(完整word版)热力学与统计物理期末复习题

1、6热力学统计物理1、请给出嫡、始、自由能和吉布斯函数的定义和物理意义?d?d?斛：烯J的小乂： ?- ?= J?而？ d?= f?沿可逆过程的热温比的积分，只取决于始、末状态，而与过程无关，与保守力作功类似。因而可认为存在一个态函数，定义为嫡。始的定义：?= ?+ ?始的变化是系统在等压可逆过程中所吸收的热量的度量。自由能的定义：？?= ?- ?自由能的减小是在等温过程中从系统所获得的最大功。吉布斯函数的定义：? = ?+ ? ? ? ?在等温等压过程中，系统的吉布斯函数永不增加。也就是说，在等温等压条件下，系统中 发生的不可逆过程总是朝着吉布斯函数减少的方向进行的。2、请给出热力学第零、第一

2、、第二、第三定律的完整表述解：热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡 (温度相同)，则它们彼此也必定处于热平衡。热力学第一定律：自然界一切物体都具有能量，能量有各种不同形式，它能从一种形式转 化为另一种形式，从一个物体传递给另一个物体，在转化和传递过程中能量的总和不变。 热力学第二定律：克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其他变化。热力学第三定律：能氏定理：凝聚系的嫡在等温过程中的改变随热力学温度趋于零，即lim(?= 0?-0"绝对零度不能达到原理：不肯能通过有限

3、的步骤使一个物体冷却到热力学温度的零度。通 常认为，能氏定理和绝对零度不能达到原理是热力学第三定律的两种表述。3、请给出定压热容与定容热容的定义，并推导出理想气体的定压热容与定容热容关系式:?- ?= ?解：定容热容：？?=(弱?示在体积不变的条件下内能随温度的变化率;定压热容：？?=(裁?(3=(竟 表示在压强不变的情况下的嫡增; ?对于理想气体，定容热容？羽偏导数可以写为导数，即(1)d?=-?d?定压热容？羽偏导数可以写为导数，即?= d?d?理想气体的嫡为？?= ?+ ? ?+ ?(3)由(1) (2) (3)式可得理想气体的定压热容与定容热容关系式： ?- ?= ?4、分别给出体涨系

4、数？压强系数？/口等温压缩系数？?？的定义，并证明三者之间的关系： ?= ?1 ?解：体涨系数：a=?(五?y a给出在压强不变的条件下，温度升高1 K所引起的物体的体积的相对变化；压强系数：？?= U? , ?合出在体积不变的条件下，温度升高1 K所引起的物体的体积 /?的相对变化；等温压缩系数：？?=-、锵、?给出在温度不变的条件下，增加单位压强所引起的物体 的体积的相对变化；由于p、V、T三个变量之间存在函数关系f （p, T, V） =0,其偏导数存在以下关系： （斑（凝/孤广-1 因止匕a, ? ?加足a = ?5、分别给出内能，始，自由能，吉布斯函数四个热力学基本方程及其对应的麦克

5、斯韦关系工解：内能的热力学基本方程：d?= ?d? ?d?对应的麦克斯韦关系式:始的热力学基本方程：对应的麦克斯韦关系式:?(两?=-(书?d?= ?d? ?d?自由能的热力学基本方程:对应的麦克斯韦关系式:?(?=(方?？d?= -?d?+ ?d?有?:？吉布斯函数的热力学基本方程:对应的麦克斯韦关系式:?d?= -?d?2 ?d?(?)?= -(?)?6、选择T, V为独立变量，证明：？?= 2喀、/ （裁?证明：选择T, V为独立变量，内能U的全微分为?/?- ?d?=（裁 d?+ （葛？ d? ?又已知内能的热力学基本方程d?= ?d? ?d?以T, V为自变量时，嫡S的全微分为(2)

6、(1)?d?= f?d?+ (书?d?(3)式代入(2)式可得(3)d?= ?7裁?严?+ ?（竟- ?（4）式与（1）式比较可得-?d?(4)_ _?_ _ ?=(两?= ?7次?(5)?(而?= ?g?- ?(6)7、简述节流过程制冷，气体绝热膨胀制冷，磁致冷却法的原理和优缺点 解：节流过程制冷：原理：让被压缩的气体通过一绝热管，管子的中间放置一多孔塞或颈缩管。由于多孔塞的 作用，气体在它的两侧形成压强差，气体从高压侧缓慢流到低压侧，并达到稳恒状态，这 个过程被称为节流过程。优点：（1）装置没有移动的部分，低温下移动部分的润滑是十分困难的问题；（2）在一定的压强降落下，温度愈低所获得的温度

