广州市海珠区2021届高三年上学期调研考试数学试题(含答案解析)

1、高三数学 第3页（共4页）海珠区2020学年第一学期高三调研考试数学试题本试卷共4页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项，1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2 .回答选择题忖，选出每小题答案后，用错翼把答题卡上对应题目的答案标号渝黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号一回答非选择题时，将答案写在答题 卡上.写在本试卷上无效.3,考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.21 .芨数三的共舸豆数是1-1A. L-iB. 1 +

2、iC.-l-i D. -1+i2 .己知集合A/=H耳2 -x«0,= sinx, xwR,则MCN三A. -1,0B.(0,I)CjO,l D.03 .已知抛物线C*=2处(p>0)的准线为/,圆河；(万一1+6-2)2=9与/相切， 则=A. 1B.2C.3D. 44 .某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为 20,40),40,60>60,80),80,100.若不低于60分的人数是35人，则该班的学生人 数是A. 45B. 50C. 55D. 605,中国古代数学名著周髀算经记载的“日月历 法”曰；“阴阳之数，日月之法，十九岁为

3、一章， 四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千 百五二十岁，生数皆终，万物豆苏，天以更 元作纪历”.某老年公寓住有20位老人，他们的年龄C都为正整数)之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于100,其 余19人的年龄依次相差一岁，则最年长者的年龄为A. 94B. 95C. 96D. 986. 已知 aw(0,7t), 2sin(n-2(z) = cos2ct -1, M sin a =A.-C. 一叵D.短55557 .己知直三棱柱力8c4用G 的6个顶点都在球0的球面上.若 AB = 1, AC = y/3, ABA.AC, 4,=4,则球 0 的表面积为A.5兀B.10兀C.

4、 20tcd.竺匝38 .对于定义在R上的函数/(x),/(x + 7t)为偶函数.当工£(0,兀)时，f(x) = cosx-x 设a = /(2), b = /(4), =设(6).则a, b ,。的大小关系为A. a <b<cC. h < a < c D. c<a <b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9 .设。，6, c为正实数，且a>6,贝IJA. a > b a bc. ln（6f-Z）>0n 1B. a >

5、; b b aD. 4，+1）>6卜2+1）10.11.12.己知曲线G :y = 2sinx, C2 :j； = 2sin2x + y ,贝ijA.把g上各点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动三个单位长度，得到曲线。2 6-b.把a上各点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动3个单位长度，得到曲线g6C.把G向左平行移动W个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，得到曲线。2D.把£向左平行移动看个单位长度，再把得到的皿线上各点的横坐标缩短到原来的g倍,纵坐标不变，得到曲线。2若函数/(X)对

6、Va, BeR同时满足：(1)当a+b = 0时有/(a) + /0) = O； (2)当 a + 6>0时有/()+ /(6)>0,则称/(x)为C函数.下列函数中是。函数的有 A./(x) = e' + e-xB./(x) = ex-e-x0, x = 0, C./() = x-sinxD. = < 工工。.X在长方体力5a5 4与。1中，M ,?是平面DCg。内不同的两点，N ,。是平 面内不同的两点，且，p, N, QeCD, £, F分别是线段AW,尸。的中点.则下列结论正确的是A.若MN / FQ,贝/ CDR若重合，则MP CDC.若MV与尸。

7、相交，&MP " CD,则N。可以与8相交D.若MN与PQ是异面宜线，则不可能与8平行三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数/（） = /_2/的图象在点（1,处的切线方程为（i1014. （x2-2）x+ 的展开式中f的系数为.（用数字填写答案）I 715. 已知向量m = （La）, n = （2b l,3）（a>0/>0）,若mJ.n,则已+士的最小值为 a b16. 已知心心是双曲线。：5-，= 1（。>0用>0）的左、右焦点，以片鸟为直径的圆与。的 3左支交于点N ,月入与C的右支交于点B，cosZFBF2 =-,则C的

8、离心率为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10 分）在sinb二JJsinC,8= 4sin4,5+ C = 2/这三个条件中任选一个，补充在 下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在Az由C,它的内角43。的对边分别为aR,c，旦 4asinB = y/3bcosA+bsinA9 a = 2, ?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. （12 分）设%,是公比大于1的等比数列，% +3T4,且%; 1是，的等差中项.（I）求数列/的通项公式；（2）若“=%log2（；）

