数字信号处理八

1、有限长单位冲激响应有限长单位冲激响应FIR数字滤波器的设数字滤波器的设计方法计方法IIR滤波器的优缺点滤波器的优缺点IIR数字滤波器的优点：可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。IIR数字滤波器的缺点：相位的非线性，将引起频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂，成本也高。FIR DF 优点优点FIR滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。设FIR滤波器单位冲激响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)为：H(z)是z-1的N-1次多项式，它在z平面上有N-1个零点，原点z=0是N-1阶重极点

2、。因此，H(z)永远稳定。稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点。10)()(NnnznhzH为何要设计为何要设计FIR滤波器滤波器（1）语音处理，图象处理以及数据传输要求线性相位，任意幅度。（即要求信道具有线性相位特性）而FIR数字滤波器具有严格的线性相位，而且同时可以具有任意的幅度特性。（2)另外FIR数字滤波器的单位抽样响应是有限长的，因而滤波器一定是稳定的只要经过一定的延时，任何非因果有限长序列都变成因果的有限序列。（3)FIR可以用FFT算法来实现过滤信号。FIR DF 设计思路设计思路FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有很大不同。FIR DF设计的含义是：根据设计指

3、标，求解所选运算结构要求的h(n)或H(z)： 线性卷积和快速卷积型结构，求FIR DF的h(n). 级联和频率采样型结构，求FIR DF 的H(z).线性相位FIR DF的条件和特点一、FIR滤波器具有线性相位的条件 对于长度为N的h(n),传输函数为：幅频特性注意幅度特性总是正值。负值，而称为幅度函数，可以取的实函数，为不同于注意，这里称为相位特性。称为幅度特性，式中，)()(, )()()()()()()()()(10jwjwwjjwNnjwnjweHwwHeHwHwwHewHeHenheH。）式为第二类线性相位满足式是第一类线性相位，一般满足位。也称这种情况为线性相群时延是一个常数，即

4、但以上两种情况都满足不具有线性相位，严格地说，此时）（是起始相位，满足下式：如果）（为常数的线性函数，即是线性相位是指2() 1 ()()(2)()(1,)()()(00dwwdwwwwwwwweHjw1、H(ejw)线性相位2、FIR滤波器具有线性相位的条件奇对称。是实序列且对条件是：满足第二类线性相位的偶对称。是实序列且对位的条件是：其中满足第一类线性相处。其对称中心在奇对称：偶对称：条件：实数、且满足以下任一为因果、有限长、滤波器的单位冲激响应性相位条件是：滤波器就具有准确的线2/ ) 1()(2/ ) 1()(21)1()()1()()(NnhNnhNnnNhnhnNhnhnhFIRF

5、IR二、线性相位条件的证明 我们将根据单位冲激响应h(n)的奇对称和偶对称进行讨论。 由下面讨论可知：为第二类线性相位。是起始相位，为奇对称时：是第一类线性相位为偶对称时：00)()1()()()2(,)(),1()()() 1 (wwnNhnhnhwwnNhnhnh1、第一类线性相位条件证明)()()()()()(1)1()()(:)1()()(1)1(10110)1(101(1010zHzzHzmhzHzmhzzmhmnNznNhznhzHnNhnhnhNNmmNmmNNmmNNnnNnn）令为偶对称情况，即代入上式，得到：将表示为则可将jwNnNnNnNNnnNnNnnNNnnNezzz

6、nhzzzznhznhzznhzHzzHzHzH102)1(212110)1(10)1(101)1(2)()(21)()(21)()(21)(:)(有第一类线性相位。那么该滤波器就一定具为偶对称，是实序列，且看出：只要其群时延为相位函数为幅度函数为)()()21()()21()(:)21(cos)()(:)21(cos)(2)()()(1010)21(10)21()21()21(nhnhNwwNwwNnnhwHwNnnheeenheeHNnNnwNjNnwNnjwNnjwNjjw2、第二类线性相位条件证明)()()()()()(1)1()()(:)1()()(1)1(10110)1(101(1

7、010zHzzHzmhzHzmhzzmhmnNznNhznhzHnNhnhnhNNmmNmmNNmmNNnnNnn）令为奇对称情况，即代入上式，得到：将可表示为同样jwNnNnNnNNnnNnNnnNNnnNezzznhzzzznhznhzznhzHzzHzHzH102)1(212110)1(10)1(101)1(2)()(21)()(21)()(21)(:)(有第二类线性相位。那么该滤波器就一定具为奇对称，是实序列，且看出：只要其群时延为相位函数为幅度函数为)()()21()(2)21()(:)21(sin)()(:)21(sin)(2)()()(1010)21(10)21()21()21(

8、nhnhNwwNwwNnnhwHwNnnhjeeenheeHNnNnwNjNnwNnjwNnjwNjjw注意从第二类线性相位看出： 零频率w=0有2的截距，说明不仅有： 也就是：h(n)为奇对称时，FIR滤波器是一个具有准确的线性相位的理想正交变换网络。个抽样间隔的延时，而且还产生一个90的相移，这种使频率皆为90的网络，称为正交变换网络，它具有重要的理论和实际意义。21N三、线性相位FIR滤波器幅度特性H(w)的特点 由于h(n)的长度N取奇数还是偶数，对H(w)的特性有影响，因此，对于两类线性相位，下面我们分四种情况讨论其幅度特性的特点：（1）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)为偶对称

