1.2chapter多元函数的概念、极限与连续ppt课件

1、教学要求：教学要求：1. 理解多元函数的概念理解多元函数的概念; 2. 了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭 区域上连续函数的性质区域上连续函数的性质. .预备知识预备知识一一 .多多元元函函数数的的概概念念二二 .多多元元函函数数的的极极限限三三 .多元函数的连续性多元函数的连续性四四 .预备知识预备知识一一1. 邻域邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yx

2、P的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU， .)()(0| ),(),(20200 yyxxyxPU,| ),(),(000 yyxxyxPU2. 区域区域.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE .EE 的的内内点点属属于于EP .为为开开集集则则称称的的点点都都是是内内点点，如如果果点点集集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点

3、（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 连通的开集称为开区域连通的开集称为开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区

4、域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则则称称为为无无界界点点集集为为有有界界点点集集，否否成成立立，则则称称对对一一切切即即，不不超超过过间间的的距距离离与与某某一一定定点点，使使一一切切点点如如果果存存在在正正数数对对于于点点集集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx3. 聚点聚点 设设 E 是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，P 是平面上的是平面上的一个点，如果点一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集多个点属于点集 E，则称，则称 P 为为 E 的聚点的聚点.(1) 内点一定是聚点；内点一定是聚点；(2) 边界点可能

5、是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx如如(0,0)既是边界点也是聚点既是边界点也是聚点.(3) 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10| ),(22 yxyx如如(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合.1| ),(22 yxyx如如边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合 .多多元元函函数数的的概概念念二二 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，如如果果对对于于每每个个点点DyxP ),(，变变量量 z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称 z是是变变量量yx,的的

6、二二元元函函数数，记记为为),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）. . 1. 二元函数的定义二元函数的定义2. 二元函数的定义域二元函数的定义域(1) 使得算式有意义的使得算式有意义的x,y的变化范围所确定的点集的变化范围所确定的点集. (2) 使得实际问题有意义的使得实际问题有意义的x,y的变化范围所确定的点集的变化范围所确定的点集. (3) 二元函数的定义域一般来说是平面上的区域二元函数的定义域一般来说是平面上的区域. (4) 二元函数的两要素是定义域和对应法则二元函数的两要素是定义域和对应法则. .,)3arcsin(),( . 1222并作图并作图的定义域的定义域求求yxyxyx

7、fex Solution. 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 注意注意: 平面区域通常用字母平面区域通常用字母D表示表示. 4. 222222并并作作图图的的定定义义域域求求zyxyxzuex Solution.,04022222 zyxyxz,422222 zyxyxz故所求定义域为故所求定义域为 .4,| ),(22222 zyxyxzzyxxyzo ?)ln(ln)(ln . 3是是同同一一函函数数吗吗与与yxxzyxxzex Solution. , 0)( )(ln yxxyxxz的的定定义义域域为为 ,00 )l

8、n(ln yxxyxxz的定义域为的定义域为 )ln(ln)(ln不不是是同同一一函函数数与与yxxzyxxz ).,(,),( . 422yxfyxyxyxfex求求设设 Solution. )(),(yxyxyxyxf 2)(yxyxyx ,)(112yxyxyx .11),(2xyyyxf 3. 二元函数的几何意义二元函数的几何意义),(yxfz 0),( yxfz0),( zyxF一般曲面一般曲面.),(),(),(决定决定过过通通上点上点由平面区域由平面区域曲面上点曲面上点yxfzyxPDzyxM 如图如图4. 多元函数的定义多元函数的定义 .,),(, 11记记为为元元函函数数的的

9、为为则则称称的的值值和和它它对对应应按按照照一一定定法法则则总总有有确确定定变变量量如如果果对对于于每每一一个个点点维维空空间间内内的的点点集集设设有有nxxuuDxxPDnnn ),(21nxxxfu ),(:xfy 一元函数一元函数一个自变量一个自变量. ),(:yxfz 二二元元函函数数两个自变量两个自变量. ),(:zyxfu 三三元元函函数数三个自变量三个自变量. ),(:1nxxfun 元函数元函数n个自变量个自变量. n元函数在几何上表示元函数在几何上表示n+1维空间上的一般曲面维空间上的一般曲面. 注意注意. (1) 多元函数也有单值函数和多值函数，如多元函数也有单值函数和多值

10、函数，如2222azyx 在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后再分别加以讨论再分别加以讨论.(2) 多元函数也有分段函数，如多元函数也有分段函数，如 0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf(3) 点函数点函数u=f(P)能表示所有的函数能表示所有的函数.5. 函数有加减乘除数乘及复合运算函数有加减乘除数乘及复合运算(略略) .多多元元函函数数的的极极限限三三1. 二元函数的极限二元函数的极限 描述性定义描述性定义 .,),(,),(, ),(),(,),(,),( 00000000记为记为时的极限时的极限当当为为则称数则称数数数的常的常就无限

