轮换对称式的最值问题

1、轮换对称式的最值问题学生姓名授课日期教师姓名授课时长.知识定位在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。,知识梳理1.不等式对称和轮换对称式的定义在一个不等式中，若把其中任何两个字母ai,aj i,j 1,2,., n且ij对调位置后，这个a b c 3不等式不变（如 一淇中a

2、,b,c 0）,我们便称此不等式是关于b c c a a b 2a1，a2,.,an对称的。如果把不等式中的字母a1，a2,.,an按一定顺序依次轮换（如ai换成a2, a2换成a3,，an i换成an）后不等式不变（如b22 0,其中a,b,c 0）,我们便称此类不等式是关于ai,a2,., an轮换对称的。2. 对称式与轮换对称不等式的性质由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如就不是对称的）。关于ai,a2,.,an对称的不等式，由于 ai, aj互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列 a1,a

3、2，an的大小顺序（如在中可设a b c）,而关于ai,a2,., an是轮换对称的不等式则不能任意排列其字母的大小顺序，而只能做较弱的排列，如a1an ， a2an ， .， an 1 an ，即某一个是其中的最大或最小（如中可设 a c, a b）,因为我们总可以通过轮换把某个字母调整 到最小或最大的位置。3. 取得最值的判定暑期讲义轮换对称式一讲中我们提到， 轮换对称式取到最值时往往各地位轮换对称的变量取值相等。在这种情况下我们可以简化问题为先判断最值和取到最值的条件，在转化为不等式证明问题（此时取等的条件也作为一个解决不等式证明的重要提示） 。当然，并不是所有轮换对称式取最值的条件都是

4、上述，所以我们尽可能用特值等方法验证来舍弃显然不合理的假定， 确认判断正确后再转化为证明问题， 这样可以减少无用功。值得注意的是， 判断各变量相等时取到的是最大还是最小值与题目要求比对是十分必要的。4. 轮换对称式常见的处理方法（结合例题讲解）（ 1 ） 凑项法（最常用）在判断出最值后，利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，完全可以程式化证明一类不等式。主要细分为凑项降幂法、凑项升幂法、凑项去分母法、凑项平衡系数法。基本思路：判断该题为轮换对称式；通过条件得出取最值时各字母或参数的值；判断是最大或最小值，抓住其中一项深入研究，构造均值不等式的其他项，再运用均值不等式加以证明

5、。上述各种凑项方法不是相对独立的，可以交替使用，但凑项的关键是在求和时能利用已知条件，并能取到等号。（ 2 ） 求配偶式法（即（ 1 ）的进化版本）当直接配凑较为困难时我们可以通过先设待定系数求解的方法找到要凑得项。充分利用轮换对称式等式的结构特点以及等号成立的条件为导向，运用待定系数法构造配偶式，然后运用均值不等式等号成立的条件以及所证轮换对称不等式等号成立的条件求出待定系数，从而使所证不等式获得证明。其中设配偶式求配偶因子是该方法的关键一步和核心部分，也是它与方法（ 1 ）的主要区别。（ 3） “非常规最值 ” 的应对方法前几个方法中 ,首要是确认在各变量取值相等时取到最值， 这类最值问题

6、称为 “常规最值” 。然而并非所有的轮换对称式都满足这一要求，因而面对一些“非常规最值”问题，也有一些特定的其他方法，如：构造不等式法、导数法（没有例题，导数法结合主元思想是证明不等式、求最值很常规的一类方法，本节不再做说明）和图像法等。【题目】已知x, y, z R ,且x y【答案】2i【解析】1.狷想当x y z 一时取得最大值， 3为 721 °下证明：因为2 J7 J4x 1 :344y 1 32y 3）, n4z 1化简即得证。（本题也可以用琴生不等式易证得）【知识点】轮换对称式 凑项升哥法【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】证明Cauchy不等式a2

7、a2a2z 1 ,求 J4x 1 J4y 1 、；4z 1 的最大值此时J4x 1 y4y 1 v4z 1,最大值37 3 -5、-4x 1 ,所以 44x 1 (7(2x -),同理395、(2z 一),上述二式相加，并将x y z 1代入, 732(a a2a.)n【答案】（证明题）【解析】证明：设a1a2an a ,贝U a2222 （a1_aa1 a2ann【知识点】轮换对称式 凑项降嘉法【适用场合】当堂练习题【难度系数】2尸、2 2an 2尸、2 2a n()ai，所以ain ( )ai ,nni 1nn i 1an)2o【试题来源】1990年第24届全苏数学奥林匹克【题目】x1，x