9、偶对称,N=奇数（2）h(n)=h(N-1-n),即h(n)为偶对称偶对称，N=偶数（3）h(n)=-h(N-1-n)，即h(n)为奇对称奇对称,N=奇数（4）h(n)=-h(N-1-n),即h(n)为奇对称奇对称，N=偶数1. 第一种情况：h(n)=h(N-1-n)，N=奇数10)21(cos)()(NnwnNnhwH 式中：h(n)对（N-1)/2呈偶对称，即可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2即其中：wnNNwNnwnN)1(21cos)21(cos)21(cos2/ ) 1(1)cos()21(221()(,21NmmwmNhNh

10、wHmnN）则令2/)3(0)21cos)(221()(NnwnNnhNhwH（）合并后，可得：0)21(2)(0)21()0()cos()()()21(0nnNhnanNhawnnawHNn其中：可以表示成0)21(2)(0)21()0()cos()()()21(0nnNhnanNhawnnawHNn其中： 看出：cos(nw)对于w=0,2皆为偶对称，所以幅度函数H(w)也对 w=0,2皆为偶对称。且H(0)、H(/2), H(),H(2)都可不为零。(只要h(N-1)/2)不为零。所以w从从0 2 范围内，无任何约束，范围内，无任何约束，可以设计成任何一种滤波器。低通、高通、带通、可以设

11、计成任何一种滤波器。低通、高通、带通、带阻）带阻）n对称中心N=7)(wHw022关于w=0及w= 偶对称)(nh可以设计任何一种滤波器可以设计任何一种滤波器2. 第二种情况h(n)=h(N-1-n)，N=偶数wnNNwNnwnN)1(21cos)21(cos)21(cos10)21(cos)()(NnwnNnhwH 式中：h(n)对(N-1)/2呈偶对称，即可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项合并，由于N是偶数，故H(w)无单独项。120)21(cos)(2)(NnwnNnhwH合并后，可得：2121120)21cos()2(2)()21cos()2(2)(,2)21cos)(2)(N

12、nNmNnwnnNhwHnmwmmNhwHmnNwnNnhwH代替，得到再用将则令（由：呈奇对称；对所以即是奇对称，对且由于处，必然有一个零点。在即，（时，）当从上看出：（其中：上面式子可以表示成：wwHnwnwwnwzzHwHnwwNnnNhnbnwnbwHNn)(sin)21(cos)21(cos)2(1)(, 0)(0)21(cos12,2 , 1),2(2)()21(cos()()(21（3）由上可知：此种情况不能设计高通和带不能设计高通和带阻滤波器。阻滤波器。n对称中心N=6)(wHw022关于w=0偶对称 w= 奇对称，H()=0 (总是)只能设计低通和带通滤波器。能设计低通和带通

13、滤波器。)(nh03.第三种情况 h(n)=-h(N-1-n)，N=奇数)1(21sin()21sin()21sin2/12/ ) 1()(0)21()21()21(21),1()()21(sin)()(10nNNwNnwnNNNnhNhNhNhNnnNhnhwnNnhwHNn（呈奇对称，）正弦项也对（零。呈奇对称，且中间项为对即时，当211211230)sin()()()sin()21(221)21(sin)(2)(211)(NnNnNnnwnCwHmwnNhnNmwnNnhwHNnNnwH可表示为：令项。并后为两两相等的项合并，合项第项中各项之间满足：第21, 2 , 10)21(2)()

14、21()0()sin()()(211NnnnNhnCNhCnwnCwHNn其中上式(3)由上可知：此种情况不能设计低通、高通不能设计低通、高通和带阻滤波器。和带阻滤波器。 看出：sin(nw)对于w=0,2处皆为0即H(w)在w=0,2处必为零。也即H(z)在z=1处都为零。(2) sin(nw)对w=0,2呈奇对称形式n对称中心h(n)=-h(N-1-n)，N=7奇数)(wHw022关于w=0、w= 奇对称H(0)=0 、H()=0 (总是)只能设计带通滤波器。能设计带通滤波器。)(nh04. 第四种情况h(n)=-h(N-1-n)，N=偶数2/12/112/010)21(sin)2(2)(

15、,)21(sin)2(2,2)21(sin)(2)21(sin)()(3NnNmNnNnwnnNhwHmnwmmNhmNnwnNnhwnNnhwH得：替换用则有令种情况：类似第呈偶对称。处呈奇对称，对，对：）由于（处有一零点。在处为零。即在即处为零，在）由于由此看出：（其中：可设由式子：wwwnzzHwwHwwnNnnNhndwnndwHwnnNhwHNnNn20)21(sin21)(2 , 0)(20)21(sin12, 3 , 2 , 1)2(2)()21(sin)()()21(sin)2(2)(2/12/1（3）由上可知：此种情况不能设计低通和带阻滤不能设计低通和带阻滤波器。波器。n对称

16、中心h(n)=-h(N-1-n)，N=6偶数)(wHw022关于w=0奇对称、w=偶对称H(0)=0 (总是)只能设计带通、高通滤波器。能设计带通、高通滤波器。)(nh0总结 了解了线性相位FIR滤波器的各种特性，便可根据实际需要选择合适的FIR滤波器，同时设计时要遵循有关约束条件。 如：第3、4种情况，对于任何频率都有一固定的 相移，一般微分器及 相移器采用这两种情况，而选频性滤波器则用第1、2种情况。2/90(1)要设计一个线性相位的低通DF22 , 12(2)()21(cos()()21(2)()21()0(00cos)()(1010NnnNhnbnwnbwHnNhnaNhannwnna

