【高三数学】南师附中高三数学冲刺试卷

1、南师大附属中学2011届高三冲刺卷数学试卷I2011.5.a1!b11i 4!WHILEi<6；aa+b:ba+b：i-i+1：END WHILE:PRINTb二一程序运行结果居-A B两点，这两个点的距Sin ABC、填空题(本大题共 14小题，每小题5分，计70分)1 .已知集合A x|x sin -, n Z,则集合A的子集的个数为3心a 3i 2 .若复数 (a R , i为虚数单位)是纯虚数，则实1 2ia的值为 A.3 .已知条件p：|x 1|2,条件q：x a,且 p是 q充分不必要条件，则 a的取值范围可以是.4 .右图程序运行结果是.5 .右图是七位评委打出的分数的茎叶

2、统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为6 .在120°的二面角内放置一个小球，它与二面角的两个面相切于离AB=5,则小球的半径为 A7 .函数f(x) ln(x2 2x)的单调递增区间是 上.8 .将直线2x y0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2 y2 2x 4y 0相切,则实数 的值为 A.uur uuruur9 . O是锐角 ABC所在平面内的一定点，动点P满足：OP OA ABuuu 2 ABuuirACuur 2AC Sin ACB0,，则动点P的轨迹一定通过ABC的心.10.对于使 x22x2_M成立的所有常数 M中，我们把M的最小值1叫做 x 2x

3、的上确界，若a,b R，且a,12,人一1 ,则，2的上确界为2a b11.如图，正方体ABCD-AB1C1D的棱长为1,点AMAB,点P在平面 ABCDk,且动点 P到直线 3M在AB上，且AiD的距离的平的轨 rP到点M的距离的平方差为1,在平面直角坐标系xoy中，动点P迹方程是12.设函数 f (x) a1 a2x a3x2 Lanxn 11f (0),数列an满足 22*、f (1) n an(n N ),则数列an的通项 an =13.函数f(x)是奇函数，且在1 , 1是单调增函数，又f(1)=1,则满足f(x)wt2+2at+1对所有的xC 1,1及aC 1,1都成立的t的范围是

4、 Auuruur14.已知O为坐标原点，OP x,y , OA a,0uur,OB 0,a ,uurOC3,4,记uuuPB、uuirM的取值范围是PC中的最大值为M,当a取遍一切实数时,二、解答题(本大题共 6小题，计90分)315 .(本小题14分)已知函数f(x) = log2(x十一一 a)的定义域为A,值域为B. x(1)当a = 4时，求集合A;(2)当B= R时，求实数a的取值范围.16 .(本小题14分)如图，在直三棱柱 ABC- ABC中，/BAC=90 , AB=BB=a,直线 BC与平面 ABC成 30° 角.(1)求证：平面 B1ACL平面ABBA;(2)求。

5、到平面BAC的距离；(3)求三棱锥 AiAB1.C的体积.17 .(本小题15分)某企业生产 A B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如左图，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如右图(注：利润与投资单位：万元). 分别将A、B两种产品的利润表示为投资 X(万元)的函数关系式;(2)该企业已筹集到 10万元资金，并全部投入 A、B两种产品的生产，问：怎样分配这 10万元投资，才能使企业获得最大利18.(本小题15分)已知 ABC的周长为6,urnr urn unr ,、生，BC ,CA , AB依次为a, b, c,成等比数列润，其最大利润为多少万元 ？(1

6、)求证：o b 3(2)求 ABC的面积S的最大值；(3)求BA BC的取值范围.19.(本小题16分)已知点 A(-1,0) 、B(1,0), 4ABC的周长为2 + 22.记动点C的轨迹 为曲线W.(1)直接写出 W的方程(不写过程)；(2)经过点(0, V2)且斜率为k的直线l与曲线 W有两个不同的交点P和Q,是否存在常数k,使得向量OuP OQ与向量(£,2,1)共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.(3)设W勺左右焦点分别为Fi、F2,点 R在直线 l： xJTy+8 = 0 上.当/ FiRF2取最大值时，求1RF1的值.RF2220.(本小题16分)函数f

