点到直线的距离公式、两条平行线之间的距离

1、全国名校高中数学优质学案汇编3.3.3点到直线的距离公式 -3.3.4两条平行线之间的距离三维目标：知识与技能： 1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；能力和方法：会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞情感和价值： 1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题 王新敞教学重点： 点到直线的距离公式 王新敞教学难点： 点到直线距离公式的理解与应用.教学方法：学导式教具：多媒体、实物投影仪王新敞教学过程一、情境设置，导入新课：前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方

2、法研究几何问题的思想方法. 这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线的距离。l用 POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系， 且在直线上取两点， 让学生指出两点间的距离公式， 复习前面所学。 要求学生思考一直线上的计算？能否全国名校高中数学优质学案汇编用两点间距离公式进行推导？两条直线方程如下 ：A1 xB1 yC10A2 xB2 yC20.二、讲解新课：1点到直线距离公式：点P xy0 )到直线 l : Ax By CAx0 By0 C0 的距离为： d( 0,王新敞A2B 2（1）提出问题在平面直角坐标系中，如果已知某点P

3、的坐标为 ( x0 , y0 ) ，直线0 或 B0 时，以上公式 l : AxByC0 ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?学生可自由讨论。（ 2）数行结合，分析问题，提出解决方案学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P 到直线l的距离d是点P 到直线l 的垂线段的长.这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。方案一：全国名校高中数学优质学案汇编设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ，垂足y为 Q，由 PQ l 可知，直线 PQ的斜率为 BRP(x0 ,y0)dAQ（A0），根据点斜

4、式写出直线PQ的方oSxl程，并由 l 与 PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出PQ，得到点 P 到直线 l 的距离为 d王新敞此方法虽思路自然，但运算较繁. 下面我们探讨别一种方法王新敞方案二：设 A0，B0，这时 l与 x 轴、 y 轴都相交，过点 P 作 x轴的平行线，交 l 于点 R(x1, y0 ) ；作 y轴的平行线，交 l 于点 S(x0 , y2 ) ，由 A1 x1By0C0 得 x1By 0C , y2Ax 0 C .Ax0By2C 0AB所以， P x0x1 Ax0 By0CA PS y0y2 Ax0By0CB S PR2PS 2A2B 2× Ax

5、0 By0 C 由三角形面AB积公式可知： d · S P· PS王新敞所以 dAx0 By0 C22AB可证明，当 A=0时仍适用 王新敞这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。意志品质等方面得到了提高。3例题应用，解决问题。例 1 求点 P=（-1 ，2）到直线3x=2 的距离。全国名校高中数学优质学案汇编3125解： d=02332例 2 已知点 A（1，3），B（3，1），C（-1 ，0），求三角形 ABC的面积。解：设 AB边上的高为 h，则VABC=1AB ? hS2AB321322 ，12AB边上的高 h 就是点 C到 AB的距离。AB边所在直线方程为y

6、3X11331即 x+y-4=0 。点 C到 X+Y-4=0的距离为 hh=12045，112VABC=15因此， S2 2522通过这两道简单的例题， 使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。同步练习：教材练习第1，2 题。4拓展延伸，评价反思。（1） 应用推导两平行线间的距离公式已知两条平行线直线 l1 和 l2 的一般式方程为 l1 ： Ax By C10 ，全国名校高中数学优质学案汇编l2 ： AxByC20 ，则 l 1 与 l 2C1C2的距离为 d王新敞A2B 2证明：设P0(x0,y0)是直线 Ax0 到直线By C 2 0上任一点，

7、则点 PAx By C1Ax0By0 C10 的距离为 d王新敞A2B 2又 Ax0 By 0 C 2 0即 Ax0By0C1C2C 2 ， d王新敞A2B 22x 3 y100的距离 .解法一：在直线l1 上取一点 P(， 0)，因为 l1 l 2王新敞例 3 求两平行线 l1 ： 2 x3y80，l 2 ：，所以点 P 到 l 2 的距离等24301022于 l1 与 l2 的距离 . 于是 d2 232131313解法二： l1 l 2 又 C18,C210 .由两平行线间的距离公式得d8( 10)2 3王新敞223213四、课堂练习 ：已知一直线被两平行线3x+4y-7=0 与 3x+4y+8=0 所截线段长为 3。且该直线过点（ 2，3），求该直线方程。 王新敞五、小结 ：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 王新敞六、课后作业 ：13. 求点 P（2，-1 ）到直线 2 x 3 y 30 的距离 .全国名校高中数学优质学案汇编14. 已知点 A（ a ，6）到直线 3 x y 2 的