第14讲二次函数

1、宇轩图书宇轩图书目目 录录第14讲二次函数考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点一考点一 二次函数的定义二次函数的定义一般地，如果一般地，如果y yaxax2 2bxbxc c( (a a、b b、c c是常数，是常数，a a0)0)，那么，那么y y叫做叫做x x的二的二次函数次函数1 1结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x x的的_次式；次式；x x的最高次数是的最高次数是2 2；二次项系数；二次项系数 a_a_0.0.2 2二次函数的三种基本形式二次函数的三种基本形式(1

2、)(1)一般形式：一般形式： ；(2)(2)顶点式：顶点式： ，它直接显示二次函数的顶点坐，它直接显示二次函数的顶点坐标是标是 ；(3)(3)交点式：交点式： ，其中，其中x x1 1、x x2 2是图象与是图象与x x轴交轴交点的点的_二二yax2bxc(a、b、c是常数，且是常数，且a0)ya(xh)2k(a0)(h(h，k)k)ya(xx1)(xx2)(a0)横坐标横坐标考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点二考点二 二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下

3、一页下一页首首 页页考点三考点三 二次函数二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的图象特征与的图象特征与a a、b b、c c及及b2-4acb2-4ac的符的符号之间的关系号之间的关系字母字母 项目项目字母的符号字母的符号图象的特征图象的特征a aa a0 0开口向上开口向上a a0 0开口向下开口向下b bb b0 0对称轴为对称轴为y y轴轴abab0 0( (a a与与b b同号同号) )对称轴在对称轴在y y轴左侧轴左侧abab0 0( (a a与与b b异号异号) )对称轴在对称轴在y y轴右侧轴右侧c cc c0 0经过原点经过原点c c0 0与与y y轴正半轴相交轴正

4、半轴相交c c0 0与与y y轴负半轴相交轴负半轴相交考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页注意：当注意：当x x1 1时，时，y ya ab bc c；当；当x x1 1时，时，y ya ab bc.c.若若a ab bc c0 0，即，即x x1 1时，时，y y0.0.若若a ab bc c0 0，即，即x x1 1时，时，y y0.0.b b2 24ac4acb b2 24ac4ac0 0与与x x轴有唯一轴有唯一交点交点( (顶点顶点) )b b2 24ac4ac0 0与与x x轴有两个交点轴有两个交点b b2 24ac4ac0 0与与x x轴没有交点轴没有交

5、点考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点四考点四 二次函数图象的平移二次函数图象的平移任意抛物线任意抛物线y ya a( (x xh h) )2 2k k可以由抛物线可以由抛物线y yaxax2 2经过平移得到，具体经过平移得到，具体平移方法如下：平移方法如下：温馨提示：温馨提示：二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移. .考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点五考点五

6、二次函数解析式的求法二次函数解析式的求法1 1一般式：一般式：y yaxax2 2bxbxc c( (a0a0) )若已知条件是图象上三个点的坐标则设一般式若已知条件是图象上三个点的坐标则设一般式y yaxax2 2bxbxc c( (a0a0) )，将已知条件代入，求出，将已知条件代入，求出a a、b b、c c的值的值2 2交点式：交点式：y ya a( (x xx x1 1)()(x xx x2 2)()(a0a0) )若已知二次函数图象与若已知二次函数图象与x x轴的两个交点的坐标，则设交点式：轴的两个交点的坐标，则设交点式：y ya a( (x xx x1 1)()(x xx x2

7、2)()(a0a0) )，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数数a a，最后将解析式化为一般式，最后将解析式化为一般式3 3顶点式：顶点式：y ya a( (x xh h) )2 2k k( (a0a0) )若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值, ,则设顶则设顶点式点式: :y ya a( (x x- -h h) )2 2+ +k k( (a0a0),),将已知条件代入，求出待定系数化为一般式将已知条件代入，求出待定系数化为一般式. .考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上

