2020-2021中考数学—圆与相似的综合压轴题专题复习

1、2020-2021中考数学一圆与相似的综合压轴题专题复习一、相似1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax2+bx+c (a>0)与x轴相交于点 A (1, 0)和点B,与y轴交于点C,对称轴为直线 x=1.(1)求点C的坐标(用含a的代数式表示)；(2)联结AC BC,若4ABC的面积为6,求此抛物线的表达式；(3)在第(2)小题的条件下，点 Q为x轴正半轴上一点，点 G与点C,点F与点A关于 点Q成中心对称，当4CGF为直角三角形时，求点Q的坐标.【答案】(1)解：二抛物线y=ax2+bx+c (a>0)的对称轴为直线x=1,而抛物线与x轴的一个交点 A的坐标为(-1

2、,0)，抛物线与x轴的另一个交点 B的坐标为(3, 0)设抛物线解析式为 y=a (x+1) (x-3),即 y=ax2- 2ax 3a,当 x=0 时，y= - 3a,.C (0, - 3a)(2)解：/A ( 1, 0) , B (3, 0) , C (0, - 3a),1 .AB=4, OC=3a, /. Saacb=- AB?OC=6,2 -6a=6,解得 a=1,.抛物线解析式为y=x2-2x-3(3)解：设点Q的坐标为(m, 0).过点G作GHI±x轴，垂足为点H,如图,以G点G与点C,点F与点A关于点Q成中心对称, .QC=QG, QA=QF=m+1, QO=QH=m,

3、 OC=GH=3, .OF=2m+1, HF=1,当/ CGF=90 时,/ QGH+/ FGH=90 ,° / QGH+/ GQH=90 ；/ GQH=Z HGF,3 RtA QGH RtAGFH,Gh Oft pmFh =必，即/ j,解得 m=9 ,4 .Q的坐标为（9,0）;当/ CFG=90 时,5 / GFH+Z CFO=90 ； / GFH+Z FGH=90 ,°/ CFO=Z FGH,6 RtA GFH RtA FCO,Gh Fh 1 3/” = CC ,即+'，= .，解得 m=4,7 .Q的坐标为（4,0）;/GCF=90不存在，综上所述，点Q的

4、坐标为（4, 0）或（9, 0）.【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0,把x=0代入解析式即可求得点 C的坐标；（2）由（1）的结论可求得 AB=4, OC=3a,根据三角形 ABC的面积=AB?OC=6可求得a的 值，则解析式可求解；（3）设点Q的坐标为（m, 0）.过点G作GH± x轴，垂足为点H,根据中心对称的性质 可得 QC=QG, QA=QF=m+1, QO=QH=m , OC=GH=& 分两种情况讨论：当 / CGF=90时，由同角的余角

5、相等可得/GQH=/ HGF,于是根据有两个角相等的两个三角形相似可得GH QhRtA QGHsRtGFH,则可得比例式印 韵，代入可求得 m的值，则点 Q的坐标可求 解；当/CFG=90°时，同理可彳#另一个 Q坐标。2.（1）问题发现:图1卸邺 E如图1,在等边三角形 ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角 形AMN,连接CN, NC与AB的位置关系为 ;(2)深入探究：如图2,在等腰三角形 ABC中，BA=BQ点M为BC边上异于 B、C的一点，以 AM为边作 等腰三角形 AMN ,使/ABC=/ AMN, AM=MN ,连接 CN,试探究/ ABC与/

6、ACN的数量关 系，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3,在正方形 ADBC中，AD=AC,点M为BC边上异于 B、C的一点，以 AM为边作正 方形AMEF,点N为正方形 AMEF的中点，连接 CN,若BC=10, CN=、三，试求EF的长.【答案】(1) NC/ AB(2)解：/ABC=/ ACN,理由如下：AB 4用BC 如=1 且/ ABC=Z AMN , .ABC-AAMN AB .AB=BC,/ BAC=1 (180 - / ABC), .AM=MN1/ MAN= 0 (180 - / AMN), / ABC=Z AMN ,/ BAC=Z MAN ,/ BAM=Z CAN, .ABM