17、wHnhNnNn），）第二种：其中：）第一种：为偶对称。即用第一种或第二种。从幅度特性考虑，只能(2)要设计一个线性相位的高通DF22 , 12(2)()21(sin()()21(2)()21()0(00cos)()()(1110NnnNhndnwndwHnNhnaNhannwnnawHNnhNnhNnNn），）第四种：其中：）第一种：为偶）。为奇，或第四种为奇）为偶，第一种从幅度特性考虑，可用(3)要设计一个线性相位的带阻DF)21(2)()21()0(00cos)()(10nNhnaNhannwnnawHNnhNn其中：）第一种：为奇）。为偶，只能选用第一种从幅度特性考虑：(4)要设计一个

18、线性相位的带通DF)21(2)(0)21()0(21210cos)(210nNhnCNhCNnnwnnCwHNn，其中：）其中第三种：从幅度特性考虑：可选用四种任意一种来设计滤波器。三、线性相位FIR滤波器零点分布特点 线性相位FIR滤波器零点分布特点：零点必须是互为倒数的共轭对，确定其中一个，另外三个零点也就确定了。也是其零点。和因此的零点必定共轭成对，是实序列，又因为也必然是其零点；其倒数的零点，是看出：如果位系统函数可表示为：第一类和第二类线性相*1*11)1()()()()()()(iiiiNzzzHnhzzHzzzHzzH。即图点，是实数，则只有一个零如果零点在单位园上且；则是图单位

19、园上，如果零点是纯虚数且在；如图中有两个零点，如果零点是实数，则只有一些特殊情况：情况。）和（一般情况：是图中：如图表示零点分布情况4331221*1*1111,zzzzzzzzz1z*1z11z1*)(1z2z12z3z*3z4z)Re( z)Im( zj要点 由零-极点图可知： 所有极点在z=0处，零点均为共轭倒数对称。 情况1：z=-1和z=1处零点数为偶数（若无零点） 情况2：z=-1处零点数为奇数，z=1处零点数为偶数。 情况3：z=-1和z=1处零点数为奇数。 情况4：z=-1处零点(若存在)为偶数,z=1处零点为奇数。例子1 求出情况3线性相位因果滤波器的传递函数和冲激响应，假定

20、长度和延迟均为最小，已知在z=j有一零点，在z=1有两个零点。解:z=j处的零点必与其共轭(倒数)z=-j处配对。情况3序列要求在z=1和z=-1处零点数为奇数，零点的最小数且是在z=-1处为1个零点，在z=1处为3个零点(已有2个).所以，传递函数为：H(z)=(z+j)(z-j)(z+1)(z-1)3= z6 -2z5+z4-z2+2z-1因果滤波器有最小延迟的传递函数为H(z)=1-2z-1+z-2-z-4+2z-5-z-6 hc(n)=1,-2,1,0,-1,2,-1例2 设h(n)=-4,1,-1,-2,5,6,6,5,-2,-1,1,-4,确定振幅响应Hr(w)及H(z)的零点位置

21、。 解由于N=12，h(n)关于=(N-1)/2=5.5偶对称，这是一个情况2的线性相位FIR滤波器。由此得： b(1)=2h(12/2-1)=12,b(2)=2h(12/2-2)=10 b(3)=2h(12/2-3)=-4,b(4)=2h(12/2-4)=-2 b(5)=2h(12/2-5)=2,b(6)=2h(12/2-6)=-8)211cos(8)29cos(2)27cos(2)25cos(4)23cos(10)2cos(12)216(cos)6()215(cos)5()214(cos)4()213(cos) 3()212(cos)2()211 (cos) 1 ()(wwwwwwwbwb

22、wbwbwbwbwHr窗函数设计法一、设计方法1.设计思路(1)先给定所要求设计的理想滤波器的频率响应Hd(ejw).(2)设计一个可实现的FIR滤波器频率响应H(ejw)。(3)由于设计是在时域中进行，使所设计滤波器的h(n)去逼近理想单位取样响应序列hd(n).（1）理想滤波器的频率响应Hd(ejw)系统函数。变换即可得到滤波器的经过即可求出若已知响应，因此是与其对应的单位脉冲输函数为设希望设计的滤波器传znheHdweeHnhenheHnheHdjwdjwnjwddnjwndjwddjwd)(),()(21)()()()(),( 一般情况下，Hd(ejw)逐段恒定逐段恒定，在边界频率处边

23、界频率处有不连续点有不连续点，因而hd(n)是无限时宽无限时宽的，且是非因果序列。理想低通滤波器的传输函数Hd(ejw)序列。是无限长，且是非因果响应滤波器的单位取样由上式看到，理想低通为：相应的单位取样响应)()()(sin(21)()(0)()()(nhnnwdweenhnhwwwwewHewHeHdcwwjwnjwddccjwdjwdjwdcc)(wHdw0)(nhdn0cwcw(2)设计实际的FIR滤波器H(ejw).),()()()()(),(10肯定会引起误差去代替的序列这样我们用一个有限长，其系统函数为长度为单位取样响应为设实际实现的滤波器的nhnhznhzHzHNnhdNnn具

