初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式

1、完全平方公式与平方差公式一.知识要点1 .乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表 示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开)， 还可以由右到左逆用(因式分解)，还要记住一些重要的变形及其逆运算一一除法等。2 .基本公式完全平方公式：(a 士 b)2=a2 士 2ab+b2平方差公式：(a+b) (a b)=a2 b2立方和(差)公式：(a 士 b)(a2 Nab+b2)=a3士 b33 .公式的推广(1)多项式平方公式：(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即：多项式平

2、方等于各项平方和加上每两项积的2倍。(2)二项式定理：(a 士 b)3=a3士 3a2b+3ab2 士 b3(a士 b)4=a4± 4a3b+6a2b2 士 4ab3+b4(a+b) 5=a5 ± 5a4 b+ioa 3b2 士 10a2b3 + 5ab4 士 b5注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律4 .公式的变形及其逆运算由(a+b) 2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2- 2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)5 .由平方差、立方和(差)公式引伸的公式

3、(a+b) (a3a2b+ab2b3)=a4b4(a+b)(a4a3b+a2b2 ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4- b5)=a6-b6注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n 1-a2n 2b+a2n 3b2-+ ab2n 2-b2n 1)=a2n- b2n(a+b)(a2n a2n 1b+a2n 2b2ab2n 1+b2n-a2n+1+b2n+1类似地：(a-b) (an 1+an 2b+an 3b2+ abn 2+bn 1)=an-bn由公式的推广可知：当 n为正整数

4、时an-bn能被ab整除,a2n+1 +b2n+1 能被 a+b 整除, a2nb2n能被a+b及ab整除。二.例题精选例1.已知x、y满足x2+y2+5 =2x+y,求代数式 Xy的值。 4x y例2.整数x,y满足不等式x2+y2+1<2x+2y,求x+y的值。例3.同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整甲商场：？第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;乙商场：两次提价的百分率都是ab (a>0,?b>0);2丙商场：第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,?则哪个商场提价最多 ？说明理由.例4.计算： 6(7+1)(72+1)(74+1)(78

5、+1)+1 ；(2)1.345 X 0.345 X2.69 -1.345 3- 1.345 X0.345 2.例 5.已知 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002, 则多项式 a2+b2+c2-ab-bc-c a 的值为()A.0B.1C.2D.3728例6.已知P = m1,Q =m2 - m (m为任意实数)，则 P、Q的大小关系为() 1515A. P Q B. P = Q C. P ：二 Q D.不能确定一 _ . 一 ， 11一例7 .右x2- 13x+1=0，则x4+ 的个位数子是()xA.1B.3C.5D.7例8.有10位乒乓球选手进行单循环

6、赛 (每两人间均赛一场，用x1,y1?顺次表示第一号选手胜与负的场数 ；用 x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数，；用x10,y10?顺次表示十号选手胜与负的场数.求证:xi2+x22+x102=y 12+y22+ +y 102 °三.同步练习1 .1 .1.11 . 乘积(1- -) )(1- 2 ) (1- 2 )(1- 2 等于()2319992000A 1999 B 2001 C 1999 D 2001.2000 . 2000 . 4000 . 40002.已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=4(2b - a),贝I x、y的大小关系是()A.x < yB.

7、x > yC.x<yD.x>y3,已知ab=1,则a2b2 2b的值为()A. 4B. 3 C. 1D. 04.已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0 ,贝U x+y+z=。5.计算:(1) 1.23452+0.7655 2+2.469 X 0.7655= ;(2)1949 2- 19502+19512- 19522+19972- 19982+19992=6.已知 a+1=5楙11 =a7 .已知两个连续奇数的平方差为？2000,?则这两个连续奇数可以是 8 .已知 a2+b2+4a-2b+5=0，则 =.a - b9,若代数式x2 6x+b可化为(xa)2 -1

8、,则b-a的值是.10.已知a、b、c均为正整数，且满足a2+b2=c2,又a为质数.证明：(1)b与c两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数 参考答案：一.例题精选例1 .提示：由已知得(x-1) 2+(y- 1) 2=0,得x=1,y=,原式=1223例2.原不等式可化为(x-1) 2+(y-1) 2< 1,且x、y为整数，(x-1) 2>0,(y-1) 2>0,?x-1 =0 x-1 -1 x-1 -0所以可能有的结果是 或w 或wy_1=0 y_1=0 y_1=：1. x=1 x=2 x=1 x=1解得W 或， 或， 或W ,x+y=1或2或3y =1

9、y =1 y =2 y =0例3.甲、乙、丙三个商场两次提价后，价格分别为(1+a)(1+b)=1+a+b+ab;(1+小).(1+alb)=1+(a+b)+(壮)2; 222(1+b)(1+a)=1+a+b+ab;因(ab) 2-ab>0,所以(ab) 2>ab, 22故乙商场两次提价后，价格最高.例 4. (1)原式=(7-1 )(7+1)(7 2+1)(7 4+1)(78+1)+1=716(2)设 1.345=x,贝U原式=x(x-1) - 2x-x 3-x(x-1 )2=-x=-1.345例5.例6.【分析】可用特殊值法或差值法.特殊值法：取m=15,分别代入得 P=6,

10、Q=217,故P<Q;差值法:7/282)m -1Im 一一 m = -mm -1 =15.153,一、P-Q=-3 <0,故P<Q.【答案】C4例7.例 8.提示：由题意知:xi+y i=9(i=1,2，10)且 xi+X2+x10=y 1+y2+y io因(Xi2+X22+x 102)- (y12+y22 +y 102) = (x 12- y12) + (x 22- y22)+ +(X102- y102)=(x1+y i)(xi-y1)+(x 2+y2)(x2- y2)+ +(x 1o+y10)(x10- y10)=9(x 1+x2+ +x10)- (y1+y 1+ +y io)=0二.同步练习9. (x -a)2 一1 =x2 2ax+a2 -1,这个代数式于 x2 6x+b相等，因此对应的系数相等，即- 2a = 6,解得a = 3, a2 1 =b ,将a = 3代入得b= 8,因此b a = 5.10.解