导数与微分教案

1、 数学基础 教案标题2.1导数的概念编号【教学目的要求】掌握和理解导数的定义，可导与连续的关系，导数的几何意义 【教学重点】可导与连续的关系，导数几何意义【教学难点】导数的几何意义【教学方法】讲授【教学时数】实施步骤教学内容提要时间【课外作业】 教 学 内 容 （教 学 时 数： ）一、 导数概念的引例在实际问题中，经常需要讨论自变量的增量与相应的函数的增量之间的关系，例如，它们的比以及时的极限下面讨论曲线的切线问题这个问题在历史上都与导数概念的形成有密切的关系曲线的切线的斜率图2-1首先介绍曲线在一点处的切线，如图2-1所示在曲线上取与邻近的一点，作割线，当沿着曲线逐渐向点接近时，割线将绕着

2、点转动，当点沿着曲线无限接近时，割线的极限位置就叫做曲线在点处的切线下面求曲线在点处切线的斜率，设割线的倾斜角为，则割线的斜率为又设切线的倾斜角为，那么当时，割线的斜率的极限就是切线的斜率，即 （）二、导数的定义 定义1  设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应函数取得增量备注：；如果当时与之比的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 也可记作，或.如果在区间（）中的每一个确定的值，对应着一个确定的导数值，这样就确定了一个新的函数，此函数成为函数的导函数。即= ，也可记作，或.在不致发生混淆的情况下，导函数也简称导

3、数.三、求导数由导数的定义，可以求得函数的导数的一般步骤：（1） 求函数的增量： （2） 求比值：=（3） 求极限：例1求函数 (为正整数)在的导数.解: =即 例2求函数的导数解: = =即，类似地，可求得用导数的定义还可求得 当时，有四、左、右导数既然导数是比值当的极限，那么，下面两个极限 ，分别叫做函数在点处的左导数和右导数，且分别记为和.根据左、右极限的性质，我们有下面定理：定理1函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等例3 求函数在处的导数解: 函数在处的左导数=-1及右导数=1虽然都存在，但不相等，故在处不可导(如图2-2)图2-2五、导数的几何意义由本节

4、中切线问题的讨论及导数的定义可知：导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即 =     （其中是切线的倾角）根据导数的几何意义，并且应用直线的点斜式方程，曲线在点处的切线方程为 如果，那么曲线在点处的法线方程为 例4 求曲线的通过点（1，4）的切线方程解: 因为，由导数的几何意义知，曲线在点 （1，4）处切线斜率为，所求的切线方程为： 即 六、 函数的可导性与连续性的关系定理2  如果函数在点处可导，则函数在该点必连续例5 讨论在处的连续性与可导性。解: 根据导数的定义有，其极限值不存在，所以函数在处不可导。由以上讨论可知，函数在某点连续是函

5、数在该点可导的必要条件，但不是充分条件. 基础数学 教案标题2.2函数的求导法则编号【教学目的要求】掌握基本初等函数的导数公式，四则运算求导法则，复合函数求导法则 了解反函数求导高阶导数 【教学重点】四则运算求导法则，复合函数求导法则【教学难点】，复合函数求导法则【教学方法】讲授【教学时数】实施步骤教学内容提要时间【课外作业】 数学基础 教案教 学 内 容 （教 学 时 数：）一、 函数求导法则定理1 如果函数在处都可导，则函数在点处可导，且 。定理2 如果函数在点处都可导，则函数在点处可导，且函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积，加上第一个因子与第二

6、个因子的导数的乘积这个法则也可以推广到任意有限个函数之积的情形. 特别地，若（为常数），那么这就是说常数因子与函数乘积时，常数因子可以提到求导记号的外面.定理3 如果函数在点处都可导且，则函数在点处可导，且例1 ，求.解: =例2 ，求.解: =例3设 ，求.解: 备注：常见基本求导公式表如下：1、，2、，3、4、，5、，6、7、，8、，9、10、，11、，12、，13、，14、，15、，16、。二、复合函数求导定理4 如果函数在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为例4 求的导数.解： 函数可以看作由函数复合而成的，由复合函数求导法则得=例5 求的导数.解： 例6 求的导数.解：

7、 先化简，再求导： 三、反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且或例7 求下列函数的导数.（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（3）例8 求函数的导数.解： 因为是的反函数，所以 即 =类似地，可推得 =例9 求下列函数的导数.（1）；（2）。解：（1）（2）四、高阶导数1.定义：函数的导数仍为的函数，我们把的导数叫做的二阶导数，记作或或即 相应地，把的导数叫做的一阶导数。类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数。一般地，阶导数的导数叫做阶导数,分别记作：或或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。2.注：由高阶导数定义可见，求高阶导数就是多次接连求导，用前面学

8、过的求导方法来计算高阶导数即可。例2：求下列函数的阶导数 （1） （2）解：（1） （2） 时 例3：求的阶导数。解： 备注： 忠信笃行 自强不息 南昌工学院教学档案 基础数学 教案标题2.3隐函数及由参数方程确定的函数的导数编号【教学目的要求】会求隐函数的导数，求由参数方程确定的函数的导数，会求相关变化率。【教学重点】隐函数的导数，求由参数方程确定的函数的导数【教学难点】参数方程求导【教学方法】讲授【教学时数】实施步骤教学内容提要时间【课外作业】 数学基础 教案教 学 内 容 （教 学 时 数： ）一、隐函数的导数 我们在前面所遇到的函数，都可以表示为的形式，如，等，这样的函数叫做显函数.