8、一页下一页下一页首首 页页考点六考点六 二次函数的应用二次函数的应用二次函数的应用包括两个方面：二次函数的应用包括两个方面：( (1 1) )用二次函数表示实际问题变量之间关系用二次函数表示实际问题变量之间关系( (2 2) )用二次函数解决最大化问题用二次函数解决最大化问题( (即最值问题即最值问题) )，用二次函数的性质求，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围解，同时注意自变量的取值范围中考典例精析宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页 (1)(2011 (1)(2011北京北京) )抛物线抛物线y yx x2 26x6x5 5 的顶点坐标为的顶点坐标为( () )

9、A A(3(3，4) 4) B B(3,4)(3,4) C C( (3 3，4)4) D D( (3,4)3,4)(2)(2011(2)(2011莆田莆田) )抛物线抛物线y y6x6x2 2 可以看作是由抛物线可以看作是由抛物线y y6x6x2 25 5按按下列何种变换得到下列何种变换得到( () )A A向上平移向上平移5 5个单位个单位 B B向下平移向下平移5 5个单位个单位C C向左平移向左平移5 5个单位个单位 D D向右平移向右平移5 5个单位个单位中考典例精析宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页y y3 3) )，y y1 1、y y2 2、y y3 3 的大小关

10、系是的大小关系是( () )A Ay y1 1y y2 2y y3 3 B By y2 2y y1 1y y3 3C Cy y3 3y y1 1y y2 2 D Dy y1 1y y3 3y y2 2(4)(2010(4)(2010天津天津) )已知二次函数已知二次函数y yaxax2 2bxbxc(c(a0)a0)的图象如图所示，有下列结论：的图象如图所示，有下列结论：b b2 24ac04ac0； abcabc00；8a8ac0c0； 9a9a3b3bc0.c0.其中，正确结论的个数是其中，正确结论的个数是( () )A A1 1B B2 2C C3 3D D4 4中考典例精析宇轩图书宇轩

11、图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【点拨点拨】本组题主要考查二次函数的图象和性质本组题主要考查二次函数的图象和性质【解答解答】(1)A(1)Ayyx x2 26x6x5 5(x(x3)3)2 24 4，抛物线抛物线y yx x2 26x6x5 5 的顶点坐标为的顶点坐标为(3(3，4)4)(2)B(2)B把抛物线把抛物线y y6x6x2 25 5向下平移向下平移5 5个单位得抛物线个单位得抛物线y y6x6x2 2. .中考典例精析宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页2a02a00，故，故正确；当正确；当x x2 2时，时，y0y0，此时，此时y y4a4a2b2bc c4a

12、4a2(2(2a)2a)c c8a8ac0c0，故，故正确；正确；x x1 1是抛物线的对称轴，由图象知抛是抛物线的对称轴，由图象知抛物线与物线与x x轴的正半轴的交点在轴的正半轴的交点在3 3与与4 4之间，则当之间，则当x x3 3时，时，y0y0，即，即y y9a9a3b3bc0c0 0 B Bc c00C Cb b2 24 4acac0 00【解析解析】由图象可知，当由图象可知，当x x1 1时，二次函数值大于时，二次函数值大于0 0，即把，即把x x1 1代代入解析式得入解析式得a ab bc c0.0.【答案答案】D D考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【解

13、析解析】由题意知，由题意知，k k00，则，则y ykxkx2 2kxkx的图象大致为的图象大致为C.C.【答案答案】C C考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1010(2011(2011温州温州) )已知二次函数的图象已知二次函数的图象(0(0 x x3)3)如图所示，关于如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( () )考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页A A有最小值有最小值0 0，有最大值，有最大值3 3B B有最小值有最小值1 1，有最大值，有最大值0 0C C有最小值有最

14、小值1 1，有最大值，有最大值3 3D D有最小值有最小值1 1，无最大值，无最大值【解析解析】观察图象知二次函数在观察图象知二次函数在00 x x33时，有最小值时，有最小值1 1，最大值，最大值3.3.【答案答案】C C考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1111(2011(2011河北河北) )一小球被抛出后，距离地面的高度一小球被抛出后，距离地面的高度h h( (米米) )和飞和飞行时间行时间t t( (秒秒) )满足下面函数关系式：满足下面函数关系式：h h5(5(t t1)1)2 26 6，则小球距离地，则小球距离地面的最大高度是面的最大高度是( () )A

