全国高考理科数学试题含标准答案(新课标卷)

1、2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I卷、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求(1)复数"22的共腕复数是()1 2i(A)3i(B) 3i(C) i(D) i55(2)下列函数中，既是偶函数又在(0,+ )单调递增的函数是()(A) y x3(B) y |x 1(C) yx2 1(D) y 2lx(3)执行右面的程序框图，如果输入的N是6,那么输出的p是()(A) 120(B) 720(C) 1440(D) 5040(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参

2、加同一个兴趣小组的概率为()(A)1(B)1(C)2(D)33234(5)已知角 的顶点与原点重合，始边与 x轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x上，则cos2 =()2011年全国1卷数学理试题和答案第11页共10页(B)(D)(6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为()匕胃网图：'(7)设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()(B) 73(C) 2(D) 3(8) x a 2xx51的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 x(A) -40(B) -20(C)

3、 20(D) 40(9)由曲线y7x,直线y x 2及y轴所围成的图形的面积为(B) 4(10)已知a与b均为单位向量，其夹角为© 136,有下列四个命题(D) 6P3: a b0,3P2: aP4: a其中的真命题是(A) P,P4(B)凡P3(C)P2,P3(D) P2,P4(11)设函数f(x)sin( x )cos()(0,一)的最小正周期为2，且 f( x) f(x),则(C)f(x)在0,一单调递减2(B)f(x)在73r单调递减f(x)在0,单调递增f(x)在了Y单调递增(12)函数y1 ,的图像与函数y1-x2sinx(2 x 4)的图像所有交点的横坐标之和等于()(

4、A) 2(B) 4(C) 6(D)8第R卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22题第24题为选考题，考生根据要求做答。、填空题：本大题共4小题,每小题5分。3 2x y 9(13)若变量x,y满足约束条件3 2x y 9,则z x 2 y的最小值为6 x y 9,(14)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点FF2在x轴上，离心率为 -o过Fi的直2线L交C于A,B两点，且庆852的周长为16,那么C的方程为(15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4的球。的球面上，且AB 6, BC 2曲,则棱锥O ABCD的体积为 o(16)

5、在 VABC 中，B 60o, AC J3 ,则 AB 2BC 的最大值为。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)等比数列 an的各项均为正数，且 2a1 3a2 1,a32 9 a2a6.(i )求数列an的通项公式；1(H )设 bn 10g3al log3 a2 10g3 an,求数列 一 的刖 n 项和.bn(18)(本小题满分12分)如图，四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，/ DAB=60 ,AB=2 AD,PDL底面 ABCD.(I)证明：PAXBD;(II)若PD=AD,求二面角 A-PB-C的余弦值。(19)(本小题满分

6、12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了 100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果:A配方的疚数妙也衰J指标值分组90. 94)(94. 98)98, 102)(102, 106)口慎1 0204222SB专方的技数分布混 - r指株值分第(90, 94)(94, 98)F 102)(102.-(106. 1 ID4 1124?3210(I )分别估计用 A配方，B配方生产的产品的优质品率；(n)已知用 B配方生成的一件产品的利润 y(单位：

7、元)与其质量指标值t的关系式为94工/4102., 02.从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X (单位：元)，求X的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)(20)(本小题满分12分)uuu uur在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1) , B点在直线y = -3上，M点满足MB/OAuuu uur uuu MA AB MBuirBA,M点的轨迹为曲线Co(I )求C的方程;(n) p为C上的动点，1为C在P点处得切线，求 O点到l距离的最小值。(21)(本小题满分12分)已知函数f (x)即nx x 1b,曲线y f

8、 (x)在点(1,f(1)处的切线方程为x 2y 3 x0。(n)如果当请考生在第b的值;1时，f (x) -lnx k,求k的取值范围。x 1 x22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。(22)(本小题满分10分)选修4 - 1:几何证明选讲如图，D,E分别为 ABC的边AB,点重合。已知 AE的长为m、AC的长为n ,2x 14x mn 0的两个根。(I)证明：C , B, D , E四点共圆;(n)若 A 90,且 m 4,n 6,求 C顶程(23)(本小题满分10分)选彳4-4 :坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x

9、2cos2sin( 为参数)uuvuuivM是C1上的动点,P点满足OP 2OM ,P点的轨迹为曲线 C2(I )求C2的方程(n)在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线一与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于3极点的交点为B,求AB .(24)(本小题满分10分)选彳4-5:不等式选讲设函数f(x) x a 3x,其中a0。(i)当a 1时，求不等式f (x)3x 2的解集;(n)若不等式f(x) 0的解集为x| x 1 ，求a的值。2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分)(1) C (2)B (3)(4) A

10、(5) B(6) D B (8)D (9)(10) A(11) A(12) D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)(13)-62(14) 16(15) 873(16) 2百三、解答题(17)解:(本小题满分12分)(I )设数列an的公比为q,由2 一一 2-2 .2a3 9a2a6 得 出 9a4 所以 q由条件可知a>0,故q由 2al 3a2 1 得 2alc13a2q 1,所以 a1 -故数列an的通项式为1an= F" °3n(n) bnlog 3 a1log 3 a2 . log 3 an(1 2 . n) n(n 1)2故bn2n(n 1)

11、2(1 n六)1 1b1b2bn2(12nn 111所以数列的前2nn项和为 n 1分12分(18)解：(本小题满分12分)(I)因为 DAB 60 , AB2AD ,由余弦定理得BD J3AD从而 BD2+AD2= AB2,故 BDAD又PD 底面ABCD,可得BDPD所以BD 平面PAD.故PA BD解法二：取 AB中点为E,连接DE,因为 DAB 60 , AB 2AD ,故AD=AE , VADE是等腰三角形，;AE=EB=DE ,AED EBD BDE 2 EBD 60°，即 ADB 90°，故 BD AD又PD 底面ABCD,可得BD PD所以BD 平面PAD.