9、有时，我们会遇到用另外一种形式表示的函数，就是与的函数关系是由一个含和的方程所确定，例如中，如果当变量在某一范围内取值时，总有相应的变量与之对应以满足方程，则称方程在该区域内确定是的隐函数.称)是方程确定的隐函数的显式.例如方程确定的隐函数的显式是.将方程确定的隐函数表达为初等函数形式的显式称为隐函数的显化.但有时显化是困难的，有时是不可能的（如隐函数不是初等函数）.如.在实际问题中，求隐函数的导数并不需要先将隐函数显化，而是可以利用复合函数的求导法则，将方程两边同时对求导，并注意到其中变量是的函数，就可以直接求出隐函数的导数.例1 求方程确定的隐函数 的导数.解： 等式两端对x求导数，得，

10、，（在等式的左端对求导过程中，视为复合函数的中间变量，因为即有 ）解得 .一般地，设方程确定了隐函数，并设这隐函数已代入，则方程是恒等式（即），在恒等式两端对求导（左端的求导过程中，视为复合函数的中间变量），得，从中解出，即是隐函数的导数=.例2求由方程确定的隐函数在点 = 0处的导数.解： 将= 0代入方程，得= 0. 方程两端对求导，得将= 0， = 0代入上式，解之得 .备注：注： 对于求导函数利用三角公式、代数恒等式等先进行整理再求导，可简化运算. 求多个因式连乘除或乘方的函数的导数时，如用“商的求导法则”求导，必然带来冗长的运算下面介绍一个较为简便的方法对数求导法.具体方法是先对等式

11、两端取对数，再按隐函数求导法则运算通过下面的两个例子介绍对数求导法： 例3 求函数的导数.解： 等式两端取对数,得 两端对x求导，即得 对于幂指函数，对数求导法也很有效.例4 求的导数.解法1： 等式两端取对数，得 ，两端对求导，得，所以， 解法2： 因为 ，按复合函数求导法则，有 =.二、参数方程所确定的函数的导数设有参数方程 它可以确定变量与之间的一个函数关系，称此函数为由参数方程确定的函数很多实际问题所确定的函数关系是由参数方程给出的.设其中有反函数，视是中间变量，由复合函数概念就建立了与的函数关系.根据复合函数求导法则，有， 或 ；再根据反函数求导法则 （），代入上式，得到，或 这就是

12、参数方程所确定的函数的求导法则.例5 已知椭圆的参数方程为 求椭圆在的相应点处的切线方程.解： 由 得， 椭圆在点的切线方程的斜率为；所以，所求的切线方程为： ，即. 忠信笃行 自强不息 南昌工学院教学档案 基础数学 教案标题2.4 函数的微分编号【教学目的要求】掌握微分的定义，几何意义，微分形式的不变性，微分公式与运算法则【教学重点】 微分的定义，微分形式的不变性【教学难点】 微分的运算【教学方法】讲授【教学时数】实施步骤教学内容提要时间【课外作业】 数学基础 教案教 学 内 容 （教 学 时 数： ）一、 微分的概念定义1 设函数在点的某邻域U () 内有定义，且+ Î U ()

13、. 如果函数的增量可以表示为的线性函数与一个比高阶的无穷小的和，即 （A为与无关的常数）,称函数在点处可微，并称A 为函数在点处的微分，记为 ，即 .由定义可见,所谓函数在点可微，即函数在点的改变量可以表示为两项之和：第一项是的线性函数，它是便于计算的的线性函数，是表达的主要部分（可以证明它与在条件下是等价无穷小），故把第一项称为的线性主部.第二项是比无穷小高阶的无穷小，它的具体表达式往往是复杂的，但在相当小时，在近似计算中可以忽略不计即有 .如果函数在点可微，如何求常数A？下面的定理不但解决了这个问题，而且还给出了可微与可导的关系.定理1 函数在点处可微的充分必要条件是函数在点处可导.由微分

14、的定义，比较两者，即得 ，即自变量的微分等于自变量的改变量.于是，可以微分表达式 改为. (1)今后，以(1)作为函数的微分的表达式.实际上我们使用的导数的记法就是由(1)式得到，因此导数又称作微商(微分之商).例1 分别计算函数在点处，时的增量和微分.解：因为 =, ；所以时， ， ；时， ， .备注：由此题可见：若用代替可以简化计算，其误差也较小，且越小，误差就越小.为了更好的理解微分的概念，我们探讨一下微分的几何意义.二、 微分的几何意义 设是函数的图形曲线上的一定点,给自变量有微小增量时，可得y Q P M dy 0 x0 x0+Dx x曲线上另一点，由图2-4知： ，设曲线在点的切线

15、的倾角为a ，则， 图2-4 所以，当是曲线上割线的增量，就是曲线切线的相应增量.三、 微分公式与微分运算法则由可知，要计算函数的微分,只要求出函数的导数,再乘以自变量的微分就可以了,所以我们从导数的基本公式就可以直接推出微分的基本公式和法则.1基本初等函数的微分公式由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式为了便于对照，上表所示。2 函数和、差、积、商的微分法则由于函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则为了便于对照，列成下表（表中都可导）3. 复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性）一阶微分形式不变性：设是可微函数，则无论是自变量，或是另一个变量的可微函数，都同样有例2 求的微分.解：例3 求的微分.解： 例4 求有方程确定的隐函数的微分.解： 对所给方程的两边分别求微分,得 由于,故上式可化为 四、微分的应用1、在近似计算中的应用在点处的导数，且很小时，有即 （1）亦即 （