最小二乘法曲线拟合(2)

1、最小二乘法曲线拟合在温室效应中研究的应用朱兰兰（100401班，学号：100401127）【中文摘要】通过对人类使用煤炭和石油以来，即从1860到2010年温度增加值 的分析，利用数字及计算定理中的最小二乘法进行曲线拟合，建立了地球平均值温度增加与时间之间的函数关系，得出2080年左右地球平均温度将比2010年增 加 度左右，到时地球冰川将会融化，引起地球洪水泛滥，海平面上升，所以保 护我们的地球刻不容缓。【关键词】温室效应；最小二乘法；曲线拟合0前言自从煤炭和石油等矿物燃料应用以来，地球大气中CO 2含量不断增加，使地球的平均温度不断上升，从而引起诸如冰川融化、海平面上升等一系列严重的环 境

2、问题，导致了沙漠化加速、洪水泛滥等自然灾害的出现，这就是人们所公知的 温室效应。虽然说生物可以消除一部分CO2，但其浓度还是加速增加，地球的平 均温度也在加速上升，从1860年到2010年，地球的温度上升了 度。（见表1）如果地球温度在2010年基础上继续上升的话，我们可以用最小二乘曲线拟合 求出若干年后地球的温度增长情况，让人类知道地球变暖的严峻形势。1算法原理给定数据（Xi,fJ（i=1,2,3,.,m）,为使逼近函数的构造简单，计算方便，并有良好的逼近性质，可采用最佳平方逼近的做法，即在集合=Spa n© o© 1,.© n中找一个函数n* *S (x)ak

3、 ：k(x), (n m)k=0(1.1 )其中误差是、i=S* (Xi)-f i, (i=1,2,3,.m)(1.2)使S*（x）满足2*2v '(Xi)、i - S(Xi) fi =sm)i'(Xi)S(Xi) - fii 4i 1' '， i4( 1.3)w(x)仝是a,b上给定的权函数，上述求逼近函数S*(x)的方法就成为曲线拟合的最小二乘法。满足关系式(1.2)的函数S*(x)称为上述最小二乘问题的最小二乘解。曲线拟合的最小二乘解实际上与前面介绍的函数平方逼近相当，只不过它是对离散的变量Xi,X2,.Xn来求解。为了求满足条件(1.2)的最小二乘解S*

4、(x)二 ao ;o - ai ;:i - .an 就要求多元函数mml(a°,ai,.an)，y：(Xi)L ak 匚(为)一 f (人)2i =1i 4* * *的极小值点(a0 ,a1an )。由多元函数取极值的必要条件=o,(j "1 n)mn可得 7(Xi)7 ak ：k(Xi) - f(Xi) :j(xj =0ik=0若引入离散情况下函数的内积记号：m(；：k, ：j)八(Xi) Jj (Xi),i 二m(f, 1)：(Xi)f (Xi)j(Xi),则得到法方程：n"(;：k, ;：j)a f(f, ;：j),(j =0,1,2,., n)( 1.4)

5、k=0它的未知源是 半。，cpn，它的系数是的克莱姆行列式，记作G。由于 线GH0,*所以方程组(1.3)有唯一解ak =ak ,(k二。,1,2,.)，从而得到由式(1.1)表达的最小二乘解S*(x),它是存在且唯一的。由上述讨论可以得到如下结论:n(1)对于给定的函数表S*(x) -7 ak (x)(i=0,1,2,.,m),在函数类=Span© 0, © 1,. © k亠nn中存在唯一函数S*(x)=v aQk(x)使得关系式(1.3)成立。7(2)最小二乘解的系数a。，印,., an可以通过解方程得到。作为曲线拟合的一种常用情况，如果讨论的是代数多项式拟合

6、，即取 0, 1,，n叫1, x,x2,.,xn那么相应的法方程(1.4)就是:i- -ixi.Z 0iXi、.2 i Xi.a+zaniXin 1'-iXi.2n iXiniXin：；1iXia2La3 一迟 OifiZ 创Xifi(1.5)m其中八(xj并且将7 简写成“、i吕n此时S (x) =7 ak Xk，称它为数据拟合多项式，上述拟合称为多项式拟合。因为任何连续k=0函数至少在一个比较小的邻域内均可用多项式任意逼近，因此，在许多实际问题中，不论具体的函数关系如何，都可以用适当的多项式做数据拟合。2算法实现1860年以来地球平均温度变化表(表1)年份 1860 1880189

7、0 1900 1906 1920 19301940 1950 1960 1970增加/士0.000.01值0.020.030.040.060.080.100.130.180.24年份 1980 19902011增加0.320.500.78值2.1基本思路根据表一数据，从1860年末起，以年份增加值为x轴，温度增加值为y轴，做出两者之 间的曲线，并确定其关系。在此基础上应用最小二乘法对两者的相关曲线进行拟合， 确定其 函数关系中的参数，即温度增长与年份增长之间的关系，并对其进行误差分析。2.2函数关系似的确立306012015018 6 4o.O,O.1860年以来地球平均温度变化表90年份増加值由图像可知，温度的增长随年份增加接近于一条指数曲线，因而选择y=aebx, ( a,b为待定2-3函数关系线性化对 y 二 aebx两边取对数的 In y = In a bx，令 u = In y , A = In a ,于是有 u = A bx，这是一个线性模型，可用最小二乘法求解。取;:0 =1，=x,要求u = A bx与(k, uj(i=1,2,3.14)做最小二乘拟合，由(1.4)得法方程：,4A+1056b = -30.1475丿A = 2