全距四分位距盒狀圖分享

1、 台北市立中崙高中:呂虹毅 國三統計單元教材分享國三統計單元教材分享2不同階段統計與機率的教學目標不同階段統計與機率的教學目標 教 學 目 標 國小報讀簡單統計圖形(長條圖、折線圖、圓形圖)並理解其概念。 國中 理解統計的意義 認識各種簡易統計方法(算.中.眾.全.四.盒)。高中樣本空間與事件.機率的性質.數學期望值.統計抽樣的意義方法次數分配表 累積次數分配曲線平均數 離差3去年和今年有何不同去年和今年有何不同去年國三去年國三(95(95學年學年) )今年國三今年國三(96(96學年學年) )一元次不等式二次函數及圖形統計:資料分配與統計圖百分位數與百分等級百分位數 圓形百分圖統計:資料分配

2、與統計圖平均數 中位數 眾數百分位數 圓形百分圖全距 四分位距 盒狀圖抽樣與調查抽樣與調查4去年和今年有何不同去年和今年有何不同百分等級:並無明確之定義，求法亦有多種，但任一 求法誤差都很大，故國中正式教材中不教 百分等級（僅補充用）。 一元次不等式:已移至國一下學習。 二次函數及圖形:去年無。 平均數,中位數,眾數:今年新增全距,四分位距,盒狀圖:今年新增5為何改變為何改變從國高中銜接觀之從國高中銜接觀之國中高中國三下 第二章平均數中位數眾數高二下 3-6平均數平均數中位數 眾數幾何平均數國三下 第二章全距四分位距盒狀圖高二下 3-7離差全距四分位差標準差6今日主題今日主題全距四分位距盒狀圖

3、7全距全距全距（全距（RangeRange）：）：一群數值資料裡，最大的資料值減去最小的資料值的差，稱為全距，有時亦以R表示。目的目的: :全距可讓我們了解一群數值資料的離散情形(變動大小)。 8全距全距-例1:甲、乙兩公司各有50位員工 公司最高薪資 最低薪資 差距甲150000 3750015000027500112500乙 96000 31500 9600031500 64500甲公司50位員工每月最高薪資與最低薪資的差距較乙公司大。 9全距（全距（RangeRange）顯示的意義：）顯示的意義： 可顯示一群數值資料的離散情形，全距愈大，表示這群資料愈疏散，全距愈小，表示愈集中。 例如:

4、甲、乙兩班均有35人，此兩班各35同學數學成績 的全距為62分與34分。 表示任意兩位甲班學生的數學成績差不超過62分， 任意兩位乙班學生的數學成績差不超過34分， 直覺上甲班的數學成績離散情形會較乙班大。10使用全距的優缺點使用全距的優缺點 優點：簡明易懂, 計算方便 缺點： 感應不夠靈敏,且容易受特別大或特別小的值 的影響 只與最大值與最小值有關,無法得知資料中 其他數值間的變化情形,容易以偏概全 11使用全距易產生的問題使用全距易產生的問題 全距只考慮整群資料的最大值與最小值，若這兩個極端值與其他資料相差較大，並不適合用全距表示這群資料的離散情形。 例如:甲班35學生的數學成績如下 12

5、使用全距易產生的問題使用全距易產生的問題 例如:甲班35學生的數學成績如下 100, 80, 86, 78, 86, 65, 56, 72, 38, 56, 55, 70, 53, 64, 53, 71, 66, 76, 79, 81, 82, 78, 74, 59, 72, 79, 80, 64, 57,63, 77, 49, 92, 90, 75 甲班全距為1003862(分) :成績分佈在5386分，相差33分 1/2:成績分佈在7086分，相差只16分 甲班成績其實相當集中，只是出現了100分與38分這 樣的極端值 763530351813高中課本全距銜接高中課本全距銜接-一一、未分組

6、資料未分組資料未分組資料由小而大排列為X1、 X2 Xn，則= Xn X1。14高中課本全距銜接高中課本全距銜接-二二、分組資料分組資料1.分組資料每組範圍只用一個數值為代表,設Y1、Y2 、 Yk為代表數,且Y1Y2、 Yk,則= Yk= Yk Y1Y1。2.分組資料中,組間分別為C0C1 、 C1C2 、 Ck-1Ck ,且C0C1C2、 Ck, 則= Ck C0。= (最後一組的上限) (第一組的下限)15如何改善如何改善? ? 改善用全距描述一群資料離散情形的方法：不考慮這群資料值較小的四分之及較大的四分之,只觀察位於資料中央百分之五十的數值之離散情形。 使用四分位距（四分位差）四分位

7、距（四分位差） 16四分位距四分位距 （Inter Quartile Range，簡寫為IRQ）： 四分位距的意義：可顯示一群數值資料中間百分 之五十的資料分散的程度。 四分位距的求法:第3四分位數(Q3)與第1四分 位數(Q1)之差 即Q3 Q117l四分位數之求法不唯一:我們採用的求法是一般最常用，亦是最易求之方法。l四分位數的求法： 25百分位數:又被稱為第四分位數(Q1) 50百分位數:又被稱為第2四分位數(M) 75百分位數:又被稱為第3四分位數(Q3) 但二者並不完全相同。如何求四分位數如何求四分位數18 Q1稱為第25百分位數:第1四分位數 亦即至少有四分之的資料小於或等於Q1，