7、降落愈大。缺点：节流过程降温，气体的初始温度必须低于反转温度。绝热膨胀制冷：原理：能量转化的角度看，系统对外做功，内能减少，膨胀分子间平均距离增大，分子问 相互作用势能增加，分子的平均动能必减少，温度必降低。优点：不必经过预冷；缺点：膨胀机有移动的部分，温度愈低降温效应愈小。磁致冷却法：在绝热过程中顺磁性固体的温度随磁场的减小而下降。优点：可以获得更低的温度；缺点：磁致冷却过程是单一循环，不能连续工作。8、选择T, V为独立变量，推导出吉布斯亥姆霍兹方程解：(1)已知自由能的全微分表达式为d?= -?d?0 ?d?因此? ?=-?如果已知F (T, V),求F对T的偏导数即可得出嫡S (T,

8、V)；求F对V的偏导数即可得出 压弓虽p (T, V),这就是物态方程。根据自由能的定义，F=UTS,有?= ?+ ? ?2 ?即为吉布斯亥姆霍兹方程；(2)已知吉布斯函数的全微分表达式为d?= -?d?+ ?d?因此? ?=?如果已知G (T, V),求G对T的偏导数即可得出嫡S (T, V)；求F对V的偏导数即可得出 压弓虽p (T, V),这就是物态方程。根据吉布斯函数的定义，G=U-T&pV,有?= ?+ ? ? ?- ? ? ?由始的定义？?= ?+ ?得?= ?2 ?即为吉布斯亥姆霍兹方程。9、推导出克拉珀龙方程和理想气体的蒸汽压方程解：设(T, P)和(T+dT, p+d

9、T)是两相平衡曲线上临近的两点，在这两点上，两相的化学 势都相等：?(? ?)= ?7?, ?)?(?+ d? ?+ d?)= ?+ d? ?+ d?)两式相减的d?= d?(1)表示当沿着平衡曲线由(T, p)变到(T+dT, p+dT)时，两相的化学势的变化相等。化学势 的全微分为d?= -?d?+ ?(2)?和?分别表示摩尔嫡和摩尔体积, 将(2)式代入(1)式得-?m?d?+ ?m? -?d?+ ?m?d?77? 77? ?m-?m ?萨?照(3)以L表示1mol物质由肺目转变到浒目所吸收的相变潜热，因为相变时物质的温度不变，则?= ?(?- ?m?)(4)将（4）式代入（3）式可得?

10、方?= 一?一募d? ?（?- ?j即为克拉珀龙方程；在（5）式中略去？?,并把气相看作理想气体？?= ?则（5）式可化简为（6）6）式积分可得（7）1 ? ?d?= ?如果更进一步近似地认为相变潜热与温度无关，将（ln?=?+ ? ?即为蒸汽压方程的近似表达式。10、简述一级相变和二级相变的特点解：一级相变：在相变点两相的化学式连续，但化学式的以及偏导数存在突变。在一级相 变中两相有各自的非奇异的化学式函数，相变点是两相化学势函数的交点；在相变点两相 的化学势相等，两相可以平衡共存，但是两相化学势的一级导数不等，转变时有潜热和比 体积突变；在相变的两侧，化学势较低的相是稳定相，化学势较低的相

11、可以作为亚稳态存 在。二级相变：在相变点两相的化学势和化学势的一级偏导数连续，但化学势的二级偏导数存 在突变。二级相变没有相变潜热和比体积突变，但是定压比热、定压膨胀系数和等温压缩 系数存在突变。11、简述你对吉布斯仔谬的理解解：假设有两气体，物质的量各为n,令他们在等温等压下混合，则由？?= -?二?沏?（1） 可知，混合后的嫡增为 C=2nRn2（2）,这结果与气体的具体性质无关。不过应强调，由于在推导理想气体的吉布斯函数 G时用了膜平衡条件，式中的乙？是对不同气体的求和， 因而（1）式（2）式仅适用于不同气体，对于同种气体，由嫡的广延性可知，“混合”后气体的嫡应等于“混合”前两气体的嫡之

12、和。因此，由性质任意接近的两种气体过渡到同种 气体，嫡由2nRn2突变为零。这成为吉布斯仔谬。12、给出吉布斯相率的数学表达式并详细解释其含义和物理意义解：吉布斯相率白数学表达式：？?=?+ 2 - ?f称为称为多元相系的自由度，式多元复相系可以独立改变的的强度变量的数目，?坡示多元复相系有？"相，？褰示每个相有？奢组元，2表示外界因素n,多数取n=2,代 表压力和温度；物理意义：吉布斯相律说明了平衡体系中，系统的自由度与相数、组元数之间的关系。13、简述热力学和统计物理学的区别和联系解：热力学是用宏观的方法研究热现象，统计物理学是用微观的方法研究热现象。虽然两 者都是研究热现象的，

