的求积公式所 具有的代数精度。1）；f（x）dxu A（-h）+2%f（0）+Af（h）;2) f；f(x)dxu Af(h)+A)f(O)+Af(h)：pl3) f (x)dx f (-1) + 2 f(xj + 3f(x2)/3 ；4) f(x)dxlif(O)+ f(h)/

9、2+al】2F(0)_ f (h) o1) P f(x)dx A! f (-h) + 州 f (0) + A f (h) h由于需要确定3个未知量，因此，需要给定3个方程。设 f(x) = l,x,x2,有2h = Ai + 4 + A0 = -liAj + hR|h3 = h 认+ 11诂2h 二 Ai + A + AA冷hA = ih3令 f(x) = x3,有(-h)3 + 03 + h3 = - i li4 + i h4 = 0 = fh Vdx = 033333令 f(x) = x4,-(-h)4 + O4 + -h4 = -h5 = 0 h x4dx=-x5|h =-h53333-

10、J5 l-h 5因此，具有3次代数特度。r2h2) j f(x)dxcAif(-h)+2%f(O)+Af(h)lljJ盂耍确定3个未知駁，因此，需耍给定3个方程。 设 f(x) = l,x,x2,有4h = Aq + A)+ A 0 = 一hA + hA4h = A】+ 4 + AAi = yh令 f(x) = X3 ,y.811t .34113811381 481 4rh 3 -右(-h)0 hh =h + 11 =0=1 x dx= 033333令 f(x) = x4,04 + h4 = -h5 = 0fEx4dx= lx5!2 = h533345 l-2h 5因此,具有3次代数精度。f1

11、 f(x)dxf(-l) + 2f(x) + 3f(x.)/33) 需耍确定2个待定参数，因此，令设 f(x) = l,x,x2,有2 = 1 + 2 + 3/3 0 = 1 + 2坷 + 3冷/3|- = 1 + 2x12 + 3x22/3xl =-0.6899x2 = 0.2899解出 Jxl 二一0.68991x2 = -0.5266令 f(x) = x3,有H f (-1) + 2 f (-0.6899) + 3f (0.2899)/3= -l + 2x 06899? + 3x 0.2899* / 3= -0.52788因此，具有2次代数轿度。4) f f(x)dxli(f(0)+ f

12、(h)/2+alff*(0)- f (h) 需要确定2个待定参数，因此，令设 f(x) = l,x,x2,有11 = 114- 0h2 h2 A2 2h3=h3/2-2ah313解ill a = , h为任意常数12令 f(X)= X3 ,有=hx3dx= f (x)dx = h4 / 2 - h4 = ih44 JoJo v 744令 f (x) = x4,有=fhx4dx= h f(x)dx#=h5/2-h5 = h55 oJo36所以代数精度为3.2、分别用梯形公式和辛普森公式计算卜冽积分:Jo 4 +(2)Vxdx. n = 4（1）倍2*梯形公式Z 吕 f(a) + 2 fg+f(b

13、)Lk=ln = 8，所以兀= =k = 0,l,2,3,4,5,6,7,88f(Xo)= Of (齐)= 0.0311f(x2) = 0.0615f(x3) = 0.0906f() = 0.1176f(x$) = 0.1423f(Xg) = 0.1644心)=0.1836f (Xg) = 0.200所以有耳冲f(0) + 2丈心)+fQ)2k=i= 0.1114辛普森公式X ；丈f (a) + 4丈 f (如J + 2責) + f (b) k=0k=Ok=ln = 4，所以 = -,k = 0,l,2,3,441 ko 4所以Sq 电丈f(0) + 4 f(%) + 2f(卷)+f(l)O

14、k=0k=0k=l= 0.11157(2)Txcbq n = 4梯形公式T； = f(a) + 2 f()+f(b)2“In = 4，所以& =l + 2k,k = 0JL2,3,4f() = 1.00001.73212.23612.6458 3.0000,k = 0 J1；肖f(a) + 2丈 fg+f2k-i= 17.2278辛普森公式Sn =f(a) + 4 f(兀北)+ 2壬 f g+ f(b)O k=0k=0k=ln = 2，所以xk=l + 4k,k = 0,1,2,卷曲= 3 + 4k、k = 0、l所以S2 = 7f(a) + 4 追就)+ 2土 )+ f(b) k=0k=0k

15、=l=17.33211Xl6 j.)(4 - siiT010 n = 6 梯形公式 粒(町+ 2丈心)+他Lk=ln = 6，所以 = k,k = 0,l,2,3,4,5,6361.9365,k = 0,1.6f() = 2.00001.99811.99241.98321.97051.9548耳弓f(a) + 2士 fg+f2k=i= 1.0356辛普森公式h npjipSn = -f(a) + 4 f(耳砒)+ 2工 f()+ f(b)J b k=ok=ok=in 6所以观送心0,1,2,3所以乌今丈f+ 4土 f (耳就)+ 2 f区)+ f(b) k=0k=0k=l=1.35773、直接