9、，求数列任的前项和7；.19. （12 分）如图，在圆柱qq中，为圆Q的直径，。，。是弧方上的两个三等分点，CR是圆柱的母线.C1）求证：CO 平面力厂。；（2）设力。= JJ, zrac = 45°,求二面角4一月?一。的余弦值.20. (12 分)为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取140名客户，对 广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为专，服务 水平的满意率为方，对业务水平和服务水平都满意的有90名客户.(1)完成下面2x2列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关;对服务水平满意人数对服务水平不满意人

10、数合计对业务水平满意人数对业务水平不满意人数合计(2)为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改 进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望；(3)若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都 满意的客户流失率为5%,只对其中一项不满意的客户流失率为40%,对两项都 不满意的客户流失率为75%,从该社区中任选4名客户，则在业务服务协议终止 时至少有2名客户流失的概率为多少？K2(a+6)(c + d)(a+c)(6 + d)附：P(K2 > /t)OJO0.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8

11、415.0246.6357.87910.828= a + bc + dnxad bc22L (12 分)已知椭圆C的两个焦点分别是(一1,0)，(1,0),并且经过点1,(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点0(0,2),若C上总存在两个点力、5关于直线y=x+加对称，且QA QB<.求实数，的取值范围.22. (12 分)已知函数 /(x) = lnx-(a + l)x.(1)讨论/(")的单调性；(2)设g(x) = /(x) + x+1,若函数g(x)有两个不同的零点演，x2(xt <x2),求实 数。的值范围.2020学年第一学期海珠区高三调研考试数学试题参考答案

12、与评分标准评分说明：1 .参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不 同，可根据试题主要考查的如识点和能力对照评分标准给以相应的分数.2 .对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现信误时，如果后继部分的解答未 改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的汨分，但所给分数不得超过该部分 正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应存的累加分数.4 .只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一,选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,18小飘为单项选择题，在每小题 给出的四个选项

13、中，只有一项是符合题目要求的；912小题为多项选择题，在每小题给 出的选项中，有多项符合题目耍求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3 分.题号123456789101112答案ACBBBDCCADABCBCBD8.解：因为函数/" + ）为偶函数，所以/（X+7E）= /（X+K）,即函数/（X）的图象美于宜线X = ”对称，即/*）=/（2兀一处.又因为当xe（0,冗）时，/（x） = cosx-x所以函数/（X）在（0,九）上单调递减，因而在 （兀,2兀）上单调递增，因为4<2万2<6,所以/（4）</（2兀-2）</（6）,即 4）“2）V

14、/（6）,即6<”。.故选（：.12.解：若MM/P。，则M、N、尸、。四点共而V,当MN<P。时,平面。CGA、ABCD. V两两相交有三条交线，分别为MP、NQ、CD,则三条交线交于一点。，则。与平面，交于点。，则M与CQ不平行,故4错误, 若£,尸两点重合，则MP/INQ, M、N、P、。四点共面产,平面。CG。、ABCD、7两两相交有三条交线，分别为MP、NQ、CD, NMP/NQ,得MPHNQ/CD,故3正确；若A%V与P。相交，确定平面了.平面DCC|A、 ABCD、7两两相交有三条交线，分别为MP、N。、CD、 因为MP/ /CD,所以MP/NQ/CD,所以

15、NQ与CD不 可能相交.故C错误;当A1N与尸。是异面ft线时，如图，连接NP,以NP中点G ,连接EG, FG.则£GMP，因为儿9u平面OCGA，£Go平面。CCQ,则EG 平而QCG。假设石户8 .因为CD u平面DCCR , E尸s平面DCCR,所以EF 平面。C£A.又EFcEG = E,工¥而EFG"平面DCCR ,同理可得，平面EFG"平面 ABCD,则平面DCCQ 平面48。,与平面。CG。c平面NBCQ =。矛盾.所 以假设错误，£/不可能与C。平行，故。正确.故选瓦）.二、填空题：本题共4小题，每小题5分

16、，共20分.13. x+y = Q14. 2515. 7+45/316.万33|/18| 316 .解：由题意如/月4g=90cos/£85 =一=，所以cos/3"=，即七U =353易得上邱|四忸用= 3:4:5设|，理=3,|46| = 4|町| = 5,忸用=x, 由双曲线的定义得；3 +工一4 = 5-%，解得；x = 3,所以|百5|= 14? + 62 =405nc = Ji3,因为2a = 5-x = 2n = l,所以离心率c = JT5三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 . （10 分）解：已知4sin6