13、但理论体系是完全不一样的；热力学是一门极其优美的理论，只使 用最简单的数学方法，通过四大基本定律，也就是热力学第零定律、热力学第一定律、热 力学第二定律、热力学第三定律，完全不依靠实验，仅从四大基本定律推导出整个理论体 系。统计物理学则要使用复杂的数学方法，还要依靠实验；是由微观到宏观的桥梁，它为各种宏观理论提供依据，已经成为气体 、液体、固体和等离子体理论的基础，并在化学和 生物学的研究中发挥作用；统计物理为热力学提供了清晰的物理图像和定量的解释。14,分别给出玻尔兹曼统计分布，波色一爱因斯坦分布，费米一狄克拉公式，并简述三种 分布之间的关系解：玻尔兹曼统计分布：？?尸？?-?波色一爱因斯坦

14、分布:?=?+?的费米一狄克拉分布:?+?悔1三者之间的关系：玻耳兹曼系统遵从玻耳兹曼分布。（如顺磁固体等定域系统）；玻色系统遵守玻色分布；费米系统遵守费米分布；满足经典极限条件时，玻色系统和费米系统都满 足玻耳兹曼分布。15、给出定域系统下满足玻尔兹曼统计的粒子配分函数，并用其表达出内能、广义力和嫡解：定域系统下满足玻尔兹曼统计的粒子配分函数为：?= E ?»?内能的统计表达式：?= -? ?广义力的统计表达式：? ?= - ?嫡的统计表达式：?= ?n?l - ?）16、简述能量均分定理及其在解释单原子分子、双原子分子和固体比热等模型上的困难解：能量均分定理：对于处在温度为 T的

15、平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值2?对于单原子分子，定压热容与定容热容之比 ？?= £= 5= 1.667,此理论结果与实验结果符 ?37合的很好，但是在讨论中是将原子看作一个质点，完全没有考虑原子内电子的运动，原子内的电子对热容没有贡献是经典理论所不能解释的，要用量子理论才能解释。（没有考虑原子内的电子运动）；?9对于双原子分子，定压热容与定容热容之比 ？?=荔=1.40,除了在低温之下的氢气以外， 实验结果与理论结果都符合。氢气在低温下的性质经典理论不能解释。此外不考虑两原子 的相对运动也缺乏根据。更为合理的假设是两原子保持一定的平均距离做相对简谐振动 但是，如

16、果采取这个假设，双原子分子的能量将有七个平方项，能量均分定理给出的结果 将与实验结果不符。这一点也是经典理论所不能解释的。（不能解释低温氢气的性质和柔性 连接情况）； 对于固体，？?= 3?将理论结果与实验结果相比较，在室温范围内符合的很好，但在低 温范围内，实验发现固体的热容随温度降低的很快，当温度趋紧绝对零度时，热容趋近于 零。这个结果经典理论不能解释。此外金属中存在自由电子，如果将能量均分定理应用于 电子，自由电子的热容与粒子振动的热容将具有相同的能级。实验结果是，在 3K以上自由 电子的热容与粒子振动的热容相比，可以忽略不计，这个事实经典理论也不能解释。 （不能 解释所有理想固体有相同

17、的热容量）。17、给出普朗克公式，并讨论其在低频和高频内的结果解：普朗克公式:U( ,T)dV2dV h 3d/kT/kT现在讨论普朗克公式在高频和低频范围内的极限结果:在 /kT1的低频范围，e 1 一，普朗克式可近似为2kTdkTU( ,T)d得到瑞利一金斯公式;在 /kT1的高频范围内有？?/kT1,可将普朗克公式分母中的-1忽略而得得到维恩公式;U( ,T)d由上式可以看出，当/kT 1时,当？?(?？ ？?肥的增加而迅速地趋于零，这意味着,在温度T的平衡辐射中，/kT1的高频光子是几乎不存在的；也可以理解为，温度为T时窖壁发射kT的高频光子概率是极小的。18、试讨论电子在T=0K时的分布(提示：费米能级的定义及其物理意义)解：电子在0K时服从费米分布，电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从 ？袋0的状态起依次填充至？(0)止。0K时电子气体的内能为？?0) = 35? ?0),可知0K时电子的平均能量为3 ?0); 0K时电子气2体的压强为?0) = -?)