16、验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度。验证以下公式在f(X)= X5时，等式成立，在f(X)= X6时，等式不成立fb 3f(x)dx =页-7 f (毛)+ 32 f (齐)+12 f (x2) + 32f (x3) + 7f (x4)验证过程同题f (x) “XxIxxSx5 时，(以 f(x)= X5 为例)U7a5 +32(沁)5 +12(匕)5 + 32()，+ 7290424b a=7 a5 + (243 a5 + 405 a 4b + 270 a 3b3 + 90 a 2b3 +15 a b4 + b5) 9032+ -(a5 + 5a4b + 10a3b2 +10a2b3

17、+ 5ab4 + b5)8+ (a5+15a4b + 90a3b2 + 270a2b3 + 405 ab4 + 243b5) + 7b5 32= (15a5 +15a4b + 15a3b2 +15a2b3 +15ab4 +15b5)90=b_ & 心 + b)(a4 + 2a 2b2 + b4) = b 一 a =x5dx66 人f(x) = x6 时， 口7汕 + 32(沁)6 +12(血)6 +32(诅)6 + 7b690424=-7a6 + (729 a6 +145 8 a 5b +1215 a 4b2 + 540 a 3b3 +135 a 2b4 +18 a b5 + b6) 9012

18、8+ (a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 +15a2b4 + 6ab5 + b6)16+ (a6+18a5b + 135a 4b2 + 540 a 3b3 +1215 a2b4 + 1458 a b5 + 729b6) + 7b61128b-a 82564055u 17104u1953u3 1710,u4405u5 825 u6x906432128161283264从而此求积公式最高具有5次代数精度。4、用辛普森公式求积分e=dx并估计误差。辛普森公式S = -f(a) + 4f()+f(b) o2f(O) = l f(0.5) = e-05 f(l) = e-1所以S

19、= if(0) + 4f(0.5)+f(l)o=丄l + 4e-05 + e-16=0.63233余项为R(f) = -(字)4 f 4 (/),/ (a, b)180 2f4(7)= e e=l|R(f)|=|x0.0625xl|180=3 47e45、推导下列三种矩形求积公式:I f(x)dx= f (a)(b_ a) + 彳()(b_ a)，；2f(x)dx= f(b)(b-a)-(b-a)2Ja 2f f(x)dx= f()(b-a) + -(b-a)3 解：本题有2中证明方式。解法利用插值熨求积公式的余项公式证明。bbN Rhx(x)dx=Kf()其中严严)一入層k=0由于只用到1个

20、插值点X二a,此时m二0, n=0,此时插值基函数为1. = jl0(x)dx=ldx=(b-a)所以1 d 、r 石(b-盯同理当用到1个插值点x二b,此时m二0, n=0,此时插值基函数为1.A)= Jjo(x)dx = ldx=(b-a) 所以K =-1n(严-严)4曲 (111+1)! 111+2台=(b1 2 - a2)-(b- a)b2(1)和(2)即可证得。但对于(3),f(x)dx= f()(b-a) + -(b-a)说明对m二0时，求积公式没有误差。 令m=l, n=0,此时插值基函数为1. i% = l0(x)dx=ldx=(b-a) 所以本题为书匕的例题。考核的是复合梯形

21、公式和复合辛普森公式的误差与节点的关系。解：复介梯形公式余项JL厶解：龙贝格求积算法(本题还不会，特别是求TO,还需要多看书)a224使用此种方法需耍调整。用到1个插值点x= ,此时ITFO, n=0,此时插值基函数为1.1 “(b2-a2)-X AC* k=0Aj = f 】U (x)氐=f 1 dx = (b _ a ) 所以K =-(m+l)!m+2=0.5(b3 - a3 + a-b- ab)121244=(b-a)324即可证得。解法2,利用微分中值定理证明。由微分中值定理有:f(x)= f(a)+ fX/7)(x-a),从而 f(x)dx=f(a)+ f (；7)(x- a)dx=

22、 f(a)x+ (x- a)2=f(a)(b-a)+ T()(b-a)，2再由微分中值定理有：f(x)= f(b)+F()(x-b),从而f f(x)dx=f(b) + F()(x-b)dx=f(b)x+学(x-b)?：o=f(b)(b-a)-(b-a)2由微分中值定理有：f(x)= f(川)+ F(m)(x-S) + Ad(x-)2,从2 2 2 2 2f f(x)dx= f f(*) + f()(- *) + 乎(-)，dx 而=f (学)x+ 1 F(学)(x-学)2 +字(x-学皿2 2 2 2 6 2+bAn 、 f()(b-a)3 r/a + b厂(“)小 、3=f()(b-a)