7、MCN,/ ABC=Z ACN(3)解：如图3,连接AB, AN, 四边形ADBC, AMEF为正方形，/ ABC=Z BAC=45 ； / MAN=45 °, / BAC- / MAC=Z MAN - / MAC 即 / BAM=Z CAN, BC林"彳AB AC，CM=BC- BM=8,在 RtAAMC,AM=',EF=AM=2 .【解析】【解答】解：（1） NC/ AB,理由如下:,ABC与 MN是等边三角形，.AB=AC, AM=AN , / BAC=/ MAN=60 °,/ BAM=Z CAN,在ABM与ACN中，AB - AC = ZCANAM

8、 = AN2 .ABMAACN (SAS ,/ B=/ACN=60 ；3 / ANC+/ ACN+/ CAN=Z ANC+60+Z CAN=180 ,°4 / ANC+Z MAN+ / BAM=/ANC+60 +/ CAN=Z BAN+Z ANC=180 ；5 .CN/ AB;【分析】(1)由题意用边角边易得ABMACN,则可得/ B=/ACN=60 ,所以/ BCN+Z B=Z BCA+Z ACN+Z B=180 ,°根据平行线的判定即可求解；AB AC(2)由题意易得4ABCAAMN ,可得比例式.博由三角形内角和定理易得/BAM=/CAN,根据相似三角形的判定可得4A

9、BMACN,由相似三角形的性质即可求解；(3)要求EF的值，只须求得 CM的值，然后解直角三角形 AMC即可求解。连接 AB,AN ,由正方形的性质和相似三角形的判定易得4ABMAACN ,可得比例式行 AC , 皿- - - - cos45 -f强 加可求得BM的值，而CM=BC- BM,解直角三角形 AMC即可求得AM的值，即为EF的值。3.在正方形ABCL中，油 3 ,点/在边CD上，-，点C是在射线 班上的 一个动点，过点作AB的平行线交射线 AL于点由，点力在射线/£上，使隔始终与直线 眠垂直.(1)如图1,当点力与点工重合时，求同的长；R M D9C(2)如图2,试探索：

10、 W的比值是否随点I5的运动而发生变化？若有变化，请说明你的 理由；若没有变化，请求出它的比值；a兴0 MBC(3)如图3,若点I*在线段身上，设& A ,丘林y ,求/关于A的函数关系式，并写 出它的定义域.【答案】（1）解：由题意，得AB = BC - CD = 鼠 = 比"在 Rt比中，PCX.xiZPBC - -J 灰J taZPBC -J久 6. |胪 J.潜湃二元”", . . '|/硒：=.1回PB K. .正一质106.-.二TA6PQ =-.5£*(2)解：答：位的比值随点|«的运动没有变化理由：如图，强II依5|/：;

11、三仙;* ,五西I!=；吠|-3-.ZABC = NABP / ZPBC = 9。°. |一删=上加C.眯汽RM 3 .-.晚?.耀的比值随点心的运动没有变化，比值为(3)解：延长 跳交小的延长线于点阚=仞L必=* /而2 ND3 - ND * bb,.316: PQ * PN - K .二又 ，JG-v x -, ., 339 J v -7 + - 20 二26。f w T它的定义域是【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得出 A B = B C = C D = A D = 8 , Z C = Z A =90 ；在Rt B C P中，根据正切函数的定义得出 tan / P B C

12、= P C : B C,又tan / P B C 耳=，从而得出PC的长，进而得出 RP的长，根据勾股定理得出 PB的长，然后判断出 P BC P R Q根据相似三角形对应边成比例得出PB： RP=PC： PQ,从而得出PQ的长；(2) RM : MQ的比值随点 Q的运动没有变化，根据二直线平行同位角相等得出/ 1 = / A B P , / Q M R = / A,根据等量代换得出 / Q M R = / C = 90 ,根据根据等角的余角相等得 出/R Q M = / P B C,从而判断出 R M Q p c b,根据相似三角形对应边成比例， 得出PM : MQ=PC： BC从而得出答案

13、；(3)延长B P 交 A D 的延长线于点N,根据平行线分线段成比例定理得出PD ： AB=ND ： NA,又N A = N D + A D = 8 + N D ,从而得出关于 ND的方程，求解即可得出ND,根据勾股定理得出 PN,根据平行线的判定定理得出PD/ MQ,再根据平行线分线段成4比例定理得出 PD： MQ=NP ： NQ,又 RM : MQ=3 : 4,RM=y,从而得出 MQ= y又 P D = 2 , N 6Q = P Q + P N = x +；,根据比例式，即可得出 y与x之间的函数关系式。4.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 y=ax2+ (a+3) x+3 (

