1.2变量与函数ppt课件

1、第一章第一章 函函 数数一、集合一、集合 常量与变量常量与变量二、函数概念二、函数概念三、函数的几种特性三、函数的几种特性四、反函数四、反函数五、小结五、小结 思考题思考题.变量与函数变量与函数一、集合 常量与变量1.1.集合集合: :具有某种特定性质的事物的总体具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素组成这个集合的事物称为该集合的元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集无限集无限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就说说则则必必若若BABxAx .BA 记作记作数集分类数集分类:N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R

2、-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZN .,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为空集不含任何元素的集合称为空集.)(记记作作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.2.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记记作作oxaboxabbxax

3、bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记记作作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.3.3.邻域邻域: :. 0, 且且是是两两个个实实数数与与设设a).,(0 aU记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径 . ),( axaxaUxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a. 0),(0 axxaU,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 4.4

4、.常量与变量常量与变量: : 在某过程中数值保持不变的量称为常量在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意注意常量与变量是相对常量与变量是相对“过程而言的过程而言的.通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为变量而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示变量等表示变量.5.5.绝对值绝对值: : 00aaaaa)0( a运算性质运算性质:;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或绝对值不等式绝对值不等式:二、函数概念1.1.引例与定义引例与定义 圆内接正多

5、边形的周长圆内接正多边形的周长nnrSn sin2, 5 , 4 , 3 n3S5S4S6S圆内接正圆内接正n 边形边形Orn )因变量因变量自变量自变量.)(,000处处的的函函数数值值为为函函数数在在点点称称时时当当xxfDx .),(称为函数的值域称为函数的值域函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集DxxfyyW 数集数集D叫做这个函数的定义域叫做这个函数的定义域)(xfy ()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f2.2.函数的两要素函数的两要素: :定义域与对应法则定义域与对应法则.xyDW约定约定: 定义域是使表达式有意义的自变量能取定义域是使表达式有意义的

6、自变量能取的一切实数值的一切实数值.21xy 例例如如， 1 , 1 : D211xy 例例如如，)1 , 1(: D定义定义: :.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集点集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自变量在定如果自变量在定义域内任取一个数值义域内任取一个数值时，对应的函数值总时，对应的函数值总是只有一个，这种函是只有一个，这种函数叫做单值函数，否数叫做单值函数，否则叫与多值函数则叫与多值函数例例如如，222ayx (1) 符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当3.几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn(2)

7、取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大的最大整数整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线xxxx 1显然显然 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数(4) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg例：2max ,yx x220;01;1.x xxxx x 0, 10, 12)(,2xxxxxf例例如如12 xy12

8、xy在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为分段函数称为分段函数.例例1 1脉冲发生器产生一个单三角脉冲脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图其波形如图所示所示,写出电压写出电压U与时间与时间 的函数关系式的函数关系式.)0( tt解解UtoE),2(E )0 ,( 2 ,2, 0时时当当 ttEU2 ;2tE 单三角脉冲信号的电压单三角脉冲信号的电压,2(时时当当 t),(200 tEU)(2 tEU即即,),(时时当当 t. 0 U其表达式为其表达式为是一个分段函数是一个分段函数,)(tUU ),(, 0,

9、2(),(22, 0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E )0 ,( 2 例例2 2,20, 101, 1)( xexxxfx设设解解21 :)(，的定义域为的定义域为 xf110)0( f.)()1()0(的的定定义义域域及及、求求xfff11)1(1 eef三、函数的几种特性M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfMXxDX 1函数的有界性函数的有界性:.)(否则称为无界否则称为无界上有界上有界在在则称函数则称函数Xxf2函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及

10、及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI ;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()( 21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI.)(上上是是单单调调减减少少的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI )()( 21xfxf 恒有恒有3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD 则则,)()(xfxf yx)(

11、xf )(xfy ox-x)(xf;)(为为偶偶函函数数称称xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD 则则),()(xfxf .)(为为奇奇函函数数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指最小正周期）（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如如果果存存在在一一个个不不为为零零的的)()(xflxf 且且为周为周则称则称)(xf.)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立例

12、例3 3解解.,)()()(并并求求其其周周期期是是周周期期函函数数均均对对称称，证证明明与与的的图图形形关关于于直直线线，函函数数设设xfybabxaxRxxfy )()(),()(xbfxbfxafxaf )()()(xaafxaafxf （由条件知：由条件知：)2(xaf )2()2(axbbfaxbbf )(xf故故是周期函数，且是周期函数，且是它的一个周期是它的一个周期.)(2ab )(2(abxf 四、反函数0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函函数数oxyDW)(yx 反反函函数数o)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反

13、函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 五、小结1.基本概念基本概念集合集合, 区间区间, 邻域邻域, 常量与变量常量与变量, 绝对值绝对值.2.函数的概念函数的概念3.3.函数的特性函数的特性有界性有界性, ,单调性单调性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .4.反函数反函数思考题思考题设设0 x，函函数数值值21)1(xxxf ，求求函函数数)0()( xxfy的的解解析析表表达达式式.思考题解答思考题解答设设ux 1那么那么 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf一、一、填空题填空题: : 1 1、 若若2251tttf , ,则

14、则_)( tf, , _)1(2 tf. . 2 2、 若若 3,sin3, 1)(xxxt, , 则则)6( =_=_，)3( =_.=_. 3 3、不等式、不等式15 x的区间表示法是的区间表示法是_._. 4 4、设、设2xy , ,要使要使 ), 0( Ux 时，时，)2 , 0(Uy , , 须须 _._. 练练 习习 题题二、证明二、证明xylg 在在), 0(上的单调性上的单调性. .三、证明任一定义在区间三、证明任一定义在区间)0(),( aaa上的函数可表上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和示成一个奇函数与一个偶函数之和. .四、设四、设)(xf是以是以 2 2 为周期的函数，为周期的函数，且且 10, 001,)(2xxxxf, ,试在试在),(上绘出上绘出)(xf的图形的图形. .五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数