15、A1 1米米 B B5 5米米 C C6 6米米 D D7 7米米【解析解析】当当t t1 1时，时，h h最大最大6 6，小球距离地面的最大高度是小球距离地面的最大高度是6 6米米 【答案答案】C C考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页12. (201112. (2011株洲株洲) )某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图所示某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图所示，以水平地面为，以水平地面为x x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线划出的曲线是抛物线y yx x2 24 4x x( (单位：米单位

16、：米) )的一部分，则水喷出的最的一部分，则水喷出的最大高度是大高度是( () )考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页A A4 4米米 B B3 3米米 C C2 2米米 D D1 1米米【解析解析】y yx x2 24 4x xx x2 24 4x x4 44 4( (x x2)2)2 24 4，水喷出的最大高度是水喷出的最大高度是4 4米米【答案答案】A A考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页二、填空题二、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共2020分分) )1313(2010(2010中考变式题中考变式题) )若二次函数若二次函数y yx

17、 x2 22 2x xk k的部分图象如图的部分图象如图所示，则关于所示，则关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 22 2x xk k0 0的一个解的一个解x x1 13 3，另一个，另一个解解x x2 2_._.考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【解析解析】方程方程x x2 22 2x xk k0 0的解，即为的解，即为y yx x2 22 2x xk k与与x x轴轴交点的横坐标，由图象知抛物线的对称轴为交点的横坐标，由图象知抛物线的对称轴为x x1 1，其中一个交点坐，其中一个交点坐标为标为(3,0)(3,0)，所以另一个交点坐标为，所以另一个交点坐标为

18、( (1,0)1,0)，即，即x x2 21.1.【答案答案】1 1考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1414(2011(2011河南河南) )点点A A(2(2，y y1 1) )、B B(3(3，y y2 2) )是二次函数是二次函数y yx x2 22 2x x1 1的图象上两点，则的图象上两点，则y y1 1与与y y2 2的大小关系为的大小关系为y y1 1_y y2 2( (填填“”“”“”“”“”)”)【解析解析】分别将分别将x x2 2和和x x3 3代入代入y yx x2 22 2x x1 1，得，得y y1 12 22 22 22 21 11 1，y

19、 y2 23 32 22 23 31 14 4，y y1 1y y2 2. .【答案答案】考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1515(2012(2012中考预测题中考预测题) )已知二次函数已知二次函数y yaxax2 2bxbxc c( (a a0)0)，其中，其中a a、b b、c c满足满足a ab bc c0 0和和9 9a a3 3b bc c0 0，则该二次函数图象的对称轴是，则该二次函数图象的对称轴是直线直线_【解析解析】当当x x1 1时，时，y ya ab bc c0 0，当，当x x3 3时，时，y y9 9a a3 3b bc c0 0，抛物线经过

20、抛物线经过(1,0)(1,0)、( (3,0)3,0)，对称轴是直线对称轴是直线x x1.1.【答案答案】x x1 1考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1616(2011(2011大连大连) )如图所示，抛物线如图所示，抛物线y yx x2 22 2x xm m( (m m0)0)与与x x轴相轴相交于点交于点A A( (x x1,1,0)0)、B B( (x x2,2,0)0)，点，点A A在点在点B B的左侧当的左侧当x xx x2 22 2时，时，y y_0(_0(填填“”“”“”“”“”)”)考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【答案答案】

21、考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1717(2011(2011日照日照) )如图所示，是二次函数如图所示，是二次函数y yaxax2 2bxbxc c( (a a0)0)的图象的一部分，给出下列命题：的图象的一部分，给出下列命题：a ab bc c0 0；b b2 2a a；axax2 2bxbxc c0 0 的两根分别为的两根分别为3 3和和1 1；a a2 2b bc c0.0.其中正确的命题是其中正确的命题是_( (只要求填写正确只要求填写正确命题的序号命题的序号) )考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【答案答案】考点训练宇轩图书宇轩图书上