14、a<0)从左到右依次交x轴于A、B两点，交y轴于点C.DJ图1图2(1)求点A、C的坐标；(2)如图1,点D在第一象限抛物线上，AD交y轴于点E,当DE=3AE OB=4CE时，求a的值；(3)如图2,在(2)的条件下，点P在C、D之间的抛物线上，连接PCPD,点Q在点B、D之间的抛物线上，QF/ PC,交x轴于点F,连接CF、CB,当PC=PD, / CFQ=2Z ABC,求 BQ 的长.【答案】(1)解：当x=0时，y=3, . .C (0, 3).当 y=0 时，ax2+ (a+3) x+3=0,(ax+3) (x+1) =0,解得 xi=-x2=-1.,.a<0,-日 &g

15、t;0,A (-1, 0)(2)解：如图1,过点D作DM LAB于M .1. OE/ DM,ay de 3. 雨一五一1 .OM=3, .D点纵坐标为12a+12.OE DM亘+阳tan / EAO=困dM /=3a+3,.OE=3a+3, .CE=OC-OE=3-(3a+3) =-3a. .OB=4CE. - - =-12a,.a<0,a=-(3)解：如图2,过点D作DT,y轴于点T,过点P作PG±y轴于点G,连接TP.DT=3, OT=6, CT=3=DT,y=-a=".抛物线的解析式为又. PC=PR PT=PT /.TCFATDR/ CTP=/ DTP=45

16、, TG=PG15设 P (t, - 2 t2+ 上 t+3),15 .OG=- - t2+ t+3, PG=t,1忸 .TG=OT-OG=6-(- t2+ 上 t+3)- t2- - t+3=t,解得 t=1 或 6,点P在C、D之间, .t=1 .Q作QN±x轴于点过点F作FK/ y轴交BC于点K,过点 / KFB=Z CON=90 :1. FQ/ PC, / PCF+Z CFQ=180 ,° / PCF+Z PCG+Z OCF=180 ,/ CFQ=Z PCG+Z OCF, / CFK吆 KFQ玄 PCG吆 OCF,/ KFQ=Z PCG . P (1, 5) , P

17、G=1, CG=OG-OC=5-3=2 la? 1tanZ PCG=0C 31 . tanZ ABC=OB 办二；， / PCG4 ABC,/ KFQ=Z ABC. / CFQ=2Z ABC,/ CFQ=2Z KFQ,/ KFQ=Z KFC4 OCF之 ABC,0F OFrABC tanZ OCF=.OF=E .日设 FN=m,贝U QN=2m, Q （m+ J , 2m）, . Q在抛物线上，1353.-工（m+ E） 2+ - x（ m+ 上）+3=2m ,解得m=或m=-二,（舍去）， Q （4, 5）, - B （6, 0）,.BQ= I J、-炉 + ,歹 .【解析】【分析】（1）令

18、x=0,求出y的值，得到C点坐标；令y=0,求出x的值，根据 a<0得出A点坐标；（2）如图1,过点D作DM LAB于M.根据平行线分线段成比例定 理求出 OM=3,得至ij D点纵坐标为 12a+12.再求出 OE=3a+3,那么 CE=OC-OE=-3a根据OB=4CE得出-白=-12a,解方程求出 a=E ; （3）如图2,过点D作DT,y轴于点T,过点P作PG± y轴于点 G,连接TP.利用SSSffi明4TC咤TDP,得出/ CTP土 DTP=45°,那么 g g -TG=PG设P （t, -2t2+二t+3）,列出方程二“2-2t+3=t,解方程求得t=1

19、或6,根据点P在C、D之间，得到t=1 .过点F作FK/ y轴交BC于点K,过点Q作QNx轴于点N,根据 平行线的性质以及已知条件得出/ KFQ=Z PCG,进而证明/ KFQ=Z KFC=Z OCF=Z ABC,由tan Z OCF= ' =tan/ABC= -，求出 OF=.设 FN=m,则 QN=2m, Q （m+二，2m）,根据 J I gQ在抛物线上列出方程-二（m+ 2） 2+二x（m+二）+3=2m ,解方程求出满足条件的m的值，彳#到Q点坐标，然后根据两点间的距离公式求出BQ.5. RtABC中，ZACB= 90°, AC= 3, BC= 7,点P是边AC上不

