高中数学选修不等式选讲

1、不等式选讲(高考试题汇编)一、知识点整合：1 .含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)? f(x)>a 或 f(x)<a；(2)|f(x)|<a(a>0)? a<f(x)<a.(3)对形如|xa|+|xb|w c, |x- a|+|xb|> c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解.2 .含有绝对值的不等式的性质|a|- |b|< |a*|< |a|+ |b|.3 .柯西不等式设a, b, c, d均为实数，则(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.n c n c na

2、i a2an(2)右 ai, bi(iCN)为头数,则(目a2)(Mb2)>(ab)2,当且仅当 b1 = b2=bn(当某 bj=。时，认为 a =。，j= 1,2,，n)时等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设 3为平面上的两个向量，则 品|“0，当且仅当这两个向量共线时等号 成立.4.不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.二、典型题型题型一含绝对值的不等式的解法(2013课标例1全国 I )已知函数 f(x)= |2x-1|+|2x+ a|, g(x)=x+3.(1)当a= 2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)

3、设a>1,且当xC -|, 1时，f(x)<g(x),求a的取值范围.a 1审题破题(1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在xC -a-, 时去绝对值，利用函数最值求a的范围.解 (1)当 a=2 时，不等式 f(x)<g(x)化为 |2x1|+|2x 2| x3<0. 设函数 y= |2x 1|+|2x 2|x 3,8 / 8L15x, x<2,则y=c 1,-x- 2, 2< x< 1 ,3x-6, x>1,其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x|0<x<2.一 a 1(2) a> - 1,则一2<2",xC

4、(0,2)时，y<0,所以原不等式的解集是f(x)=|2x-1|+|2x + a|a 1 .当 xC 2，2 时，f(x) = a+ 1, a 1 即a+ 1Wx+3在xC 2，2上恒成立.a+1 w + 3,即 a 23a的取值范围为一1, 4 .3反思归纳这类不等式的解法是高考的热点.(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值； 分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观, 是一种较好的方法.变式训练1 已知函数f(x)=|x+ 1|

5、+|x2|m.(1)当m=5时，求f(x)>0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)>2的解集是R,求m的取值范围.题型二不等式的证明例2(2012福建)已知函数 f(x)=m-|x-2|, mC R,且 f(x+ 2)>0 的解集为1,1.求m的值；(2)若 a, b, cC r+,且 1= m,求证：a+2b+3c>9.a 2b 3c审题破题(1)从解不等式f(x+2)>0出发，将解集和1,1对照求m； (2)利用柯西不等式证明.解因为 f(x+2) = m-|x|,f(x+ 2)>0 等价于 |x|< m.由x|Wm有解，得m> 0,且其解

6、集为x|mw x< m.又 f(x+ 2)>0 的解集为1,1,故 m= 1.、r , j 11,(2)证明由知a+2b+五=1，又a, b, cCR + ,由柯西不等式得c, c ，1 c、1a+2b+3c=(a+2b+3c) a+2b + 3c*正3+亚合+修之2=9.反思归纳不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的.变式训练2 已知f(x)=|x+1|+x 1|,不等式f(x)<4的解集为M.求M；

7、(2)当 a, bC M 时，证明：2|a + b|<|4+ ab|.题型三不等式的综合应用(2012辽宁)例3已知 f(x)=|ax+1|(aC R),不等式 f(x)w3 的解集为x| 2WxWl.(1)求a的值； x(2)若fx2f 2 wk恒成立，求k的取值氾围.审题破题 (1)|ax+1|W3的解集为2,1,对照即可；(2)可通过函数最值解决恒成立问题.解由 |ax+ 1|< 3 得4WaxW2.又 f(x)< 3 的解集为x| 一2wxw 1,所以当aw。时，不合题意.当 a>0 时，一 xw2得 a= 2. a ax(2)记 h(x)=f(x)-2f 2

8、,1, x<-1,mrf 4x 3, 1<x<一二)则 h(x)='21, x> -,'2'所以 |h(x)|W1,因此 k>1.反思归纳 不等式f(a)>g(x)恒成立时，要看是对哪一个变量恒成立，如果对于？ aC R恒成立，则f(a)的最小值大于等于g(x),再解关于x的不等式求x的取值范围；如果对于？ xCR不等式恒成立，则g(x)的最大值 小于等于f(a),再解关于a的不等式求a的取值范围.变式训练 3 已知函数 f(x)= log2(|x 1|+|x 5|-a).(1)当a = 2时，求函数f(x)的最小值；(2)当函数f(

9、x)的定义域为R时，求实数a的取值范围.变式训练 4 设 f(x) = |x| + 2|x a|(a>0).当a=1时，解不等式f(x)W8；(2)若f(x) > 6恒成立，求正实数 a的取值范围.三、专题限时规范训练一、填空题1.2.不等式|x+ 3|-|x- 2除3的解集为设 x>0, y>0,x+ y2+x+yN=2X+2y，则M、N的大小关系为3 .对于实数x, y,若|x1|W1, |y2|W1,则|x2y+1的最大值为 4 .若关于x的不等式|a|> |x+ 1|十|x 2|存在实数解，则实数 a的取值范围是 、解答题5 .设不等式|2x- 1|<