24、有线性相位。可保证所设计的滤波器对称，对时，截取的一段当。为窗函数，长度为式中：后的单位冲激响应，即）表示截取用2/ ) 1()(2/ ) 1()()()()()(NnhNNnWnWnhnhnhnhdd序列去逼近它。现用一个有限长的因果限长的非因果序列。为中心偶对称的时域无是可知理想低通滤波器低通滤波器。的线性相位的延时例：设计一个截止频率6)(13, 621)6()6(3sin)(, 6,363nhNNnnnhwFIRwddcc的线性相位。即满足且满足其它的一段代表从即截取，令窗最简单的办法：取矩形)(),1()(010)()().(10)()()(nhnNhnhnNnnhnhnhNnnRn

25、WnRdNNn0)(nhd)(nWn1N02、设计步骤(1)先由Hd(ejw)求付里叶反变换Hd(n).(2)砍头去尾。因为我们要设计FIR滤波器h(n)是： (a)具有因果性 t砍头 (b)由于要求所设计滤波器是线性相位，所以要 求其偶对称，奇对称，由于砍头，所以必须去尾，让它们中心对称中心对称。即用有限长的h(n)去逼近无限长的hd(n).(3)利用卷积过程。即h(n)=W(n) hd(n)因此，窗函数序列的形状及长度的选择是设计关键。3、窗函数设计法（窗口法） 用一个有限长度的窗口函数序列W(n)来截取hd(n)：（即进行砍头截尾），h(n)=W(n)hd(n)使h(n)满足因果，有限长

26、，实序列，并具有奇、偶对称性，则可设计出具有线性相位的FIR滤波器。二、利用窗函数法设计四种线性相位FIR DF1.低通2.高通3.带通4.带阻1、低通201( )2sin()1( )()2()1sin()2( )( )( )( )(1)1)20,1,21( )jwjwncddcdNW nNw nh nHeedwnNw nh nh n W nW nh NnNnnNh nNDFNDF 长度为 ，则为中心偶对称的函数取偶对称当奇数时，设计第一种情况的线性相位低通。当偶数时，设计第二种情况的线性相位低通。)11()5 .5)5 .5(3sin)(312)12()6)6(3sin)(31312 , 1

27、 , 0)1()21)21(sin)()()(),()(nhnnnhwNnhnnnhwNNnnNhNnNnwnWnhnhnRnWcccdN，偶数，且若取，奇数，且若取则：当选用矩形窗时，)(nhn)(nhn2、高通 理想的线性相位高通DF的频率特性为：cccwjjwdwwwwweeH00)()(其幅度特性：1)(wHwcwcw2cpww截止频率为： 由付氏反变换得：nnnwnjeedweedweedweeHnhcnwwwnjjwwjnjwjwnwjjwnjwddcccc)()(sin) 1(2)(2121)(21)()()(20)(20DFnNhnhnhNnNhnhnhFIRNnWnnwNnn

28、nwnWnWnhnhccnd高通设计是第四种线性相位即为奇对称，为偶数时，当即为偶对称，种线性相位为奇数时，对应于第一当为偶数又偶函数)1()()()1()()()()()(sin1, 2 , 1 , 0)()(sin) 1)()()()().11() 1 (),12()0()1()6()6(3sin) 1()(,3131, 2 , 1 , 0)()(sin) 1()()()()()(hhhhnNhnnnhwNNnnnwnWnhnhnRnWnccndN即：则：，奇数，取时，取矩形窗函数).11() 1 (),12()0()1()6()6(3sin) 1()(,313hhhhnNhnnnhwNn

29、c即：则：，奇数，取)(nh).10() 1 (),11()0()1()5 . 5()5 . 5(3sin) 1()(,312hhhhnNhnnnhwNnc则：，偶数，取2、带通 理想的线性相位带通DF的频率特性为：wwwwwwwwwwweewHeHccccjwjwdjwd000000)()(1)(wHw0wcww0cww0幅度特性)(w相位特性wnnnwnwenjenjdweedweedweeHnhcwwwwnjwwwwwnjwwwwwjwnjwwwwwjwnjwjwnjwddcccccccc)()(sin)(cos(2)(21)(212121)(21)(022)()(20202000000

30、000DFNFIRNnNhnhnhnWnnwNnnnwnwnWnhnhccd带通设计是第二种线性相位为偶数时，当带通对应于第一种线性相位为奇数时，当即为偶对称，为偶数又偶函数)1()()()()()(sin1, 2 , 1 , 0)()(sin)(cos(2)()()(0 若选择相位有一个相移的理想的线性相位带通DF的频率特性为：止带（）（022)()(0000)2)2ccccwjwjwjdjwdwwwwwwwwwweeewHeH1)(wHw0wcww0cww0幅度特性)(w相位特性w2。种线性相位带通偶数时，可设计出第四当。种线性相位带通奇数时，可设计出第三当为奇对称DFNDFNnNhnnN

31、hNnNnwNnwnWnhnhnnwnwdweeHnhcdcjwnjwdd)1()1()21()21(sin)21(sin(2)()()()()(sin)(sin(2)(21)(00204、带阻机上进行运算。用求和代替积分在计算的表达式，出计算积分时，根本求不很复杂或者不能直接求当可以设计线性相位带阻的频响为：则带阻的频响为设带阻)()(21)()()(1 )()()(20)()nhdweeHnheHDFewHeHDFewHeHDFdjwnjwdddwjBdwjBjwBjwjw结果。来计算，便能很快得出可用点离散付氏变换，的正是点内有值，中的窗口在足够大，即一般只要求的关系为：与频率采样后所得