20、与点 A、C重合的一点, 作PD/ BC交AB边于点D.p1(1)如图1, WAAPD沿直线AB翻折，得到 AP'D,作AE/ PD求证：AE= ED;(2)将4APD绕点A顺时针旋转，得到 AP'D',点P、D的对应点分别为点 P'、D', 如图2,当点 D'在4ABC内部时，连接 P'侨口 D'B,求证：AP'84AD'B;如果AP: PC= 5: 1 ,连接DD',且DD'="£aD,那么请直接写出点 D'到直线BC的距 离.【答案】(1)证明：WAAPD沿直线AB

21、翻折，得到AP'D, / ADP'= / ADP,AE/ PD,/ EAD= / ADP,/ EAD= / ADP',.AE= DE(2)解：-. DP/ BC, .APDAACB,旋转,.AP = AP', AD=AD', /PAD=/P'AD', APf ADf/ P'AC= / D'AB,力1 加,.AP'CAAD'B若点D'在直线BC下方，如图，过点 A作AF± DD',过点 D'作D'MAC,交AC的延长 线于M,. AP: PC= 5: 1,.AP: A

22、C= 5: 6,，PD= 6 ,旋转,.AD= AD',且 AFL DD',J.DF= D'F= D'D, / ADF= / AD'F,. cos/ADF=9= 协=,/ ADF= 45 ；/ AD'F=45 °,/ D'AD= 90 °/ D'AM+ / PAD= 90 ；-. D'M ± AM,. D'AM+/ AD'M = 90 ；Z PAD= / AD'M，且 AD' = AD, / AMD' = / APD,.AD'MADAP (AAS

23、,-.PD=AM=仃,曾. CM = AM - AC= 63,17 .CM= G , 0点D'到直线BC的距离为行若点D'在直线BC的上方，如图，过点 D作D'M，AC,交CA的延长线于点M,刈.AM = PD=方,.CM = AC+AM,网光CM =3+ 6 = 6 ,巴点D'到直线BC的距离为6J；恍综上所述：点D'到直线BC的距离为石或苇1【解析】 【分析】(1)由折叠的性质和平行线的性质可得/EAD=/ADP=/ADP',即可AP AD得AE= DE; (2) 由题意可证APgACB,可得AC AB ,由旋转的性质可得AP=AP'

24、, AD=AD', /PAD=/P'AD',即 / P'AC= / D'AB,则AP'84AD'B;分点 D'在APr ADf直线BC的下方和点D'在直线BC的上方下一下两种情况讨论，根据平行线分线段成比笆,7 j例，可求PD= 6 ,通过证明AMD'DPA,可得AM = PD= 6 ,即可求点 D'到直线BC 的距离.6.如图,(0, 4)抛物线 y=ax2 - 5ax+c与坐标轴分别交于点 A, C, E三点，其中 A (- 3, 0) , CB作BD±x轴交抛物线于点 D,点M, N分别是，

25、点B在x轴上，AC=BQ过点连接(1)求抛物线的解析式及点 D的坐标；(2)当4CMN是直角三角形时，求点(3)试求出AM+AN的最小值.【答案】(1 )解：把A ( 3MN, AM, AN.的坐标;0 ) , C ( 0 , 4 )代入 y=ax2 5ax+c 得，抛物线解析式为y=- 6 x2+占x+4;. AC=BC, CO>±AB, .OB=OA=3,B (3, 0),.BDx轴交抛物线于点D,.D点的横坐标为3,当 x=3 时，y=- d X9+ X 3+4=,5 ，D点坐标为（3, 5）。(2)解：在RtOBC中，BC=需+右畲= 4 中/ =5,设 M （0, m

26、）,贝U BN=CM=4- m, CN=5 （4m） =m+1, / MCN=Z OCB,CM G.当 CO G时，CMNSCOB,贝U / CMN=/COB=90 ；4 - m ni 1lb16即 /5 ,解得m=万，此时M点坐标为（0,3）;cm a当加 辽时，CMNsCBO,则 / CNM=/COB=90,4 - m ni 11111即万一 / ,解得m= " ,此时M点坐标为（0, 9 ）;上 P综上所述，M点的坐标为（0, P ）或（0, ?）。(3)解：连接DN, AD,如图, . AC=BC, COX AB, OC 平分 / ACB,Z ACO=Z BCO, BD /