11、接近于一个确定就无限接近于一个确定对应的函数值对应的函数值时时以任何方式趋近于点以任何方式趋近于点如果点如果点其聚点其聚点是是的定义域为的定义域为设函数设函数yyxxyxfzAAyxfyxPyxPyxPDyxfz ,),(lim00Ayxfyyxx .),(lim ),(),(00Ayxfyxyx 或或精确定义精确定义.,),(. ),( ),( )()(0 , 0, 0 .,),(,),( 002020000时的极限时的极限当当为为则称则称成立成立都有都有的一切的一切对于适合对于适合若若是常数是常数其聚点其聚点是是的定义域为的定义域为设函数设函数yyxxyxfzAAyxfyxyyxxRAyx

12、PDyxfz 利用点函数给出的定义利用点函数给出的定义.)(,0, 0, 00 APfPP有有时时当当2. 二元函数极限的计算二元函数极限的计算 计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法一些法则与方法. 对于未定型，不再有对于未定型，不再有LHospital法则，须化成确定型法则，须化成确定型. . 01sin)(lim . 5222200 yxyxexyx求求证证Proof. 01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 01sin)( 2222yxyx要要使使 22 yx只要只要 22 yx即即 取取,

13、)0()0(022时时当当 yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立. 0lim . 62200 yxxyexyx求求证证Proof. 022 yxxy22yxxy 222yx , 0 ,0 22 yxxy要要使使,2 22 yx只要只要 2 22 yx即即,2 取取,)0()0(022时时当当 yx.022 yxxy原结论成立原结论成立).1cos1sin(lim . 700 xyyxexyx 计算计算Solution. xyyx1cos1sin0 xyyx1cos1sin yx )0, 0( 0yx由夹逼准则得，由夹逼准则得，. 0)1cos1sin(lim00 xyyxy

14、x.)(lim . 8)(22yxyxeyxex 计算计算Solution. )(22)(0yxeyx )(2)(yxeyx tttyxyxyxeteyx 2)(2lim)(limttet2lim 02lim ttet. 0)(lim)(22 yxyxeyx3. 确定极限不存在的方法确定极限不存在的方法 ., ,),(),(000就就可可断断定定此此极极限限不不存存在在不不同同值值函函数数趋趋于于时时以以不不同同方方式式趋趋于于当当yxPyxP在在(0,0)处时处时, 一般选择下列极限方式：一般选择下列极限方式：; )4(; )3(;0 )2(;0 )1(2kxykxyyx ).,(lim,0

15、 00 )( . 900222222yxfyxyxyxxyx,yfexyx 计计算算设设Solution. ),(lim),(lim00kxxfyxfxxkxy 22220limxkxkxx 21kk 其值随着其值随着k的不同而改变的不同而改变.故所求极限不存在故所求极限不存在. 4. 多元函数的极限多元函数的极限 利用点函数的形式有利用点函数的形式有n元函数的极限元函数的极限.)(. )( ,0 , 0, 0 .,)(000时时的的极极限限当当元元函函数数为为则则称称成成立立都都有有的的一一切切点点使使得得对对于于适适合合不不等等式式若若是是常常数数是是其其聚聚点点的的定定义义域域为为元元函

16、函数数设设PPPfnAAPfDPPPAPDPfn .)(lim 0APfPP 记为记为 .多元函数的连续性多元函数的连续性四四1. 连续性定义连续性定义.)()()(lim ,)(0000处连续处连续在在元函数元函数则称则称如果如果是其聚点是其聚点的定义域为的定义域为元函数元函数设设PPfnPfPfPDPfnPP .)(,)(00的的间间断断点点为为则则称称处处不不连连续续在在若若PfPPPf.),(),(),(),(lim 000000连连续续在在则则称称若若yxyxfzyxfyxfyyxx ;),( (1) 00不不存存在在若若yxf ;),(lim (2) 00不存在不存在或或yxfyy

17、xx).,(),(lim(3) 0000yxfyxfyyxx 或或.),(),(00的的间间断断点点是是则则yxfzyx . 11sin22上上间间断断在在 yxz122 yx. 0 00 )(222222间断间断在在 yxyxyxxyx,yf)0 , 0(2. 闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在

18、D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次(1) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2) 介值定理介值定理(3) 多元连续函数的和、差、积、商、复合多元连续函数的和、差、积、商、复合 函数仍为连续函数函数仍为连续函数.(4) 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数.(5) 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初初等等函函时时，如如果果一一般般地地，求求(6).11lim .1000 xyxyexyx 求求Solution.)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 .)ln(lim .112201yxex