32、的序列个取样频率点是取样，段，对将积分分成FFTMeHdkhnhNnhNMMnhnhrMnhdnhnhdnhMeeHMnhMkkMMeHMkMjdMMMMdrMMkknMjkMjdMdjw)()()()(.)(lim)()()()()()(1)(1, 1 , 0,2)(21022)()()2)()1)()(21)()()()()()(jwdjwjwdjwjwdjwjwdwjjdjweHeHeHeHeHeHeHdeWeHeHnWnhdnWnhdnh逼近（即使变化最小。（）研究什么窗函数使（发生了什么变化？（）（为例，说明频率特性以低通（期卷积）（且为两序列频谱的周的卷积与在频域中：为时域中两序列

33、相乘。根据最佳 三、滤波器频率特性)21()(,)2sin()2sin()()()2sin()2sin(11)()()()21(1010NwwwwNwWeWwwNeeeeenReWnRRjwRNjwjwjwNNnjwnNnjwnNjwRN则来表示用幅度特性和相位特性的频率特性为：矩形窗口1、矩形窗口为周期函数。很大时，当很小时，当)()2()()21()(,)2sin()2sin()(wWwwNNSawWwNwwwwNwWRRR)(wWRw31)(w211Ntg主瓣N2N2N4N4w2、特殊点-1. 1)0()0(,21)0(0)(的全部面积。归一化为的可视为从则一般情况下，时，响应值零频Rc

34、WHNwHwa特殊点-25 . 0)0()()()()()(HwHwWHwHwwbcRdcc即的一半重叠，与此时时，响应值截止频率特殊点-3出现负肩峰为旁瓣的正面积。积而通带内的旁瓣的负面内通带外，的主瓣刚好全部在这时时，响应值负肩峰：95. 8)2()()()2(2)(NwHHwWNwHNwwccdRcc特殊点-4频响出现正肩峰为通带内，的全部主瓣都在这时时，响应值正肩峰：95. 8max,)2()()()2(2)(NwHHwWNwHNwwdcdRcc特殊点-5此时出现零波动。在尾瓣将扫过通带，的阻带内变化时，继续在当波动。零波动，)()(1)(wWHdweR2、几个特殊点-6）的主瓣宽度（

35、过渡带的宽度：过渡带RWNe4)(2、几个特殊点-7余振也越多。越多，产生的窗口频谱的旁瓣卷积，频率中的旁瓣与矩形窗出现余振原因：长的余振。在最大负肩峰外形成长余振)(g2、几个特殊点-8。此现象称为吉布斯效应。而最大肩峰永远为密，只能使起伏的振荡变变化。即：只能使起伏的振荡坐标的比例。，只能改变看出：改变其中）：则主瓣附近的频谱结构，设截取的长度为效应吉布斯（95. 82,sin2)2sin(2sin()2sin()()(NwNwNxxxNwwNwwNwWNGibbshR3、理想滤波器与实际滤波器之间的差别-1).4()()(NwHDFa宽度取决于窗口频谱的主瓣带的宽度产生一个过渡带。过渡缘

36、处，在理想特性不连续的边实际过渡带3、理想滤波器与实际滤波器之间的差别-2NwwNwwbcc20895. 020895. 1)(，负肩峰：为，正肩峰：为肩峰（正、负肩峰）3、理想滤波器与实际滤波器之间的差别-3也愈强。旁瓣相对值愈大，肩峰。旁瓣愈多，余振也越多，取决于窗口频谱的旁瓣余振)(c4、如何改善过渡带、肩峰、余振-1wwNa4)(（过渡带宽度）减少，增加关系。对滤波器的性能有很大决定阻带的衰减。决定通带的平稳，肩峰值大小)(b4、如何改善过渡带、肩峰、余振-2例子改变过渡带衰减。峰大小，即改变窗函数，改变肩出路。只能从窗函数形状上找要改善阻带衰减特性，是不够的。为而实际上工程致使：肩峰

37、达采用矩形窗函数，其负dBAsdBHwHAsHwH2121)0()(lg200895. 0)0()(95. 8只能折中考虑。余振增大过渡带宽度，减少余振减少过渡带宽度，增大余振)(c4、如何改善过渡带、肩峰、余振-3提高阻带衰减。振这样可以减少肩峰，余中。把能量尽量集中在主瓣旁瓣。尽量减小窗口频谱中的)(a5、改善函数形状标准-1Asb换取旁瓣的抑制。增加主瓣宽度，。以上两个要求不能兼得（过渡带小）以获得较陡的过渡带。主瓣的宽度尽量窄。)(5、改善函数形状标准-2阻带内显著的波纹。则增加通带内产生振荡比较小。数，则选用主瓣较窄的窗函。是为了得到较锐的截止要目的：如果选用一窗函数的主wa)(例子

38、-1即截止锐度不大。滤波器过渡带较大。导致的窗函数，这时，选用旁瓣电平小和较小的止带波纹。以达到平坦的幅度响应要目的：如果选用一窗函数的主FIRb)(例子-2)6)5()min4)3)2()tanRe1KaiserBlackmangHaHanningWindowBartlettWindowglec）凯塞窗（窗）（布拉克曼（二阶升余弦窗）改进余弦窗（汉明窗（）升余弦窗（汉宁窗（三角形窗（）矩形窗（并比较它们的特性。数，下面我们讨论六种窗函6、窗函数窗函数的特性 对称有限区间的窗函数的幅度响应有稳定的主瓣和衰减的旁瓣，可以全为正，也可以改变符号。窗函数的幅度参数包括:旁瓣峰值电平(PSL),单位d