27、OC,/ BCO=Z DBC, DB=BC=AC=5 CM=BN, .ACMADBN,.AM=DN ,.AM+AN=DN+AN,而DN+ANAD （当且仅当点 A、N、D共线时取等号），DN+AN的最小值=AD= 分.病=, .AM+AN的最小值为，.a,c【解析】 【分析】(1)将A ( - 3, 0) , C (0, 4)代入函数解析式构造方程组解出 的值可得抛物线解析式；由 AC=BQ CO,AB,根据等腰三角形的 三线合一 ”定理，可得 OB=OA=3,而BDx轴交抛物线于点 D,则D点的横坐标为3,当x=3时求得y的值，即 可得点D的坐标。(2)当4CMN是直角三角形时，有两种情况：

28、/CMN=90 ,或/ CNM=90 ,则可得 CMNscoB,或CMNscbq 由对应边成比例，设 M (0, m),构造方程解答即 可。(3)求AM+AN的最小值，一般有两种方法：解析法和几何法；解析法：用含字母的函数 关系式表示出 AM+AN的值，根据字母的取值范围和函数的最值来求；几何法：将点 A, M, N三点移到一条直线上；此题适用于几何法：观察图象不难发现，AC=BD=5,CM=BN,且/BCO=/ DBC,连接 AD,可证得ACM0DBN,贝 U AM=DN,而 DN+AN> AD(当且仅当点 A、N、D共线时取等号)，求 AD的长即可。7.如图：在 O 4中，BC=2,

29、AB=AC点D为AC上的动点，且*(1)求AB的长度；(2)求ADAE的值；(3)过 A 点作 AHXBD,求证：BH=CD+DH.【答案】(1)解：作AM ± BC,. AB=AC,BC=2 AM ± BC, 1 .BM=CM= BC=1,在 RtAAMB 中，cosB= ； ' ,BM=1, y/7d，AB=BM+ cosB=1 卜与=V应.(2)解：连接CD,.AB=AC,/ ACB=Z ABC, 四边形ABCD内接于圆O, / ADC+/ ABC=180, °又 / ACE+7 ACB=180,/ ADC=Z ACE, Z CAE之 CAD, .E

30、ACACAD,AC 凶:'海然， .AD AE=Ad=AE2= ( 4 2 2=10.(3)证明：在BD上取一点N,使得BN=CD,在 ABN和AACD中 AB = AC. m CD .ABNAACD (SAS , .AN=AD, . AHXBD, AN=AD, .NH=DH,又 BN=CD,NH=DH,.BH=BN+NH=CD+DH.【解析】【分析】(1)作AM ± BC,由等腰三角形三线合一的性质得BM=CM=_ BC=1在BM 4RtA AMB中，根据余弦定义得 cosB=此*，由此求出AB.(2)连接CD,根据等腰三角形性质等边对等角得 /ACB=/ABC,再由圆内接

31、四边形性质 和等角的补角相等得 /ADC=/ ACE由相似三角形的判定得 EACCAD,根据相似三角 形的性质得AC AE切 水；从而得AD AE=A(2=AB2(3)在BD上取一点N,使得BN=CD根据SAS得 ABN AACD,再由全等三角形的性质得AN=AD,根据等腰三角形三线合一的性质得NH=DH,从而得BH=BN+NH=CD+DH.8.【问题】如图1,在RtABC中，/ACB=90, AC=BC过点 C作直线l平行于 AB.Z EDF=90 ,点 D 在直线l上移动，角的一边 DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的(1)【探究发现】如图 2,某数学兴趣小组运用从

32、特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB,请写出证明过程；(2)【数学思考】如图 3,若点P是AC上的任意一点(不含端点 A、C),受(1)的启 发，这个小组过点 D作DGLCD交BC于点G,就可以证明 DP=DB,请完成证明过程；(3)【拓展引申】如图 4,在(1)的条件下，M是AB边上任意一点(不含端点A、B) , N是射线BD上一点，且 AM=BN,连接MN与BC交于点Q,这个数学兴趣小组经过 多次取M点反复进行实验，发现点 M在某一位置时 BQ的值最大.若AC=BC=4请你直接 写出BQ的最大值.【答案】(1)解：Z ACB=90 , A