8、2,凡是正数，且x1x2xn 1，2222x1乂2xn 1xnx1x2x2x3xn 1xnxnx1设的最小值求分析:由于当X1X2xn1一时等号成立，于nx2xi xi 1xi 1) °下证:设xnX1 ,因为2为xixiKixi1)xi所以 一i 1xixi2xi 1nxi1nxi i 11)nxi1xi21xi xi 1凑项去分母法【知识点】轮换对称式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】设 a,b, c R ,且 abc1,求证:(b c)b3(c a)c3(a b)【答案】(证明题)2 2b c原不等式等价于a(b c)2 2c ab(c a)2.2a bc(a

9、b)当a=b=c=1时等号成立，此时2 2b ca(b Ic)1 a(b4c),所以,2 2b ca(b c)1、 ,-a(b c) bc ,2 2c a 1、同理，r;：二b(c a) cab(c a) 42. 2a bc(a b)1 /2-c(a b)ab ,上述三式相加并化简得a(b c) b(c a)-(ab bc c(a b) 23 3ca) 一一 ab bc3 ca2凑项去分母法【知识点】轮换对称式【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】设 a,b, c R ,且 a2 b2 c213,求的最小值。1 2ab 1 2bc 1 2ca【答案】1【解析】猜测值二为二二二

10、1时，最小值为1。下证：令A >0 ,由均值不等式得1+2处十为a+234三2/,此不等式等号成立条件是11+ lab二qQ+2rB)即且=-TQ + 2厘功。又易知所证不等式等号成立的条件是卜3(1+20切之2于是有93112+ -(l+2ca) > -1 十2M 93个不等式相加得，> -(2ab + 2bc + 2ea)1+1 + 2加 1 十 2m 3 9又由均值不等式可得，6PM必*毋+一)- 2防+2辰+加1，代入上式显然得证。【知识点】轮换对称式 求配偶式法【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】若X1,X2，Xn为小于 1的正数且X1X2*xn1

11、 , m, n N 且 m 2, n 2 ,则Xi【答案】【解析】1m'mXX2 X2（证明题）1mXnXnmn-m1 -an 1证明：因工，2QDC = L2,口）,则再工W 1） .令兄,由均值不等式得十兄 _町）之264a 一无力内-每，此不等式等号成立的条件是不一再，即3 _ 1 1W - ；2= -（I = L2?）不一两）,又易知所证不等式等号成立的条件是 程，此时（律一国）二12木,将这代个不等式相加得,其中因为X1X2Xn所以（均值不等式）代入上述不等式化简得:*1期琳网y2< jm M12招一再 用 -【知识点】轮换对称式 求配偶式法【适用场合】当堂练习题【难度

12、系数】3【试题来源】【题目】，一、，111一 非负实数a,b,c满足a b c 1,记S,，求S的取值范围。1 a 1 b 1 c95【答案】9 S 542【解析】药造工等三”,三片当或附取等寻人讲解：当w 时易知式.34法边为常规最直由f均F等式的叁诒有I 4园1 4人即汨式1三动为非常规最憎-可对每一项构 港一个="为不等式.然后相加，注意到W1 -q I ”;f 101 与】V *1 ”1X 7ff 1 - W 却B。毛廿石】却-上式成立.同理.不匕*1 .与当八。或1时取等号LI +白 2£1-U 3=。或1时取等号以上三式相加写凡44中两个为0.个为1时.上式等号

13、成立注：基本思路和前面两种方法雷同，也是知道取到最值时变量的取值条件之后特意构造两端取等的不等式来帮助证明。【知识点】非常规最值-构造不等式法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】2007女子数学奥林匹克（改编）【题目】非负实数a,b,c满足a b c 1,记Sa 1 b c 2 bb 1 c a 2 Jc ； a b 2 ,求S的最大值。【答案】2【解析】发现当a b c -,S 8不是最大值。 3构造不等式b +' f b -w, 方太X0n +f ft. 二 6 +2 3 c + cWm .口 f b + r） +又最后一式显然成立，故式成立.且当 加即入厂中至少有一个为