23、+ -= f()(b-a) + -(b-a)32642246、若用复合梯形公式计算积分I =.血，问区间O,1MZ分第少等份才能使截断误差不超 过丄X10-5 ?若改用令普森公式，耍达到同样椿度区间0,1冋分女少等份？2I %(f)H 害 h2 f ()旧 -(-)2e|212.849复介森公式余项5-將 )f () = e,wO,lI %(f)冃一口h4 f()归丄(i)4e|0,证明用梯形公式计算积分I =孑庶所得结果比准确值I大，并说明 其几何意义。解：f(x)0,说明f(x)在0,1区间上是一个内凹的两数。本题，选择梯形公式余项证明：%(f) = f(X)dx-S Af() = -导i

24、rf) 0rl丄rl所以1 = f(x)cix/xJo /x于是有f -(x2 + bx+ c)dx= +b + 2c = 0Jo 丘53f &(* + bx+ c)dx= |-+ 彳b + 扌c = 0b = -6/7解得c = 3/35所以，w(x) = x2-x+ 735解得：况= 0.1156=0.7416由J：两个节点的高斯熨求积公式貝冇3次代数精度，故公式对f(x) = l,x,x2,x3成立，为方便计算AO, A1取前两个。当 f(x)=l 时，A)+ A =4忌+= 11564 + 07146A解得:A = 0.727所以爲斯型求积公式为f (x)dx 1.273 f (0.1

25、156) + 0.727 f (0.7416) 1K用n = 23的高斯勒让德公式计算积分 j*%1 sin xdx本题考資积分区间的变化，高斯勒让徳公式。解：高斯勒让德积分区间为-14LS此需要进行区间变化, 则I%1 sin xdx= ex+2 sin(x+ 2)d(x+ 2)=ex+2 sin(x+2)dx即.变化区间后f (x) = ex+2 sin(x+2)当n=2时，为3点的高斯型求积公式，宙表47高斯节点为Xq = -0.7745967Xj =0x, = 0.7745967系数为A = 4 = 0.5555556A = o所以高斯勒让徳即公式为ex+2 sin(x+ 2)dx 0

26、.5555556 f(-0.7745967) + 0.8888889 f(0) + 0.5555556 f(0.7745= 10.9484同理可得3点的高斯勒让德计算。不再计算。12、卫星轨道是一个椭圜，椭關周长的计算公式是S=4a 仁p勻sin本题属于沿线积分求周长的题型解：2R+H +11 2x 6371 + 2384 + 439a = 2H - h 2384 - 439c =2 2f (&) =sin26 (7782.5)使用复介梯形公式或复介W普森公式求解。设梯形公式节点为n二6,辛普森公式口二3, 所以 060,这里aZ丿是椭圆的半长轴，c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离，记h

27、为近地点距离，H为 远地点距离，R=6371公里为地球半径，则a = (2R+H + h)/2, c=(H-11)/2。我国= 7782.5 ,= 972.5则有第-颗人造卫星近地点距离h = 439公里，远地点距离为H = 2384公里，试求卫星轨道的 周长。0)使用辛普森公式6 324+1门f(6) = 1.00000.99800.99410.9922f(久和2)= 0.99950.99610.9927S = 3110 Xf (0) + 4丈 f如J + 2丈 f(%)+ f(y)lk-0k-1/= 4.8708x10“两者计算精度基木相当。n_3513、证明等式nsin-= + -，试依

28、据nsin- (n = X6J2)的值.用外推 n3!ir 5 Inn算法求兀的近似值。14、用下列方法计算积分jdy,并比较结果。1）龙贝格方法；（2）三点及五点高斯公式；3）将枳分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。三点及五点高斯公式;需要将区间化为卜1 川复化两点高斯公此 盂耍将区间化为卜“15、用n=2的高斯拉盖尔求积公式计算积分 Joex1 + e3xdx木题石耍先构造高斯拉盖尔求枳公式的形式，随后査表即可求得g e/b-koIo EH严E-所汕补k查表4 8, n=2时仃Xq = 0.415774557 马=2.294280360X. - 6.2899450832% = 0.711

29、093010A =0.278517734A =0.010389257则：Xq =0.69668坷=0.98993x. =110 e订尹血=4片(心)+Afg)+Af(xJ= 0.7815116、用辛普森公式(取N=M=2)计算二重积分/-0505Jo I。e-dydx本题考核多車积分的求法，考核多匝积分的普森公式，对梵中的单个积分再次应用“普森 公式求积。解：多巫积分的辛普森公式：f J： f(x,y)dydxk bM-l 匕M-l 匕b= - f(x,y)dx+4工f(x,y加)dx+2工f(x,yJdx+ f(x,yM)dx ai=0 ail 3a对每一个积分再次利用辛普森公式 f(x)dx=：f(a) + 4士 f(如J + 2士 fg+ f(b)“k=0k=l解:取 N =M=2,即 h=k=0.25