33、C=BC/ CAB=Z CBA=45 °1. CD/ AB/ CBA=Z DCB=45 ,° 且 BD)± CD / DCB=Z DBC=45 °DB=DC即 DB=DP(2)解：- DG±CD, /DCB=45/ DCG=Z DGC=45 ° . DC=DG, / DCP=Z DGB=135 ；b / BDP=/ CDG=90 ° /CDP之 BDG,且 DC=DG / DCP=/DGB=135 , .,.CDFAGDB (ASA) .DB=DPHQ,(3)解：如图4,过点M作MH，MN交AC于点H,连接CM,-. MH

34、±MN , / AMH+Z NMB=901. CD/ AB, Z CDB=90/ DBM=90 ° / NMB+Z MNB=90 °/ HMA=Z MNB,且 AM=BN, Z CAB=Z CBN=45 .AMHABNQ (ASQ .AH=BQ / ACB=90 ； AC=BC=4.AB=4三，AC-AH=BC-BQ.CH=CQ/ CHQ=Z CQH=45 =/ CABHQ / AB/ HQM= / QMB / ACB=Z HMQ=90 °.点H,点M,点Q,点C四点共圆,/ HCM=Z HQMZ HCM=Z QMB,且/A=/CBA=45 .ACMAB

35、MQAC Ak而一反-入/2HBQ= <|+2，AM=2小时，BQ有最大值为2.【解析】【分析】(1) DB=DP, 理由如下：根据等腰直角三角形的性质得出 /CAB=/ CBA=45 °,根据二直线平行，内错角相等得出Z CBA=Z DCB=45 °,根据三角形的内角和得出/ DCB=Z DBC=45 ,最后根据等角对等边得出DB=DC ,即DB=DP;(2)利用ASA判断出CD24GDB,再根据全等三角形的对应边相等得出DB=DR(3) 如图4,过点 M 作 MHXMN交 AC于点 H,连接 CM, HQ, 利用 ASA判断出 AMHABNQ根据全等三角形的对应边

36、相等得出 AH=BQ,进而判断出 点H,点M,点 Q,点C四点共圆， 根据圆周角定理得出 /HCM=/HQM ,然后判断出 ACMsbmq ,根据相似三角形的对应边成比例得出隗 2G,根据比例式及偶数次塞的非负性即可得出求出答案.二、圆的综合9.如图，AB是半圆的直径，过圆心 。作AB的垂线，与弦 AC的延长线交于点 D,点E在 OD 上 DCE B .(1)求证：CE是半圆的切线；2(2)若CD=10, tanB求半圆的半径.3分析：(1)连接CO,由 DCE B且OC=OB彳导DCE OCB ,利用同角的余角相等判断出/BCO+Z BCE=90,即可得出结论；(2)设AC=2x,由根据题目

37、条件用 x分别表示出OA、AD、AB,通过证明AODACB, 列出等式即可.详解：(1)证明：如图，连接 CO. AB是半圆的直径,/ ACB=90 :/ DCB=180 -°Z ACB=90 : / DCE+Z BCE=90.,.OC=OB,/ OCB=Z B.DCE= B,/ OCB=Z DCE/ OCE=Z DCB=90 : OCX CE OC是半径， .CE是半圆的切线.(2)解：设 AC=2x,.在 RtACB中，tanBAC 2BC 3BC=3x.AB23xT3x.ODXAB,/ AOD=ZACB=90./ A=Z A,.AODMCBAC AOAB AD-1 OA AB2

38、AD=2x+10,2x13x解得x=8.2自2x 108 4 .13 .则半圆的半径为4.13.点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形10.如图，已知 ABC内接于。O, AB是。的直径，点F在。上，且点cj79的中 点，过点C作。的切线交AB的延长线于点 D,交AF的延长线于点 E.(1)求证：AE± DE;(2)若/BAF=60, AF=4,求 CE的长.【答案】(1)证明见解析；(2)八月【解析】试题分析:(1)首先连接OC,由OC=OA,易证得 OC AE,又由DE切。O于点C,易证得AE± DE;(2)由AB是。的直径，可得4ABC是直角三角形，

39、易得 4AEC为直角三角形，根据IIAE=3求得AC的长，然后连接 OF,可得OAF为等边三角形，知 AF=OA=AB,在4ACB 中，利用已知条件求得答案.试题解析：(1)证明：连接.OC=OA,OCZ BAC=Z OCA,展第Z BAC=Z EAGZ EAC=Z OCA, .OC/ AE,.DE切。于点C, OCX DE, AEXDE；(2)解：.AB是。的直径, .ABC是直角三角形， / CBA=60 ;/ BAC=Z EAC=30AEC为直角三角形，AE=3,.AC=W连接OF,. OF=OA, /OAF=/ BAC+/ EAC=60 , .OAF为等边三角形,AF=OA= AB,在

