第十讲-弧、弦、圆心角、圆周角

1、第十讲 弧、弦、圆心角、圆周角知识点一弧、弦、圆心角的关系【定义】、如图所示，/ AOB勺顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做B【探究】如图所示的。中，分别作相等的圆心角/AOB/口/A?' OB?将圆心角/ AOB绕圆心O旋转到/A OB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？相等的弦： ;相等的弧： 探究在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢?如图1,在。和。0中，？分别作相等的圆心角/ AO* 口 /A' O' B'得到如图2,滚动一个圆，使。与O' 重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O' A重合.你能

2、发现哪些等量关系？说一说你的理由？因此，我们可以得到下面的定理：【归纳】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦。几何语言：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，？所对的 也相等.几何语言：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，？所对的 也相等.几何语言：【辨析】定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆 中”去掉？为什么？你能举出反例吗？【拓展】如图，在。中，AB CD是两条弦.(1) 如果AB=CD那么,(2) 如果弧AB掰 CD那么,(3) 如果/ AOBh COD 那么,(4) 如果 AB=CD,

3、 OE!AB, OF,CD,OE与 OF相等吗?(5)如果oe=of那么Ab与Cd的大小有什么关系？ ab与cd的大小有什么关系？ ？为什么？ / AO西/CO现？【归纳】：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也。方法小结：同圆中，弧相等的关系可转化为6、已知：如图，P是/AOB的角平分线 OC上的一点，Q P与OA相交于E, F点，与OB相交于G, H点,【应用】例、如图，在。中，AB=AC/ACB=60 " ,求证/ AOBh BOCh AOC例、如图，AB是。的直径，BC = CD=DE, /COD=35° ,求

4、/ AOE的度数。【自我检测】1.如果两个圆心角相等，那么（）由同圆中 相等，可得出弦EF和GH相等。例、已知：如图,，弧之间可进行加或A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等2.在同圆中，圆心角/ AOB=2/ COD,则两条弧AB与CD的关系是（）两条弦和AB4、如图，AB和DE是。的直径，弦 AC/ DE,若弦BE=3,则弦CE=5、如图所示，平行四边形 ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆分别交AD、BC于E、F,延长BA交圆于试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论.方法小结：圆中证明圆心角相等，可通过证明D 在 OO±, AB=CD.求证：/

5、AOO/DOB.方法小结：同圆中,由弦相等可得C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对3、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的思路导航：证弧EF和弧GE相等，可通过证明两条弧所对的此，可作辅助线思路导航：由角平线线可联想，因此可添加辅且线CD的关系是（） A. AB=2CD B. AB>2CD C. AB<2CD D.不能确定【探究】：如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置同吗?D和E,他们的视角/ ADB和/AEB相9。是，顶点在，并且两边识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？知识点二、圆周角定理【探究】：同学甲站在圆心 O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的

6、靠墙的位置C,他们的视角（/ AOEB /ACB ）有什么关系。/ ACB, / ADB和 / AEB的共同特征的角叫做圆周角。如图，AB为。的直径，/BOC/BAC分别是BC所对的圆心 角、圆周角，求出图（1）、（2）、（3）中/ BAC的度数.通过计算发现：/ BAC= / BOC试证明这个结论【探究】如图，B C所对的圆心角有多少个？ BC所对的圆周角有多少个？在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心 。有几种位置关系？你能证明刚才的结论吗？圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的

7、弦是直径.辨析:在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？【小结】：圆周角定理的前提条件是：【应用】例1、图中分别相等的圆周角有例2、如图，点 A、B、C在。上，AO/ BC, /OAC=20 ,则/ AOB勺度数是 方法小结：求圆中的圆周角可利用 所对 实现转化。3CA例3、如图，OA、OB OCB是圆。的半径，/AOB=2BOC 求证：/ ACB=2 BAC方法小结：已知两个圆心角的关系，可通过 所对的 与的关系联系已知与未知。例4、如图，AB是。的直径，BD是。的弦，延长BD至IC,使AC=ABBD与CD的大小有什么关系？为什么?方法小结：直径所对的圆周角是 ,垂直可结合等腰三角

8、形 的性质。例5、如图，AB为圆。的直径，CD为圆O的弦，/ ACD=4渡，贝U/ BAD=方法小结：圆中出现直径，求圆周角时，可构造直径所对 解题。-4【自我检测】1、 如图， ABD的三个顶点在。上，AB是直径，点 C在。上，且/ ABD=52° ,则/ BCD=_2、如图，在。中，弧 AB=M AC, /AOB=50 ,贝U/ ADC的度数=3、如图，BD是。的直径，/ CBD=3Cf ,则/ A的度数为 4、如图4, A B是。的直径，C、D，E都是圆上的点，则/ 1 + /2=OD【经典例题】例、如图，四边形ABCD的四个顶点在圆。上,且对角线 AC± BD,OE

9、1 BC于点E,-1求证：OE= AD2思路导航：由倍分关系，联系，由OE和BC的位置关系，由垂径定可知点E是BC的,又由圆的性质知点。为直径的中点，故可作辅助线 本题知识点：,知识点三、圆内接四边形的性质【定义】如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。例如，图1中，四边形ABC混。的内接四边形；。是四边形ABCD勺外接圆。圆内接四边形有以下性质：性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角应用例1、如图，四边形 ABC汕接于。Q /BOD=100,则/ BCD=度例2、如图A, B, C是。上的三个点，若/ A

10、OC=100° ,则/ ABC等于例3、如图， ABC内接于。O, / OBC=40 ,则/ A的度数为方法小结：圆中求角的问题可利用圆内接四边形 的性质解题，未出现基本图形时，可构造圆内接 边形解题。例4、如图，AB是半圆的直径，点 D是弧AC的中点，/ ABC=50 ,则/ DAB等于()例5、如图，已知 AB=AC=AD, / BAC=44° ,则/ BDC的度数为()方法小结：弧中点的条件可转化为 ，见直径应想到 ,例5中出现到定点 A的距 离相等的线段，可构造辅助圆。经典例题如图， ABC内接于。O,且AB>AC. / BAC勺外角平分线交。(1)求证：EB

11、=ECO于E, EFL AB,垂足为F.(2)分别求式子AB+ ACBFAB- ACAF的值(3)若 EF=AC=3 AB=5,求 AEF的面积妙题巧解【自我检测】2、如图，A、B、C在。上，/ OAB=22.5° ,贝U/ ACB=4、已知A, B, C是。上不同的三个点，/ AOB=60° ,则/ ACB=第1题第2题第3题第5题6、 如图，等腰 ABC中，AC=BC。为4ABC的外接圆，D为弧BC上一点，CE± AD于E,求证：AE=BD+DE如图，在四边形 ABCD中，/ ABC=/ ADC=9Cf , / DAB=60° , BD=6cm,求对角线 AC的长.1、如图12,四边形ABCD内接于圆，/ DCE=7CT,