普朗特边界层微分方程的详细推导

1、学校：内蒙古工业大学专业：力学姓名：宗宇显首先，我们明白普朗特边界层方程就是对二维定常纳维-斯托克斯方程在一定情况下的简化。I二维定常纳维-斯托克斯方程-=0连续性方程dx dy22uSrx-1 ""（犁异；）x方向上的动量方程 （1.1）exbyP Sxex dyrr_2_2u卫=丫-丄生V（工V Y方向上的动量方程-x :y: :y :x :yII普朗特边界层理论相关知识2.1概念：定常绕流中流体粘性只在贴近物面极薄的一层内主宰流体运动，称这一层为边界层；边界层的流动可近似为无粘的理想流动。2.2普朗特理论的基本思想：在大 Re数（一般在5X io53X 106）绕流中

2、存在 两个流动区域，即层流和紊流。2.3边界层：流体流经固体壁面时，在固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层。2.4边界层厚度：以u=0.99Ue位置和壁面间的距离定义为边界层得厚度。故考虑到不可压缩流体作平面层流，则质量力对流动产生的影响较小，所以由 二维定常纳维-斯托克斯方程可得到去质量力的下列式子： 鱼+鱼=0连续性方程=ex 內jij-2j2u巴+v皂一&鬼+v（豊+峯）X方向上的动量方程（1.2 ）&dyP exexdy2 2u丄v'1巴v(二 仝)Y方向上的动量方程 x:y:绍 :x:ym边界层中个物理量的数量级的确定3.1边界层的厚度5 (x )量纲分析根据实

3、验条件分析，边界层厚度5 (x)可能与流体微团的所在位置x，流体速有关。设5 =k xU卩k p ',根据量纲分析法可求的:度U粘性系数卩，密度m=1, n二-1, k=1, l2 2 2Jx2Ux即：5( x)= ；u又因为Rex二兰二芈v »则关于5的关系式(1)写成无量纲的形式如下：厂iUx = Rex取物体的长度L取代上式中的x值，则公式变为'1(3)L jReL(符号“”表示数量级相同)其中Rgl称为绕流场的雷诺数。由普朗特边界层理论相关知识 2.2我们知道此次实验 雷诺数在5X 1053X 106 之间，所以从公式(3)我们可以得出结论：对长度相同的物体，

4、边界层的厚度 5是很小的，即相对于长度L的数量级是很小的。3.2几何尺寸的数量级确定由边界层的厚度5 (x)量纲分析我们可以得知：5 (x)与物体在x方向上的 长度I相比为小量，假设物体在x方向上的数量级为'(0<x< '),边界层厚度 5在y方向上的数量级为£ (0< y < £ ),则£ <<'，所以用同数量级来表达上 述关系则有：xI ,8e , ye 3.3速度数量级的确定由普朗特边界层理论相关知识 2.4我们知道流体速度u在x方向上的范围为：0< u V U,所以可以确定u与U为同数量级，

5、则有ve U/I ,其它速度导数的数量又由连续性方程 空 M = 0 ,可推得v的数量级为 ex cy级可以通过3.2几何尺寸数量级的确定来推导出,具体结果如下:x2x2:u U :u U ；v U :v ；U 1 U ；：2u U ；：2u U:x I :y : x I : y I2 2 2 2 1I : x I : y ；x2：2v U ；：2v U 1 U.x2I3 ly2I由3.1边界层的厚度8 （x）量纲分析中公式（3）我们可以推得Re数的数量级x2x2l2 为ReL3.4对方程组（1.2 )的各项进行量级分析比较3.4.1=0x2x2UIRe在上述方程中两项的量级相同，不可偏废。

6、u3.4.2 uuiiuiIUII2;2uU ix2u2u2I3（因为Re岂，所以v=uIv)Re2 2 2 2 2.；U u u .2 uI3 I3 I3I2 2肖为无穷小量可以略去。上式方程中右边的粘性项与左边的惯性项的数量级均为这同时也说明粘性力与惯性力在x方向上同等重要，同样不可偏废。1: p；uu I2；u uUIRe（；uI3UII2I2I2 八 I3；3uI3I2T上式方程中右边的粘性项和左边的惯性项都包含无穷小量上式方程中的左右端的力相对于方程342中的相应力均可作为小量忽略不u2u2u2u2计，而压力项为了与其它的力保持平衡，也可作为小量处理，即可得:IV NaVier-St

7、okes方程的简化一普朗特边界层微分方程通过对上述各项的量级分析和比较，略去无穷小量之后，方程组（1.2 ）可简化为以下样式：2；:u u 1 j puu+ v =-* V 宀 2exP excy卜（1.3）c ucv门+=0即二01dxdyU边界条件为:（1）y=0 时，u=v=0 ;（2）y= 8 时，u=U, v=0。由卫=0，我们可以得出：在边界层内由边界层表面到边界层边缘处，其压力 值全部相同，即边界层内的压力只p只是x的函数。由于边界层外部区域为势流区，所以边界层边缘上的压力值 p和速度U（x）满足伯努利方程：P（x） + U （x） =const2则业=型，其中p，U分别为属于P（ x），U（ x），且均是已知值。所以把 dxdx严代替方程组（=3）中的芳则可得到以下式子