8、也至 少有四分之三的資料大於或等於Q1。 Q2稱為第50百分位數:第2四分位數,即中位數(M) Q3稱為75百分位數:第3四分位數 亦即至少有四分之三的資料小於或等於Q3，也至少有四分之一的資料大於或等於Q3。 四分位數的意義四分位數的意義19不同的資料筆數求四分位距不同的資料筆數求四分位距l N=5: 21 23 28 30 31 N=6: 19 21 23 28 30 31 N=7: 19 21 23 28 30 31 32 N=8: 18 23 28 30 31 32 Q1=22Q3=30.5Q1=21Q1=21Q1=20Q3=30Q3=31Q3=30.520 若一群未分組資料共有n個數

9、值: 1.先將這群資料由小到大排列； 2.計算n 之值（k1、2、3），並令此 值為m 3.(1)若m非整數:而p是大於m的最小整數，則排 在第p位資料值即這群資料的第k四分位數。 (2)若m是整數:則排在第m位與m1位資料值的 算術平均數就是這群資料的第k四分位數。百分位數的求法百分位數的求法4k21 以下為三年丙班19男生體重（單位：公斤）的資 料： 57、60、62、47、52、73、65、50、46、48 78、55、68、80、64、78、82、49、53 請問三年丙班男生體重的四分位距百分位數的求法例題百分位數的求法例題22 將19位男生的體重由小到大排列如下： 46、47、48、

10、49、50、52、53、55、57、60、 62、64、65、68、73、78、78、80、82 19 4.75 第1四分位數是排在第5位的體重50公斤 19 14.25 第3四分位數是排在第15位的體重73公斤 四分位距Q3 Q1735023 百分位數的求法例題百分位數的求法例題414323高中課本四分位距高中課本四分位距(差差)銜接銜接211.資料筆數n=4k+2與4k+3時 則Q1X（k+1), Q3=X（n-k), 2.資料筆數n=4k與4k+1時 則Q1 XX（k)k)+X+X（k+1) Q3 X（n-k)+X（n-k+1) 21一一、未分組資料未分組資料24高中課本四分位距高中課本

11、四分位距(差差)怎麼說怎麼說-二二、分組資料分組資料25國高中課程國高中課程-資料筆數為4k與4k+1時資料筆數為4k+2與4k+3時不分組：例題26不同的資料筆數求四分位距不同的資料筆數求四分位距l N=5: 21 23 28 30 31 N=6: 19 21 23 28 30 31 N=7: 19 21 23 28 30 31 32 N=8: 18 23 28 30 31 32 Q1=22Q3=30.5Q1=21Q1=21Q1=20Q3=30Q3=31Q3=30.527N求法Q1MQ35(4k+1)四分22222830.530.5百分23232830306(4k+2)四分2125.530百

12、分2125.5307(4k+3)四分212831百分2128318(4k)四分2025.530.5百分2025.530.5討論：請觀察資料筆數為討論：請觀察資料筆數為4k+14k+1筆時筆時28資料筆數為資料筆數為4k+14k+1筆時筆時( (正綱研習正綱研習) )l當原始資料之個數為4k+1(當為正整數)時，Q1與25百分位數，Q3與75百分位數有時會不同。 l百分位數是合乎定義的， Q1與Q3則不合乎百分位數之定義。當使用時，只求四分位數時，要用四分位數之求法；在求百分位數時，遇到求25百分位數及75百分位數時，則需採用百分位數之求法。 29聽聽不同的聲音聽聽不同的聲音l求法不唯一,國中階

13、段以學生易懂為第一優先考量P25 , P75簡明易懂l若題目未宣告,合理求法都應接受l國中課本的編法清晰易懂30教學之因應教學之因應l避開未分組資料個數為4k+1筆(當為正整數)之命題排序之量度法有許多種：4分率(4分位數)、10分率(10分位數)、百分率(百分位數)等，這些量度法之基本觀念均相同，而其中被正式定義過的只有百分率(百分位數)，合乎定義之百分位數可能是一點(唯一解)，亦可能是一個閉區間(多解)引自正綱31五數綜合之盒狀圖五數綜合之盒狀圖(Box Plot)(Box Plot) (國中階段) 一群資料中的最小值、第1四分位數(Q1）、第2四分位數（Q2）、第3四分位數（Q3）以及最

14、大值，可將此群資料分成四部份。 圖中長方形圈起來的部份，形狀像個盒子，這種圖示即稱為這群資料的盒狀圖。32盒狀圖的功用 由一群資料的盒狀圖，可概略看出最小值Q1、Q1Q2、Q2Q3、Q3最大值這四個部份資料的分散情形，亦可觀察整體資料的分布概況。 33盒狀圖例題: 15 50 67 87 98（1）全班成績都在15分到98分嗎？是否有同學的成 績超過98分？是否有同學的成績為15分？ (2)1550分、5067分、6787分、8798分這四部 份的資料各占全部資料的幾分之幾？哪一部分 的資料可能較分散？ 34另種盒狀圖(非國中教材)10百分位數 Q1 M Q3 90百分位數35盒狀圖教學上建議

15、 建議列出最小值、Q1、Q2、Q3 、最大值這五數 36盒狀圖：盒子涵蓋整組數據的中間一半，兩端分別位於第一、第三兩個四分位數。甲班乙班丙班100806040200成績甲班乙班丙班37為何用四分位距與盒狀圖l 全距大表資料較疏散，全距小資料較集中。l 當存在少數特別大或特別小的資料時，四分位距比全距適合來描述整組資料的分散程度。l 很容易從盒狀圖看出資料集中所在和分析幾組資料間的關係。l 一起比較時，盒狀圖很有效。若只呈現單一分佈，通常不是好的選擇，因為看不到許多細節。 38了解資料整體之特性 用二個量測數據去了解整體 方法一：用特徵值，如：中心、離度、 離群值(非國中階段)方法二：用簡易圖形