22、一页上一页下一页下一页首首 页页三、解答题三、解答题( (共共4444分分) )1818(15(15分分)(2011)(2011佛山佛山) )如图所示，已知二次函数如图所示，已知二次函数y yaxax2 2bxbxc c 的图象经过的图象经过A A( (1 1，1)1)、B B(0,2)(0,2)、C C(1,3)(1,3)三点三点(1)(1)求二次函数的解析式；求二次函数的解析式；(2)(2)画出二次函数的图象画出二次函数的图象考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1919(14(14分分)(2011)(2011贵

23、阳贵阳) )如图所示，二次函数如图所示，二次函数y yx x2 22 2x xm m的图象的图象与与x x轴的一个交点为轴的一个交点为A A(3,0)(3,0)，另一个交点为，另一个交点为B B，且与，且与y y轴交于点轴交于点C C. .(1)(1)求求m m的值；的值；(2)(2)求点求点B B的坐标；的坐标；(3)(3)该二次函数图象上有一点该二次函数图象上有一点D D( (x x，y y)()(其中其中x x0 0，y y0)0)，使，使S SABDABDS SABCABC，求点，求点D D的坐标的坐标考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【答案答案】解：解：(1)

24、(1)把把x x3 3，y y0 0代入代入y yx x2 22 2x xm m 得得9 96 6m m0 0，m m3.3.(2)(2)由由(1)(1)得得y yx x2 22 2x x3 3，令，令y y0 0，得，得x x2 22 2x x3 30 0，解得，解得x x1 11 1，x x2 23 3，点点B B的坐标为的坐标为( (1,0)1,0)考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页或或y yx x2 22 2x x3 3( (x x1)1)2 24 4，抛物线的对称轴为抛物线的对称轴为x x1.1.由于由于A A、B B关于直线关于直线x x1 1对称，故点对称

25、，故点B B的坐标为的坐标为( (1,0)1,0)(3)(3)如图所示，设点如图所示，设点D D的坐标为的坐标为( (x x，y y) )，x x0 0，y y0 0，要使要使S SABDABDS SABCABC，点，点D D的纵坐标与点的纵坐标与点C C的纵坐标应相等，的纵坐标应相等，y y3 3，即，即x x2 22 2x x3 33 3，解得，解得x x1 10 0，x x2 22 2，点点D D的坐标为的坐标为(2,3)(2,3)考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页2020(15(15分分)(2010)(2010中考变式题中考变式题) )如图，已知抛物线如图，已知

26、抛物线y yaxax2 2bxbxc c( (a a0)0)的对称轴为的对称轴为x x1 1，且抛物线经过，且抛物线经过A A( (1,0)1,0)、C C(0(0，3)3)两点，与两点，与x x轴交于另一点轴交于另一点B B. .(1)(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；求这条抛物线所对应的函数解析式；(2)(2)在抛物线的对称轴在抛物线的对称轴x x1 1上求一点上求一点M M，使点，使点M M到点到点A A的距离与到点的距离与到点C C的距离之和最小，并求出此时点的距离之和最小，并求出此时点M M的坐标；的坐标；(3)(3)设点设点P P为抛物线的对称轴为抛物线的对称轴x x1 1上的一动点，求使上的一动点，求使PCBPCB9090的的点点P P的坐标的坐标考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【答案答案】解：解：(1)(1)根据题意，根据题意，y yaxax2 2bxbxc c的对称轴为的对称轴为x x1 1，且，且过过A A( (1,0)1,0)，C C(0(0，3)3)，可得，可得考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页抛物线所对应的函数解析式为抛物线所对应的函数解析式为y yx x2 22 2x x3.3.(2)(2)由由y yx x2 22 2x x3 3可得，抛