17、 = /58cos4+6sin4由正弦定理，4sin J sin Z? = -75 sin 2? cos J + sin Bsin A, 2 分因为5为三角形内角，sinBwO，3分所以 4 sin 4 =百 cos 月 + sin 4 即 3 sin 4 = JJcos 44 分所以tan4 = ，5分3因为0v4v兀，所以4=56分6选择条件的解析：解法一：由sin8 = 6sinC及正弦定理，可得6 = JJc' 7分由余弦定理/ =9+/一2/?。cos 4,则4 =（辰工+ 4 2 岳c,吟）,9分解得。=2.10分解法二：由sin8 = /JsinC，又因为/ = ?,所以

18、2 = 2-0, 7分"66则sin（如-C） = 6sinC,展开得，cosC = V3sinC, 8 分6所以tanC =且，C = 5 36所以/f = C,9分所以c = 210分选择条件的解析：解法一:由b = 4sin4.可得力= 4sin'=2,7分6由余弦定理。2 =b2 +c2-2Zjccos?H28 分22=22 +c2-2x2xcxcos, 6解得c = 2"0分10分解法二：由/> = 4$in/ 得b = 4sin = 2, 6所以4 = B = 2,所以。二=工 63由正弦定理'一二一J得, sin A sine解得c =

19、2、Q.选择条件的解析；sin 6.2nsin 一38分9分10分解法一：由8 + C = 2力，由因为/ + 4 + C=兀，则< 二 ；，8分与3 二三矛后，则问题中的三角形不存在.610分解法二：由8 +。= 2力，则8 + C = 2x汽=2, 6 3则N + 8 + C=二+2二二兀，6 3 2与三角形内角和等于"矛盾，因而三角形不存在. 18. （12 分）解：（1）设等比数列“的公比为。.依题意，有 2（.+ l） = q+%将 4+4=2（% + 1）代入 q +%+% = 14 得 2（4 + 1） + 4=14,得,=4.10分联立q+%+% = 14生=4

20、得q +4囚+。1令2 = 14 a“ = 4两式两边相除消去q得2不一5<7 + 2 = 0,解得q=2或夕二g （舍去），4所以q=Q = 2.所以，4 = aqZ=2x2i=2.3分（2）解法一；因为打=4log?所以，-7； =1x2 + 2x22+3x2' + x2”-27；f = lx22 + 2x2s+3x24+-+(»-l)x2w + nx2 8 分，得4=2 + 22+23+ 2”一x2c”9分因为。=2,所以，是以C为顶角的等边三角形.3=-j x 2"7=2"+】一 2,+, - 2.11 分1-2所以，数列也的前项和7； =

21、2" 2川-212分解法二：因为bH = an log2(1)" = -M- V = (2n + 办T = -2(/; + l) + 4-(-/r + 2) 2”所以 6” = 一( +1) + 2，2"T ( + 2) 2”8 分 进而得r=(-2 + 2).22-(-l + 2).2'+(-3+2).23-(-2+2).22+.+-(«+1)+2 -(-；?+2)r11分= -(« +1) + 2 2'41 - 2 = (1 - n) 2w+, - 2T2分所以数列"的前n项和为7；2.一219. (12 分)解：

22、(1)连接aUQQ, 1分因为C,。是半圆AB上的两个三等分点，所以 4Q0 = NOQC = NCO'B = 60", 又o/=q8=qc=q。，所以MOQACOiD, A5(9,C均为等边三角形.所以。/ = 4O = QC = CQ,2 分所以四边形ADCO.是平行四边形. 3分所以CQ/Q,4分又因为cq<z平面4FD, 4Du平面/吟，所以COJ/平面力尸0. 5分(2)因为R7是圆柱。0,的母线，所以万C_L平面/BC, BCu平面48C,所以尸CJL BC6分因为为圆&的直径，所以Nxas = 9(r,在 Rf/MBOlL 43C = 6(r,力C