7、 (x) Jxa(b 2nm N*)的定义域为x| X W1,图象过原点, bx c '且 f ( 2)1 -2(1)试求函数f (x)的单调减区间;(2)已知各项均为负数的数列an前n项和为Sn ,满足4Snf () 1，求证: an1an 1n 1 ln nan(3)设 g(m,n) 1 m m 11一，否存在 m1,n1，m2,n2 N * ,使得 ln2011 ng(m1,R),g(m2,n2) ?若存在，求出m1,，n1,m2,n2 ,证明结论；若不存在，说明理由.命题、校对：张福俭、刘晓静、侯绪兵数学n附加题1.四边形ABC的四边形ABCD分别是矩形和平行四边形，其中点的坐

8、标分别为 A( 1, 2), B (3, 2),，C (3,2),D( 1, 2), a (1, 0), B (3, 8), C (3, 4),D (1, 4).求将四边形 ABC四成四边形 ABCD的变换矩阵M.x 3-3 s,x t2 .直线2作为参数)和曲线1一,t (t为参数)相交于A B两点.求线段AB的长.t3 .设有3个投球手，其中一人命中率为q,剩下的两人水平相当且命中率均为p p,q 0,1 ,每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为1 .(1)当p q 时，求数学期-望E()及方差V()；2(2)当p q 1时，将 的数学期望E()用p表示.24 .已知正项

9、数列 an中，对于一切的n N均有an an an 1成立。(1)证明：数列 an中的任意一项都小于 1；-1 (2)探究an与的大小，并证明你的结论.nin南师大附属中学2011届高三模拟考试数学参考答案2011.51. 82.-63.1,4. 215. 85 , 1.66.5 7.2,8. 3或7 9.内心10.11.12.113.n(n 1)2,14.7 2.6,15.解：(1)当a = 4 时,x+3-4=X2x 4x + 3x(x 1)(x x%0,解得0V xv 1或x>3,(2)若B= R,只要故 A= x|0 vx<1 或 x>3u= x + 3a可取到一切正

10、实数，则 xX>0 及 Umin"，rUmin = 2炉解得a>2 3实数a的取值范围为2 3,Ci从而AiCsin ACM16.解：(1)证明：由直三棱柱性质，BiB,平面ABG -.BiB± AC,又 BAL AC, BiBA BA=R .Ad平面 ABB1A1,又AC 平面BAC, 平面BAC1平面ABBA.(2)解：: AiC / AC, AC1 平面 B1AC .AG/平面 BiAC .C到平面BAC的距离就是求 Ai到平面BAC的距离过A1做AML BAi,垂足为M,连结CM平面 BiAC±¥面 ABBA,且平面 BiACH 平面

11、 ABBAi=BA, .AiM1平面 BiAC.3a,又 A M a, 2AiM6inAC，C剥平面BiAC的距离为 诋2(3)解：二.直线 BiC与平面ABC成30°角,/ BCB=30° .可彳导 BC=2a, BC=. 3a, AC 2a23ABiCV B1 ABC a617.解(1)设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元由题设 f (x) k1x, g(x) k2 , x由图知f(l)= 1,故ki=1 44一55又g-,k22415 -从而 f (x) x(x 0), g(x) - x(x 0) 44(2)设A产品投入x万元，则B产

12、品投入10-x万元，设企业利润为y万元y f (x) g (10 x) 1x 5<10 x(0 x 10) 4410 t2 y 一4t%t5 .65.当t a时,ymax行此时x 3.75答：当A产品投入3.75万元，则B产品投入6.25万元，企业最大利润为65万元1618.解：(1) a+b+c=6, b2=ac,不妨设 a b c,由余弦定理得cosb22,2a c b2ac22a c ac 2ac ac 12ac 2ac 2故有0 B 3(2)又 b Vac -c -,从而 0 b 2 。22又 a+b>c =6 a b,所以 3 b 2 . 2所以 S1acsinB-bsi

