高考数学一轮复习 抽象函数知识梳理2 苏教版

1、抽象函数考情说明：函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数掌握抽象函数单调性的判断方法等等。要善于挖掘抽象函数定义内涵，研究抽象函数的一些性质。会利用单调性、奇偶性解抽象函数值域问题，解抽象不等式等。知识点说明：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题

2、既能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题，归纳梳理：1.抽象函数与它的代表函数抽象函数满足条件 代表函数 （）或 或 或经典讲练：【1.定义域：】解决抽象函数的定义域问题明确定义、等价转换。例：若函数的定义域为，求函数的定义域。解析：由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：。所以函数的定义域为.总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具

3、有相同的取值范围），如本题中的与的范围等同。【2.值域：】解决抽象函数的值域问题定义域、对应法则决定.例：若函数的值域为，求函数的值域。解析：函数中定义域与对应法则与函数的定义域与对应法则完全相同，故函数的值域也为.总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。【3.周期性：】解决抽象函数的周期性问题充分理解与运用相关的抽象式是关键。例：设是定义在R上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数。证明：由的图象关于直线对称，得，又是定义在R上的奇函数，所以，则由周期函数的定义可知4是它的一个周期。总结：一般地，,均可断定函数的周期为2T。【4.奇偶性：】解决抽象函数的奇偶性问题紧

4、扣定义、合理赋值。例：已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：。判断的奇偶性，并证明你的结论。解析：令 ，则，得； 令 ，则，得；令 ，得，得因此函数为奇函数。总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。【5.单调性：】解决抽象函数的单调性问题紧密结合定义、适当加以配凑。例：设是定义在-1，1上的奇函数，且对于任意的，当时，都有：。若，试比较与的大小。解析：，又，即。总结：本题实质上是证明函数的单调性，有时也用到（或）来判断。抽象函数的单调性，一般不用导数判断。【6.可解性：】由抽象式求解析式问题视为未知数，构造方程（组）。例：设函数满足，求。解析：以代，得， 以代，得， +-得

5、：所以 总结：在所给的抽象式中紧紧围绕，将其余的式子替换成，构造一个或几个方程，然后设法求解。经典训练：1.已知的定义域为，则的定义域为 . 2.函数的值域，则的值域为 （第7届希望杯）3.【南通四星高中10押题】14. 己知：函数满足，又则函数的解析式为 .24.【唐山一中】若奇函数f(x)为满足，且，则 . -25.已知函数对任意实数，均有且当时，试判断的单调性，并说明理由.【判断抽象函数的单调性，若能从“源头”入手，设法找出此类函数的原型函数据原型函数的单调性先作出判断，再类比其论证方法，即可轻松获解】6.设定义在R上的函数满足，若，则= .7.【启东市08高三阶段第一次调研】21（本题满分16分）求出所有的实数集到其本身的映射，使得对于任意的实数，均有 （1）求证：为奇函数；（2）求证：；（3）求的表达式。8.已知中，且则= .-3*9.设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“方程有实数根；函数的导数满足”()判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；()若集合M中的元素具有下面的性质：“若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”试用这一性质证明：方程只有一个实数根；()设是方程的实数根，求证：对于定义域中的任意的，当且时，*10.已知函数满足下列条件：