23、 = VJ,AC所以8c =*±- = 1, tan 60,所以在即AF8O3 FC = Z?Ctan45 = 17 分(方法一)因为 8dC, BC 工 FC, ACnFC = C.所以4 cd.平面E4C,又E4u平面广/4C ,所以 BCJ.E4.在A"。内，作CHL”于点H,连接4”.因为 4CcCH = C,BC,CH c=平面 BCH ,所以平面BC. 8分11分又BHu平面BCH ,所以918H, 所以/BHC就是二面角B-AF-C的平面角.:9分在 Rf/C4中，FA=a/fC2 + AC2 = 2, c=S=3.。分FA 2在 KfAffQf中，ABCH

24、= 90°, 所以BH=BC2 + CH2;五, 2h b I 所以 cos NBHC 二士二 W .BH 7所以,二面角6-4夕一。的余弦值为浮.12分（方法二）以C为坐标原点，分别以CA,CB,CF所在立线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则川JJ,0,0),4(0,L0),F(0,0),所以诟二卜6,1,0),万二(-V3,0,1).8 分设平面AFB的法向量为n =(¥/),则AB In. -43x+y = 0, 一 R* lAF1 n, -v3x+z = 0,令 x = 1,则 y = z =,所以平面 AFB的一个法向量为11 = (1,66). 9

25、分又因为平而4户C的一个法向量m =（0,1,0）, 10分所以依他,力=箭=%=亨.”分疝所以结合图形得，二面角B-AF-C的余弦值为宁 .12分20. （12 分）解：山题意知对业务水平的满意的为120人，对服务水平的满意的为100人，得2x2列联 表：对服务水平满意人数对服务水平不满意人数合计对业务水平满意人数9030120对业务水平不满盘人数101020合计100401402分市4°、（9。刈。-3。，1。）、幺=5.25>5.。24.120x20x100x40所以,有9乙5%的把握认为业务水平与服务水平有关.4分5分P(X = 2)= = AP(y = O)=(2)

26、X的可能取值为0,1,2.X012P29203525252、八 29 I 20 31E(X) = Ox 卜 1 x F 2 x =一' )525252 2g5%=140280，只对其中一项不满意的客户流失率为也x40%=2140280,对两项都不满意的客户流失率为里x75% =280(3)在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为710分尸=1-C：2L (12 分)解: 因为椭圆C的焦点在X轴上,1136251分又因为。=1,所以 =2-。？=19+32+15 1从该运营系统中任选一名客户流失的概率为一-=一. 2805在业务服务协议终止时,从社区中任选4

27、名客户，至少有2名客户流失的概率为12分因此，椭圆C的标准方程为,+y2 = l.(2)根据题意可设宜线力8的方程为j，=r + ，联立x -> ,j+r = i整理得 3/-4，?x + 22-2 = 0, 由 = (-4)2-4x3(22-2)>0,得Jv3.设 N(玉，一5 +)，B(x2 ,一七 十 )，# 4h 22-2则玉+ W=-y.为=-乂设48 的中点为(% , 一 % + )，则 = d + : =' , -x() + / =由于点M在直线上,所以！， fl J n = -3m,8 分3 3代入2 <3,存9/<3,所以一<，且 9分3

28、3因为诙二(玉,一玉+ -2),丽=(9,一七十-2),所以QA- QB = 2xxxz -(/1 -2)( +x2) + (/i-2)24/ 一 4 4- - 8 3 (" - 4 + 4)3初 - 4 + 810分=1= 3333山现砺<4,得32一4 + 8<12, 3/一4-4<02 222得< n <2 9得 < 3加<2,所以< m < 一 】分3 33950( H由得一半故实数用的取值范围为一个，. 12分22. (12 分)解：()函数/(x) = lnx_(a + l)x的定义域为(0,+x). 1 分则/

29、9;(x) =，(a + l).2 分(i)当+ 1>0,即。>一1 时，令/'(x) = L(a + l)>0得,>a + l,得x<L,又因为x>0,所以0<工<一一，a + 1所以函数/(X)在jo, 三)上单调递增，在(一!一,十8上单调递减. 3分(4 + 1J(ii )当 + 1«0,即 <-1 时，一( + 1)之0,又由X > 0得/'(X)> 0对任意的X w(0,+<)。)恒成立.所以函数/(工)在(0,+00)上单调递增.综上.当>-1时，函数在(。,£上单调递增，在(£,+oc)上单调递减；当£一】时，函数/(x)在(0,+oo)上单调递