13、nB1 22sinV3,即 Smax332223m22,222a c b (a c) 2ac b (3)所以 BA BC accosB 22_2_2(6 b) 3b_ 2-(b 3)27Q - b 2, 22219.解：(1) W:2 y2 12mri uuir 27 BA BC .4(y 0).(2)设直线l的方程为ykx2 (kx 2)2 1.整理，得(1 k2)x2 272kx 1 0. 网 Z。X。X。K因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k2 4(1 k2) 4k2 2 0，解得 k 立或 k .'222Lruuu uum设 P (xi,yi) ,Q(x 2,y 2

14、),则 Op OQ =(X1+X2, yi+y2),由得Xi x2白组.1 2k又 yi y2 k(xi x2) 2&所以OP OQ与向量(2,i)共线等价于xi x2=-V2(yi y2)将代入上式，解得uuu LULT . uuua所以不存在常数k,使得向量OP OQ与MN共线(3)当/ ERE取最大值时，过R Fi、F2的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切.直线l与x轴于S(-8,0), QF1sRs RS已rfJ |sfJ |sr| /|sf111sr rf2|sr| |sf2| V|sR|sf2|20.解：(1)由己知 a 0,b c.41.八 .Q f ( 2) 且

15、 b 2n, n N3b 2b 2f(x)2x2(x 1)(x1)x2 2x-22(x 1)于是f (x)2xg2(x 1) x2324(x 1)由 f (x) 0得 0 x 1 或 1 x 2故函数f(x)的单调减区间为(0,1)和(1,2)(2)由已知可得2Sn an an2,当 n 2 时，2Sni ani %；两式相减得(an an1)(an an 1 1) 01 an an 11 (各项均为负数)当 n 1 时，2al a1 a12 a11 ，ann1 n 1 1于是，待证不等式即为 in上 ,中令n 1,2,3, L ,20010,并将各式相加得 nn 1 n n1, x 11为此

16、，我们考虑证明不等式 in - , xx 1 x x人 1.1令 1 一 t, x 0,则 t 1 , x xt 1，、，1由 t (1,)知9。)再令 g(t) t 1 int , g (t) 1 -，当t (1,)时，g(t)单调递增g(t) g(1) 0于是 t 1 int1 x 1即 一 in, x 0x x人111 t 1令 h(t) int 1 h(t) ： F 了 由 t (1,)知卜(耳 01当 t (1,)时，h(t)单调递增. . h(t) h(1) 0 于是 int 1 1tx 11即in,x 0x x 1由、可知 in? 1 ,x 0 x 1 x x1 . n 111.

17、 n 11所以，in-，即 1 一 in 一n 1 n nann an(3) mij2,n12011,m2 1,n22010.in2011in1ini L,20111,in 1 L2010212010即 in2011g(2,2011),g(1,2010)附加题1.解：该变换为切变变换，设矩阵0 ,解得k 2. ,， 1所以，M为21一,2.解：曲线；（t为参数）可以化为X,在数列an中an0,an10,，anan0, 0an1y2 4 .t将直线的参数方程代入上式，得s2 6,3s 10 0 .设A、B对应的参数分别为 s1, s2,§ s2 6j3, S|S2 10.AB S1 S2I q'(ss2)2 4s1s2 = 2而.,1,- c 13.解：(1)当 p q 时，B 3,一2213_np 3 - D2 2(2)的可取值为0, 1, 2, 3.22P 01 q 1 p pq ；32q 2p q ；21P 1 q 1 q 1 q C?p 1 p1,2 qqC2P 1 p2P 3 qp .的分布列为0123P2pq3c 2q 2p q网C232pq p2qp2.3_22