12、故PA BD(D)如图，以 D为坐标原点,AD的长为单位长，射线 DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A 1,0,0,B 0,、.3,0 ,C1八 3,0,P 0,0,1uivAB一 uuv(1, ,3,0), PB(0, .3,uuv 1),BC1,0,0)设平面PAB的法向量为n= (x,y,z),则uiu AB uirPB0,0,3y 0因此可取n=(3,1,、3)7分设平面PBC的法向量为m,则uir m PB 0, uurm BC 0,可取 m= (0, -1,百)cos m,n42.72.7711分故二面角A-PB-C的余弦值为2.7712分(19)解(本小题满分12

13、分)的估计值为0.3。(I)由试验结果知，用 A配方生产的产品中优质的平率为228=0.3,所以用A配方生产的产品的优质品率1003分, 一 一、一. 一 一 . . 、32由试验结果知，用 B配方生产的产品中优质品的频率为 空10估计彳1为0.421006分0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的(n)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94 , 94,102 , 102,110 的频率分别为 0.04,054,0.42,因止匕P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,-224P0.0405442即X的分布列为X的数学期望值EX=-2

14、X0.04+2软54+40.42=2.68(20)解：(本小题满分12分)(I )设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).uuouun所以 MA = (-x,-1-y) , MB =(0,-3-y),uunAB =(x,-2).UUD UUDuin再由题意可知(MA + MB ) ?AB =o,即(-x,-4-2y) Rx,-2)=0.12分解得a 1, b1o6分2011年全国1卷数学理试题和答案第13页共10页1-x,所以I的斜率为212X°1 9所以曲线C的方程式为y=lx2-2.41 2(n )设P(xO,y °)为曲线C: y= - x -2上

15、一点，因为y41因此直线I的方程为y y0 (xx0)，即 x°x22y 2y0 x0 0 o则O点至U I的距离d212 yo x0 |/ .乂YoXq1 2-x0 2,4所以1 2 4-Xo 4d 4 一Xo 4高)2,2当Xo =0时取等号，所以O点到I距离的最小值为2.12分(21)解：(本小题满分12分)-In x)(I) f '(x)x(X 1)2由于直线X12y 3 0的斜率为且过点(1,1),故f(1) 1,f'(1)1,In x 1 .一(n)由(i)知f (x) 空1,所以 x 1 x2Inx k、1(k 1)(x1)、f (x) (-)2(2ln

16、 x-)x 1 x 1 xx考虑函数 h(x) 2ln x (k-"xD(x 0),则xh'(x)(k 1)(x2 1) 2x2° x(I )设 k 0,由 h'(x) k(x一1)2 (x 1)知，当 x 1 时，h'(x) 0。而 h(1) 0,故 x1当 x (0,1)时，h(x) 0,可得 2h(x) 0;1 x一、一 ，、1当 x (1, +)时，h (x) <0,可得2 h (x) >01 x从而当 x>0,且 x 1 时，f (x) - ( 1nx + ) >0,即 f (x) > JnA +k 9 分x

17、1 xx 1 x(ii )设 0<k<1.由于当 x (1,)时，(k-1) (x2+1)+2x>0,故 h' (x) >0,而1 k,11. 一h (1) =0,故当 x (1, )时，h (x) >0,可得 2 h (x) <0,与题设矛盾。 10 分1 k1 x2'.一 1, (iii)设 k 1.此时 h (x) >0,而 h (1) =0,故当 x (1, + )时，h (x) >0,可得2 h (x) <0,与题设矛1 x盾。 11分综合得，k的取值范围为(-,0 12分(22)(本小题满分10分)解:(I)连接

18、DE,根据题意在 ADE和 ACB中，ADX AB=mn=AE< AC,2 分AD AE _即 .又/ DAE= / CAB,从而 ADE ACBAC AB因止匕/ ADE= / ACB所以C,B,D,E四点共圆。 5分(D)m=4, n=6 时，方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.故 AD=2 , AB=12.取CE的中点G,DB的中点F,分别过G, F作AC, AB的垂线，两垂线相交于 H点，连接DH ,因为C, B, D,E四点共圆，所以 C, B, D, E四点所在圆的圆心为 H,半径为DH.由于/ A=900,故 GH/AB, HF / AC.从而 HF=AG=5 , DF= 1 (12-2)=5.故C,B,D,E四点所在圆的半径为572 10分(23)(本小题满分10分)解:2011年全国1卷数学理试题和答案第17页共10页(I)设P(x,y),则由条件知Md?).由于2 2M点在Ci上，所以2cos a, 22 2sin a 2x 4cosa即3分y