40、 RtA ACB 中,ac=2P,tan / CBA=/,BC=2, .AB=4, .AF=2.考点：切线的性质.11.如图，ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，/PAC=Z B, AD为。的直径, 过C作CGL AD于E,交AB于F,交。O于G.(1)判断直线PA与。的位置关系，并说明理由；(2)求证：AG2=AFAB；(3)若。的直径为10, AC=2j5, AB=4，5,求4AFG的面积.【答案】(1) PA与。相切，理由见解析；(2)证明见解析；(3) 3.【解析】试题分析：(1)连接CD,由AD为。的直径，可得/ACD=90,由圆周角定理，证得/B=/D,由已知/PAC=Z B

41、,可证得 DA, PA,继而可证得 PA与。相切.(2)连接BG,易证得AF8 4AGB,由相似三角形的对应边成比例，证得结论(3)连接BD,由AG2=AF?AB,可求得AF的长，易证得 4AE匕4ABD,即可求得 AE的长，继而可求得 EF与EG的长，则可求得答案.试题解析：解：(1) PA与。相切.理由如下：如答图1 ,连接CD,. AD 为。的直径，/ACD=90C/ D+/CAD=90 .°./B=/D, /PAC玄 B,，/PAC=/ D. / PAC吆 CAD=90 ；即 DA± PA.点A在圆上，.PA与。O相切.答图1(2)证明：如答图2,连接BG,. AD

42、 为。的直径，CG± AD, . . AC AD . - ZAGF=Z ABG. /GAF=/ BAG,AAGFAABG.AG: AB=AF: AG. . AG2=AF?AB.(3)如答图3,连接BD, AD 是直径，/ ABD=90. AG2=AF?AB, AG=AC=2, AB=475 , AF=75 .-. CG± AD,/ AEF=/ ABD=90 :AE. /EAF=/ BAD, .-.AAEFAABD. ABEF AF2 AE2 1 .eg Jag2 ae2 4，FG EGAF一，即ADAE4.55,解得:10AE=2.EF 4 1 3.S AFG11FG AE

43、 - 3 2 3. 22考点：1.圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3.相切的判定；4.垂径定理；5.相似三 角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积12.如图，在直角坐标系中，已知点A(-8, 0), B(0, 6),点M在线段AB上。(1)如图1,如果点M是线段AB的中点，且OM的半径等于4,试判断直线 OB与。M 的位置关系，并说明理由；(2)如图2, OM与x轴，y轴都相切，切点分别为 E, F,试求出点M的坐标；(3)如图3, OM与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为 E, F, G,试求出点M的 坐标(直接写出答案)【答案】(1) OB与OM相切；(2) M (一

44、空，丝)；(3) M ( 2, 2)77【解析】分析：(1)设线段OB的中点为D,连结MD,根据三角形的中位线求出MD,根据直线和圆的位置关系得出即可；(2)求出过点A、B的一次函数关系式是 y= x+6,设M (a, - a),把x=a, y=-a代4入y=3x+6得出关于a的方程，求出即可.4(3)连接 ME、MF、MG、MA、MB、MO,设 ME=MF=MG=r,根据S；Aabc=1AO?ME+1BO?MF + 1AB?MG=1AO?BO求得 r=2,据此可得答案. 2222详解：(1)直线OB与。M相切.理由如下：设线段OB的中点为D,如图1,连结MD,点M是线段AB的中点，所以 MD

45、 / AO, MD=4,./AOB=/ MDB=90 ； . .MDOB,点 D 在。M 上.又.点D在直线OB上，直线OB与。M相切；(2)如图2,连接ME, MF,8kb 0.A (-8, 0) , B (0, 6) , 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,，解b 6得：k=3, b=6,即直线AB的函数关系式是y=-x+6.44OM与x轴、y轴都相切，点M到x轴、y轴的距离都相等，即 ME=MF,设M(a, a) ( 8v av 0),把 x=a, y=a 代入 y=x+6,得：a=a+6,得：a=4424,点M的坐标为(-24 24、, ) 77(3)如图3,连接ME、MF、MG、