10、;1的解集为 M.(1)求集合M；(2)若a, bCM,试比较ab+1与a+b的大小.6 .若不等式x+ 1 >|a-2|+l对于一切非零实数 x均成立，求实数 a的取值范围. x7 . (2012 江苏)已知实数 x, y满足：x+y|<1, |2x y|<1,求证：|y|<5. 36188 .已知函数f(x) = xa|.(1)若不等式f(x)< 3的解集为x| 1 w xw 5,求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x) + f(x+ 5)>m对一切实数x恒成立，求实数 m的取值范围.9 .已知函数 f(x) = |2x+1|+|2x-3|.(1

11、)求不等式f(x)W6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)<|a1|的解集非空，求实数 a的取值范围.10 .设 a, b, c 为正实数，求证：-11+ E+4+abO23. a b c一、填空题1 . ( 2013年高考湖北卷(理)设x, y,z R ,且满足：x2 y2 z2 1 , x 2y 3z JT4 ,则x y z 、解答题2 . (2013年普通高等学校招生统一考试新课标n卷数学(理) (纯WOR版含答案)选修4-5;不等式选讲设a,b,c均为正数，且a b c 1,证明：1 222/ 丁、1a b c /(1) ab bc ca ; ( 口)1.3b c a3 . (

12、2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WOR版)选修4-5:不等式选讲已知函数f x |x a|,其中a 1.(I)当a=2时，求不等式f x 4 |x 4的解集；(II)已知关于x的不等式 f 2x a 2f x 2的解集为 x|1 x 2，求a的值.4 . (2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题)不等式选讲：设不等式|x 2 a(a N*)的解集为 A ,且3 A, 1 A. 22（1）求a的值；（2）求函数f （x） x a x 2的最小值.56. （2013年高考湖南卷（理）在平面直角坐标系 xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点 N的任一路径成为 M

13、到N的一条“L路径”.如图6所示的路径 MM1M 2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A（3,20）, B（ 10,0）, C（14,0）处.现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）;（II）若以原点。为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，U 路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.四，Wj考试题汇编1. （2013重庆）若关于实数x的不等式|x- 5|+ |x+ 3|<a无解，则实数a的取值范围是

14、.2. （2013江西）在实数范围内，不等式|x-2|-1| w的解集为 .3. （2013陕西）已知a, b, m, n均为正数，且 a+b=1, mn = 2,则（am + bn）（bm + an）的最小值为 4. （2013 江苏）.已知 a b>0,求证：2a3 b3 2ab2 a2b4. （2012山东）若不等式|kx-4| w的解集为x|1买W3则实数k=.5. （2012、江苏）已知实数x, y满足:1|x y| 1 ,|2xy1 6,求证:|y|_518O 116. (2011湖南)设x, yC R,且xyWQ则x2+, -x2+4y2的最小值为 1.(2011山东)不等

15、式1x 5| |x 3| 10的解集为(A) -5.7(B) -4,6（C） （, 5，）2.（2011年高考天津卷理科 13）A x R| x 3 x 4已知集合9 ,B(D) (, 46,)x R| x 4t1-,t (0,),则集合A B =3. 对于实数x, y,若卜1 1Jy 2 1,则卜2y 1的最大值为 .4. （2011年高考广东卷理科9）不等式X 1 x 3 0的解集是.5. （2011年高考陕西卷理科15）（不等式选做题）若关于 x的不等式a x 1 x 2存在实数解，则实数 取值范围是6. （2011年高考辽宁卷理科 24）（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函

16、数 f （x） =|x-2|-|x-5|.（I）证明：-3<f （x） < 3;（II）求不等式f （x） > x2-8x+15的解集.7. （2011年高考全国新课标卷理科24）（本小题满分10分） 选彳4-5不等选讲设函数 f（x） lx a 3x,a 0（1）当a 1时，求不等式f（x）3x 2的解集；（2）如果不等式f（x） 0的解集为xx 1 ,求a的值。8. （2011年高考江苏卷21）选彳4-5:不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：x |2x 1| 39. （2011年高考福建卷理科 21）（本小题满分7分）选修4-5:不等式选讲设不等式"-1&l

17、t;1的解集为M.（I）求集合M ;（II）若a, bCM,试比较ab+1与a+b的大小.10. （2010年高考陕西卷理科 15）（不等式选做题）不等式卜+ 3一卜-的解集为11. （2010年高考福建卷理科 21）（本小题满分7分）选修4-5:不等式选讲已知函数 ）二|（I）若不等式工）士的解集为1+1包司 ,求实数高的值；（n）在（I）的条件下，若 彳C0+/S + 5）之加对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。12. （2010年高考辽宁卷理科 24）（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲ai+b2 +（7i+（-+- + -）3已知匚均为正数，证明：a b c，并确定说为国为何

18、值时，等号成立。2,1 ,x x | a | | a | 013. （2008广东，14）（不等式选讲选做题）已知 a R ,若关于x的方程4有实根,a的取值范围是。14. （2007广东，14）（不等式选讲选做题）设函数f（x）|2x 1| x 3,则"2）=;若f（x） 则x的取值范围是。4|.的取值范围为_4.设函数f (x) =|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1对称，则a的值为16. (2007海南、宁夏，22C, 10分)(选修4芍：不等式选讲r)设函数f(x) |2x 1 1 |x(1)解不等式f(x) 2；(2)求函数y f(x)的最小值。17. (2008 山东高考题)若不等式|3x b| 4的解集中的整数有且仅有1、2、3,则