39、B延迟率Ds,单位为dB/dec窗函数的频率参数包括：主瓣宽度WM、3dB6dB宽度（W3和W6）到达旁瓣峰值电平时的宽度Ws典型窗的频谱高频衰减wP3W6WsWMWP707. 0P5 . 0PSL.134)2/sin()2/sin()()()1(21dBNBeWewwNeWnRnWjwRwNjjwRNR第一副瓣比主瓣低的主瓣宽度为（其频率响应为：（1）矩形窗取N=10，矩形窗频谱：N2N2.268)2/sin()4sin(2)1)1(21122)1(21012)()21(2dBNBeWewwNNeWNnNNnNnNnnWjwBrwNwjjwBrBr第一副瓣比主瓣低的主瓣宽度为（其频率响应为：

40、（2）三角形窗（Bartlett)Bartlett窗时域波形频谱(N=21)10)()12cos(1 21)()2(21)2(21)(21)(NnnRNnnWNwWNwWwWwWNRRR转换成时域为：(3)升余弦窗（汉宁Hanning窗）左移右移倒余弦由于频谱是由三个互有频移的不同幅值的矩形窗函数相加而成，这样使旁瓣大大抵消，从而能量相当有效地集中在主瓣内。其代价:主瓣加宽一倍，可达到减少肩峰，余振，提高阻带衰减。缺点：过滤带加大NB8主瓣宽度：(4)改进的升余弦窗（海明Hamming窗）)1223. 0)1223. 0)(54. 0)()()23. 0)23. 0)(54. 0)()()()

41、12cos(46. 054. 0)()12()12(NwWNwWwWwWwWeWeWeWeWeWnRNnnWRRRHmHmNwjRNwjRjwRjwHmjwHmNHm（为其幅度函数（为其频域函数NBdBNwWNwWwWwWNRRRHm8,4096.99)223. 0)223. 0)(54. 0)(1同。但主瓣宽度和汉宁窗相小第一旁瓣的峰值比主瓣，主瓣的能量约占，能量更加集中在主瓣中这种改进的升余弦窗，（时，可近似表示为：当(5)二阶升余弦窗（布拉克曼Blackman窗）)14()14(04. 0)12()12(25. 0)(42. 0)()()(04. 0)()(25. 0)(42. 0)()

42、(14cos08. 012cos5 . 042. 0)()14()14()12()12(NwWNwWNwWNwWwWwWeWeWeWeWeWeWnRNnNnnWRRRRRBlNwjRNwjRNwjRNwjRjwRjwBlNBl其幅度函数为：其频域函数为：NBwWR123)(即：倍。宽到矩形窗的但主瓣宽度却不得不加瓣，这样可以得到更低的旁阻带衰减进一步增加，使旁瓣再进一步抵消。函数，且幅度也不同的它们都是移位不同，分组成，这样其幅度函数由五部(6)凯塞窗（Kaiser窗） 以上几种窗函数是各以一定主瓣加宽为代价，来换取某种程度的旁瓣抑制，而凯塞窗则是：全面地反映主瓣与旁瓣衰减之间的交换关系，可以

43、在它们两者之间自由地选择它们的比重。2)0()(865. 744. 5. 942515)2!11)112110 ,)()()(02/ )1(120200kkNnkkwwWxIxkxINnNnIInW凯塞窗的幅度函数为曼窗。时，窗函数接近布莱克。时，窗函数接近汉明窗当典型数据为幅度减小，加大，主瓣加宽，旁瓣一般。参数可以控制窗的形状求，项，便可以满足精度要取（一般（其中（式中贝塞尔函数组成。凯塞窗是由零阶第一类设计Kaiser窗的经验公式 在Kaiser窗基础上建立了估算FIR滤波器长度的经验公式。先计算出通带峰值波纹p,阻带峰值s ，选择其中最小的一个作为波纹参数 :),min(1011011

44、020/20/20/spAsAApsPP波纹参数用于重新计算实际阻带衰减As0(单位为dB)dBAdBAdBAAdBAAssssss2105021)21(0251. 0)21(186. 050)7 . 80351. 00004 . 0000（Kaiser窗参数由实际阻带衰减As0按下式估算而得：dBAFFdBAFFANNdBAspsspsss2119222. 0211)(36.1495. 7log200000可近似得出为最后，长度以下给出上面各窗函数的时域波形各窗函数的时域表示窗函数表达式Wn -0.5(N-1)n0.5(N-1)Boxcar 1Bartlett HanningHammingB

45、lackmanKaiser121Nn)12cos(5 .05 .0Nn)12cos(46.05 .0Nn)14cos(08.0)12cos(5 .042.0NnNn)()1/(41(020INnI以下给出上面各窗函数的频谱以下给出上面各窗函数的包络波形比较六种窗函数的基本参数）（凯泽窗布拉克曼窗海明窗汉宁窗三角形窗矩形窗阻带最小衰减（过渡带宽旁瓣峰值幅度（窗函数865.780/105774/125753/84144/83125/82521/413)NNNNNNdBwdB四、FIR窗函数法的设计步骤 （1）根据技术要求确定逼近理想滤波器的单位冲激响应hd(n).）（ 1)(21)(dweeHnh

