导数中含参数单调性及取值范围

1、应用导数的概念及几何意义解题仍将是高考出题的基本出发点;利用导数研究函数的单调性、极值、最值、图象仍将是高考的主题;利用导数解决生活中的优化问题将仍旧是高考的热点;将导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识结合在一起的综合应用，仍将是高考压轴题.1 含参数函数求单调性（求可导函数单调区间的一般步骤和方法:(1)确定函数定义域;(2)求导数;(3)令导数大于0,解得增区间, 令导数小于0,解得减区间.）例1（2012西2）已知函数，其中（）当时，求曲线在原点处的切线方程；（）求的单调区间（所以在单调递增，在单调递减 5分当， 当时，令，得，与的情况如下：故的单调减区间是，；单调增区间是 7分 当

2、时，与的情况如下：所以的单调增区间是；单调减区间是， 9分（）解：由（）得， 时不合题意 10分 当时，由（）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值 设为的零点，易知，且从而时，；时，若在上存在最小值，必有，解得 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是12分 当时，由（）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值若在上存在最大值，必有，解得，或所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是 综上，的取值范围是 14分例2 设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.【解析】由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时

3、，由解得、随的变化情况如下表0+极小值从上表可知 当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.已知函数其中.（I）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；（II）求函数在区间上的最小值. 解：，. .2分（I）由题意可得，解得， .3分此时，在点处的切线为，与直线平行故所求值为1. .4分（II）由可得， . 5分当时，在上恒成立 ， 所以在上递增， .6分所以在上的最小值为 . .7分当时，0.10分极小由上表可得在上的最小值为 . .11分当时，在上恒成立，所以在上递减 . .12分所以在上的最小值为 . .13分

4、综上讨论，可知：当时， 在上的最小值为； 当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为. 练习 1 已知函数. (2012海淀一模）（）求的单调区间；（）是否存在实数，使得对任意的，都有？若存在 ，求的取值范围；若不存在，请说明理由.2（2012顺义2文）（.本小题共14分）已知函数,其中 （）求曲线在处的切线方程;（）设函数，求的单调区间.3（2012朝1）18. （本题满分14分）已知函数,.（）若函数在时取得极值，求的值；（）当时，求函数的单调区间.二参数范围有单调性时分离常数法例（东2）已知函数.（）若，求在处的切线方程；（）若在上是增函数，求实数的取值范围.解：1)由， 1分 所以.

5、3分 又， 所以所求切线方程为即. 5分（）由已知，得. 因为函数在上是增函数， 所以恒成立，即不等式 恒成立.9分整理得. 令 11分+极小值的变化情况如下表： 由此得的取值范围是. 13分练习1（2012怀柔2）设，函数（）若是函数的极值点，求实数的值；（）若函数在上是单调减函数，求实数的取值范围2（2012石景山1）已知函数（）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；（）求函数的单调区间；（）若函数在上是减函数，求实数的取值范围分类讨论求参数例2（2012昌平1）已知函数.（为实数）（I）当时， 求的最小值；（II）若在上是单调函数，求的取值范围解：() 由题意可知： 1分当时 .2分

6、当时， 当时， .4分故. .5分() 由 由题意可知时，,在时，符合要求 .7分 当时，令故此时在上只能是单调递减 即 解得 .9分当时，在上只能是单调递增 即得 故 .11分综上 .13分根据性质求范围）（零点例（2012昌平2）已知函数（，为常数），且为的一个极值点 () 求的值； () 求函数的单调区间； () 若函数有3个不同的零点，求实数的取值范围解： () 函数f (x)的定义域为（0，+）1分 f (x) = 2分，则a = 14分 ()由() 知 f (x) = 6分 由f (x) > 0可得x >2或x <1，由f (x) < 0可得1< x

7、<2 函数f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ )，单调递减区间为 (1 , 2 ) 9分 () 由()可知函数f (x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，+)单调递增且当x =1或x =2时，f (x) = 0 10分 f (x) 的极大值为 11分 f (x)的极小值为 12分 由题意可知 则 14分 最值 例（2012海2）已知函数（，）.（）求函数的单调区间；（）当时，若对任意，有成立，求实数的最小值.解：.令，解得或. 2分（）当时，随着的变化如下表极小值极大值函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，. 4分 当时，随着的变化如下表

8、极小值极大值函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，. 6分（）当时，由（）得是上的增函数，是上的减函数.又当时，. 8分所以 在上的最小值为，最大值为 10分所以 对任意，.所以 对任意，使恒成立的实数的最小值为.13分不等式例3（2012房山1）设函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间和极值； （）若对于任意的，都有，求的取值范围. 极值例4（2012丰台1）已知函数 （）若曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值；（）若a>0，函数y=f(x)在区间(a，a 2-3)上存在极值，求a的取值范围；（）若a>2，求证：函

9、数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点（单调性）已知函数.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围+00+单调增极大值单调减极小值单调增三基本性质（2012朝2）设函数.（）已知曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值；（）讨论函数的单调性；（）在（）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个，都有单调区间（2012门头沟2）已知函数在处有极值（I）求实数的值；（II）求函数的单调区间（2012东1）已知是函数的一个极值点（）求实数的值；（）当，时，证明：实用(2012西城一模）如图，抛物线与轴交于两点，点在抛物线上（点在第一象限），记，梯形面积为 （）求面积以为自变量的函数式；（）若，其中为常数，且，求的最大值（）解：依题意，点的横坐标为，点的纵坐标为 1分点的横坐标满足