46、MA、MB、MO,7,OM 与 x 轴，y 轴，线段 AB 都相切，MEXAO. MF±BO> MGXAB,设ME=MF=MG=r,贝U Saabc= 1 AO?ME+1 BO?MF+1 AB?MG= 1 AO?BO.2222. A (-8, 0) , B (0, 6) ,，AO=8、BO=6, AB= VaO2BO2 =10,，1？8+1？6+厂?10=1*64 8解彳导:r=2,即 ME=MF=2,，点 M 的坐标为(2,2222点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的 解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意

47、：直线和圆有 三种位置关系：已知 。的半径为r,圆心O到直线l的距离是d,当d=r时，直线l和。O 相切.13.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧Ab .1用直尺和圆规作出 Ab所在圆的圆心。；(要求保留作图痕迹，不写作法 ) 2若AB的中点C到弦AB的距离为20m, AB 80m ,求AB所在圆的半径.分析：1连结AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O,如图1;2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,根据垂径定理的推论，由 C为AB的中点得 _1. _到 OC AB , AD BD-AB40,则 CD 20,设 e O 的半径为r,在 RtVOAD2中利用

48、勾股定理得到r2 (r 20)2 402,然后解方程即可.详解：1如图1,点O为所求；2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,qc为Ab的中点,OC AB ,1 AD BD AB 40, 2设e O的半径为r,则OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2,r2 (r 20)2 402,解得 r 50,即AB所在圆的半径是50m.点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善" 把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.14.如图，四边形 ABCD内接于。O, /BAD=90：

49、AD、BC的延长线交于点 F,点E在CF 上，且/ DEC=Z BAC.(1)求证：DE是。的切线；【解析】【分析】(1)先判断出BD是圆O的直径，再判断出 BD± DE,即可得出结论;(2)根据余角的性质和等腰三角形的性质得到/F=/ EDF,根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3,根据勾股定理得到 CD JDE2 CE2 J5,证明CD上DBE,根据相似三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)如图，连接BD. ./BAD=90；，点 O 必在 BD 上，即：BD 是直径，. / BCD=90 ；/ DEG/CDE=90 ： / DEC=Z BAC, / BAG / CDE=90

50、: / BAO/ BDC,/ BDG / CDE=90 ； . . / BDE=90 ；即：BD± DE.点D在OO上，DE是OO的切线；本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，求出DE=EF是解答本题的关键.(2) Z BAF=Z BDE=90°, . . / F+/ABO/FD曰/ ADB=90° .,.AB=AC,，/ABC=/ACB / ADB=Z ACB,/ F=Z FD匕. DE=EF=3. . CE=2, /BCD=90； . . / DCE=90 ； . . CD Jde2 ce2 展 / BDE=90 : CD± BE,

51、 . / DCE=Z BDE=90 : Z DEC=Z BED,ACDEi ADBE . CD 里， . BD 近 3CE DE2径3_I4勾股定理,15.设C为线段AB的中点，四边形 BCDE是以BC为一边的正方形，以 B为圆心，BD长为 半径的OB与AB相交于F点，延长EB交。B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD.求证：(1) AD是。B的切线；(2) AD=AQ;(3) BC?=CFX EG【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】1连接BD,由DC AB, C为AB的中点，由线段垂直平分线的性质，可得AD BD ,再根据正方形的性质，可得ADB

52、 900；2由BD BG与CD/BE,利用等边对等角与平行线的性质，即可求得67.5°,由等90°,即可证1G CDG BDG BCD 22.5°,继而求得 ADQ AQD 2角对等边，可证得 AD AQ ；3 易求得 GDE GDB BDE 67.5°DFE ， DCF E得RtVDCF s RtVGED ,根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论. 【详解】DBA 45°,DCB 90°,即 DC AB,QC为AB的中点，CD是线段AB的垂直平分线，AD BD,DAB DBA 45°,ADB 90°,即 BD

53、 AD ,Q BD为半径,AD是e B的切线；2 Q BD BG ,BDG G ,QCD/BE ,CDG G , 1cG CDG BDG BCD 22.5°, 2ADQ 900BDG 67.5°,AQB BQG 90°G 67.5°,ADQ AQDAD AQ ；3连接DF,在VBDF 中，BD BF ,BFD BDF ,又Q DBF 45° ,BFD BDF 67.5°，Q GDB 22.5°, 在 RtVDEF 与 RtVGCD 中，Q GDE GDB BDE 67.5°DFE , DCF E 90°,RtVDCF s RtVGED , CF