46、jwnjwdd 如果Hd(ejw)较复杂，或不能用封闭公式Hd(ejw)表示时，则不能用(1)式求出hd(n).可用对Hd(ejw)从w=0到w=2采样M点，采样值为：）（2)(1)(2102knMjMkkMjdMeeHMnh1,2 , 1 , 0),(2MkeHkMjd并用2/M代替上式中的dw,上式近似写成：)()(0rdMrMnhnh 根据频率采样定理，hM(n)与hd(n)应满足如下关系： 因此，如果M选得较大，可保证在窗口内hM(n)有效逼近hd(n)。 实际计算(2)式，可用Hd(ejw)的M点采样值，进行M点IDFT(IFFT)得到。 如果给出通带阻带衰减和边界频率的要求，可选用

47、理想滤波器作为逼近函数，从而用理想滤波器的特性作付里叶反变换，求出hd(n)。(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数选择窗函数w(n)的形式和估计窗口长度的形式和估计窗口长度N。 设待求滤波器的过渡带用w表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。NA/w A决定窗口形式。例如：矩形窗口A=4，汉明窗A=8等 按照过渡带及阻带衰减情况，根据P353页表7-3，选择窗函数形式。原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数。(3)对理想滤波器进行加窗，计算滤波器的单位取样响应h(n)。)()()(nwnhnhd 式中w(n)是上面选择好的窗函数。如果要求线性相位，则要求hd(n)和w(

48、n)均对(N-1)/2对称。)()(nhFTeHjw(4)验算技术指司法是频满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算：10)()(NnjwnjwenheH或 计算上式时可用FFT算法。如果H(ejw)不满足要求，可根据具体情况重复(2)、(3)、(4)步，直到满足要求。100 ,)5()5(sin()(5)1(21100 ,)()(sin()(nnnwnhNnananwnhcdcd例子1 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器。.2 .011radwNc，设 解：用理想低通作为逼近滤波器，有).(),()104cos08. 0102cos5 . 042. 0()(100)()()(

49、)102cos1 (5 . 0)(100)()()(jwblbldhanhandeHnhnnnwnnwnhnhnnwnnwnhnh再求出频响分别求出其用布莱克曼窗设计：用汉宁窗设计：采用矩形窗设计：采用汉宁窗设计：采用布莱克曼窗设计： 从上可以看出： 矩形窗的过渡带最窄，而阻带衰减最小，布莱克曼窗过渡带最宽，但换来的是阻带衰减加大。 采用窗函数法，设计简单，方便，也实用。 但要求用计算机，且边界频率不易控制。窗函数设计法的特点 设计过程简单、方便实用。但边界频率不易精确控制。所以设计完以后，必须检验结果。例2 设计达到下面要求的FIR滤波器：kHzfs20且采样频率dBAdBAkHzfkHzf

50、spstp40,2,4,2解(1)这些要求描述的是一个低通滤波器，数字频率为1 .0/sppffF且有2 .0/sststffFdBAs40 (2)选择窗函数。在此选择Hanning窗，其dBAs44或选择Blackman窗dBAs74利用401 . 02)(28NFFNwsp利用601 . 02)(212NFFNwsp (3)选择15.0)(5 .0spcFFF用加窗法给出所需低通滤波器的冲激响应为为截止频率，求得理想低通滤波器的冲激响应为)3 . 0(sin3 . 0)2(sin2)(ncnFcFnhccN)3 . 0(sin)(3 . 0)()()(ncnwnhnwnhNlp 以上每种滤

51、波器的设计都达到设计要求(但都过高估计了长度），Blackman窗要求的长度较大是由于As和w之间相差较大。它还有较大的过渡带宽度。最小长度设计： 通过反复试验，符合设计要求的截止频率及最小长度。对Hanning窗为Fc=0.1313,N=23；其通带与阻带衰减为1.9,40.5dB。对Blackman窗为Fc=0.1278,N=29；其通带与阻带衰减为1.98,40.1dB。虽然，这些滤波器长度短了许多，但都达到设计要求。 看出：窗函数设计法步骤：1.选择滤波器的长度2.选择适当As(阻带衰减）,Aws(旁瓣衰减）3.选择截止频率用Fc=0.5(Fp+Fs)，符合要求的最小长度的实际频率常低

52、于此值。截止频率受滤波器长度N的影响。最小长度N的确定从上述Fc值开始，通过改变（通常减小）长度和（或）扭绕（通常降低）Fc直到达到要求为止（通常在通带边界。五、频谱变换 非低通FIR滤波器的设计由低通原型出发，通过适当的频谱变换将它转变为要求的滤波器类型，这些频谱变换由DTFT的移位与调制特性得出。与模拟和IIR滤波器不同，这些变换不改变滤波阶数（或长度）。出发点是理想低通滤波器，有单位通带增益和截止频率Fc,它的加窗冲激响应hlp(n)为) 1( 5 . 0) 1( 5 . 0),()2(sin2)(NnNnwnFcFnhcclp其中，w(n)是长度为N的窗函数。如果N为偶数，序号n为非整

53、数值。 低通到高通(LP2HP)的变换方法有两种。 第一种变换只适用于滤波长度N为奇数的情况，有2) 1(2) 1(),()2(sin2)()(NnNnwnFcFnnhnnhcclpHp（ 其截止频率为FH=0.5(Fp+Fs)，等于低通滤波器的截止频率Fc.1、低通到高通的频谱变换 第二种变换（假定因果低通原型Hlp(n)对任意长度N均适用，有关系式) 1(0),()2(sin) 1( 2)() 1)(NnnwnFcFnhnhccnlpnhp（ 其截止频率为FH=0.5-0.5(Fp+Fs).要设计截止频率为FH = 0.5(Fp+Fs)的高通滤波器，则必须从截止频率为Fc= 0.5-0.5