14、。讨.等号成立.同理. + (i' - a)'与 h + " ： l (小 u 中至少一个为。时.等号成立+-J j o -白尸+一产f *力中至少 一个为。时，等号成立人以上三式相加徨l t a±fr - + u _L+u 丁55+ 8 4，+4-7 = 3JhJ当U、&L中两个为m一外为时.上式 等号成立【知识点】非常规最值-构造不等式法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】 设角 A、B> C 满足 cos2 A cos2 B cos2 C 1,、111求：一一J的最小值sin A sin B sin C9【答案

15、】92【解析】分析：原条件等价于sin2 A sin2 B sin2 C9。下证：构造9sin2 A 3, 2sin2 A4sin2 B并化简得证。【知识点】轮换对称式凑项去分母法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】22 ,猜测当sin2 A sin2 B sin2 C （时最小值为一- 22 -9sin B 3, 9ss C 3上述三式相加4sin2 C 4【试题来源】【题目】已知a, b,c R ,求的最小值。【解析】3c时显然有min为。c2设.d I ：'.一二-+则所求式可化为E b £-C ,进而变为1二言 ,再令£ ,则苞且;t+y+=l ,所求式变+

16、为-二+1-y 1一1，分离常数得l-y l-£-3.（换元使分子为常数，方便进一步的基本不等式）构造-二十义口一司0）,则此不等式等号成立的条件是口-工）.又易知所证不等式等号成立的条件是耳=y =笨=- 319193+-(l-x)>3>-+-1-x 4，即1144 ,同理可得这三个不等式相加得,1119,、 9Hh产"叱，又x+y+7=11 I 1+十.E 11一工-y 1一了 2 ,故原不等式成立。【知识点】轮换对称式 求配偶式法【适用场合】【难度系数】随堂课后练习3【试题来源】1984年巴尔干地区数学竞赛题【题目】设 a1,a2,.,an n 2 且 a

17、1a2an 1,求证:aia22 al2 a2an2annO2n 1【答案】（证明题）【解析】证明：所证不等式即2一% 2n-也就是2 - a.N*-l ,亦即"2题"1>2内一1Tt一一1)过'-2T 一万之£ 2-%2同-1,也就是看2-%十兄（2- %）之 2.0（2 > 0）i=丸（2-可）即二二构造2-可，此不等式等号成立的条件是 2因叼=-（j = 12 M.又易知所证不等式等号成立的条件是 段(2n -I)3+” 口（2马）之有一 '11 .八2”12 f 2期一1 (2*7百/一2）其中1二12.将这吊个不等式相加得，+

18、上2-冬2 盟1 (2 却一1)£我=1把口 代入得2 一弓原不等式成立.【知识点】轮换对称式 求配偶式法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】设z 0【答案】【解析】（证明题）分析：当x=y=一时等号成立。证明：因为x2xzyz2(xz 5yz)6xy 5所以,x2y2即x2y2z224 2z - z56(yz 52,、5(xz yz)zx xy)。6.二(yz 56 5xyzxy2)4z(x 5XV）。3xy，将上述三式相加并化简得,、2,、6y)5(xz yz) 5xy注：只有式的系数凑成 3,式中xy的系数才能是6 o 25【知识点】非常规最值-构造不等式

19、法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】非负实数a,b,c满足a b c 1,记S J4aF JbTl J4d ,求S的最小值。【答案】2 ,5 【解析】猜测端点处取最小值，最小值为2 .,5下证：证明引入辅助函数/（）=+1 （o < r < ）,取端点/=0科=1代人得 Zi =1二有由二，/垢甘也知函数人” (4a + J)在。工<1上为凹函数.分别J令# =1,工=6,# =匕则,+ l >(7-lJ6 + h/4r+ 1 >(5 -l)c+ I.+H 口 + I + J4h+ ,/4c + 1> (耳l)(o + fr+j) +

20、 3=(6-1 ) xl *3 =2 +方.故原不等式得证.记点尸,（【,在），于是，经过户、0 的支线方程为片（4-1）#十I.辅祗辰71> （后-1笈+“0<#川.要证明猜想成立，如图匕只需证明辅助函数A幻为凹函数即叽【知识点】非常规最值-构造不等式/图像法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】第19届北欧竞赛题【题目】设a,b, c R ,求证:一 2 一 22a 2bb c c a2c2a b【答案】（证明题）【解析】+ A(b 十二)A 2曰 J2a此不等式等号成立条件是2黯b+c-X(b + e)其二a即 ©+G .又易知所证不等式等号成立的条件是a-bc ,此时12/ 占十亡 n2* 。十口%" n+if c-+>2d+>2b +>2(?2 .于是有