54、(Fp+Fs)的低通滤波器开始。 带通是关于中心频率F0算术（非几何）对称，如果频带边界以增序列排列为F1,F2,F3,F4, 算术对称就意味着F1+F4=F2+F3=2F0 而且还意味着相等的过渡带宽度。若过渡带宽度不等，就需要重定位频带边界，以使两个过渡带宽度都等于较小的宽度。 设中心频率为F0低通滤波器的截止频率为Fc)( 5 . 0320FFF2、低通到带通(LP2BP)的频谱变换043)( 5 . 0FFFFc2)1(2)1()()2cos()2(sin4)(0NnNnwnFnFcFnhccBp 带通是关于中心频率F0算术（非几何）对称，如果频带边界以增序列排列为F1,F2,F3,F

55、4, 算术对称就意味着F1+F4=F2+F3=2F0 而且还意味着相等的过渡带宽度。若过渡带宽度不等，就需要重定位频带边界，以使两个过渡带宽度都等于较小的宽度。 设中心频率为F0低通滤波器的截止频率为Fc)( 5 . 0320FFF3、低通到带阻(LP2BS)的频谱变换043)( 5 . 0FFFFc2)1(2)1()()2cos()2(sin4)()(0NnNnwnFnFcFnnhccBs总结 加窗滤波器在|n|0.5(N-1)上的冲激响应:低通：) 1( 5 . 0) 1( 5 . 0),()2(sin2)(NnNnwnFcFnhccp高通) 1( 5 . 0) 1( 5 . 0)()(N

56、nNnhnnhpHp（带通) 1(5 . 0) 1(5 . 0)2cos()(2)(0NnNnFnhnhpBp带阻) 1(5 . 0) 1(5 . 0)()()(NnNnhnnhBpBs例3-半带滤波器(half-band)方法 FIR滤波器有奇长度冲激响应h(n),它的交替采样值为零。半带滤波器的主要优点在于它的实现只要求一半乘法实现只要求一半乘法。理想低通滤波器的冲激响应是) 1( 5 . 0|)5 . 0(sin5 . 0)2(sin2)(NnncFnFcFnhccc这样，对于偶数n,h(n)=0,故滤波器长度N为奇数。若为情况1序列，它的传递函数关于F=0偶对称。它也关于F=0.25反

57、对称，有)5 . 0(1)(FHFH由于带阻和带通滤波器的冲激响应中有项2cos(2nF0)hlp(n)。选定F0=0.25（中心频率）使奇序号项消失。同样不能任意选择采样频率fs,它必须等于4f0来确保F0=0.25.即使这样的采样频率也有可能引起混叠，混叠将主要限定在fp到fs间的过渡带内，过渡带的效果要求不严格。 高通半带滤波器也要求Fc=0.25,如果选择Fc=0.5(Fp+Fs),则采样频率不能随意选择，它必须等于2(fp+fst)才能保证Fc=0.25. 除限定采样频率fs(它决定低通与高通滤波器Fc的选择，或决定带通与带阻滤波器F0的选择和奇长度序列外，半带滤波器加窗法设计的步骤

58、与其他滤波器相同。1115 . 0005 . 0)(FHF设计半带FIR滤波器的方法：(1)确定S=2(fp+fs)(对LPF和HPF)或4f0(对BPF和BSF）。（2）对低通原型求出Fp和Fs,并选择Fc=0.5(Fp+Fs)（3）选定滤波器长度N为奇数。（4）计算原型的冲激响应h(n)=2Fcsinc2nFc,|n|0.5(N-1).（5）给冲激响应并用频率变换得出要求的滤波器。（6）如果超过了设计要求，则减小N值(每次减2）直到正好符合设计要求为止。例4(半带滤波器设计）设计半带低通滤波器，达到如下技术指标：通带边界：8kHz,阻带边界16kHz,dBAdBAsp501解：选择S=2(

59、fp+fs)=48kHz,数字频带边界为：25. 0,31,61cspFFF且滤波器的冲激响应为:h(n)=2Fcsinc2nFc=0.5sinc(0.5n) |n|0.5(N-1)(1)如果选择Hamming窗，可用表中查出得出奇数的滤波器长度为：主瓣宽度：)(28psFFNw24614N N的值符合技术指标要求。超指标设计，减小到N=21，其为最小长度，此时dBAdBAsp9 .53033. 0(2)如果选择Kaiser窗，可如下计算滤波器长度N和Kaiser窗参数4431.1)7 .8(0351.01957.181)(36.1495.750log2000316.000316.010057

60、5.011011000020/20/20/spsssAsAApAFFANAspp 因此，冲激响应为99)5 . 0(sin5 . 0)(nncFnhcN 对hN(n)加窗，得出所需的冲激响应hw(n). 设计此滤波器满足指标要求：dBAdBAsp06.52033. 0频率抽样法 由于窗函数设计法是从时域时域出发的一种设计法，但一般技术指标是在频域频域给出的。 因此，采用频率采样法更为直接，尤其对于Hd(ejw)公式较复杂，或Hd(ejw)不能用封闭公式表示而用一些离散值表示时，频率采样设计法更为方便，有效频率采样设计法更为方便，有效。频率抽样法基本原理 频 率 抽 样 法 从 频频 域域 出出