上海市高二上学期期末数学试卷-Word版含解析

1、上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（共48分，每空4分）1 .抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（-2, 3）,则C的方程是 .2 .若过点P （2, 2）可以向圆x2+y2-2kx-2y+k2-k=0作两条切线，则实数k的取值范围 是.3 .参数方程卜二“（氏R）化为普通方程是y=l+cos24. M是椭圆工+，二1上动点，Fi, F2是椭圆的两焦点，则/ F1MF2的最大值为.g225 .圆x2+ （y-a） 2=9与椭圆黄+气-二i有公共点，则实数a的取值范围是.6 .与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 .7 .双曲线2x2-

2、 3y2=k （k< 0）的焦点坐标是（用k表示）.8 .已知P （x, V）是圆（x+1） 2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为.9 .若直线 叶向尸三与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数 a的取值范围 是.2210 .椭圆E:工_+匚二1的右顶点为B,过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M, N 43两点，则 MBN的面积为.11 .设实数x, y满足x2=4y,则&-3）.（yT）的最小值是.2212.椭圆C:三_+匚二1向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C':16 S22豆3+&喀二L设直线l：（2a+1）x+ （1-a

3、） y-3=0,当实数a变化时，l被C'截得168的最大弦长是二、选择题（共20分，每题5分）13 .圆x2+y2+2x+4y 3=0上至ij直线x+y+1=0的距离为近的点有（）A. 1个B. 2个C 3个D. 4个14 . “ab0”是方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C必要不充分条件D,既不必要也不充分条件15 .过点(3, 0)和双曲线x2-ay2=1 (a>0)仅有一交点的直线有()A. 1条B. 2条C. 4条D.不确定16 .双曲线C的左、右焦点为Fi,色，P为C的右支上动点(非顶点)，I为FiPE的内心.当P变化时，I的轨迹

4、为()A.双曲线的一部分B.椭圆的一部分C.直线的一部分D.无法确定三、解答题(共 52 分，8+10+10+12 +12)17 .已知抛物线C： y=2x2和直线l： y=kx+1, O为坐标原点.(1)求证：l与C必有两交点；(2)设l与C交于A, B两点，且直线OA和OB斜率之和为1,求k的化2218 .斜率为1的动直线L与椭圆三_+匚二1交于P, Q两点，M是L上的点，且满足 42| MP| ?| MQ| =2,求点M的轨迹方程.19 .已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A, B关于直线L: y=4x+b对称，求实数b的取值范围.20 .已知双曲线C的渐近线方程为x± 2y=

5、0,且点A (5, 0)到双曲线上动点P的最小距 离为加，求C的方程.21 .设定点A(0,1),常数m>2,动点M (x,y),设后二y),y),且 | 0 | q |二4(1)求动点M的轨迹方程；(2)设直线L: Wx-S与点M的轨迹交于B, C两点，问是否存在实数m使得瓦正聋?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析、填空题（共48分，每空4分）1 .抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（-2, 3）,则C的方程是 y2=gx 或 x2=y .2-3【考点】抛物线的简单性质.【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种

6、情况，分别设出标准方程为 y2= - 2px和x2=2py,然 后将（-2, 3）,代入即可求出抛物线标准方程.【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是 x轴，并且经过点（-2, 3）, 设它的标准方程为y2= - 2px （p>0）,9=4p解得：2p=1,y= "?x；（2）对称轴是y轴，并且经过点（-2, 3）,抛物线的方程为x2=2py （p>0）, - 4=6p,得：2p=, J抛物线的方程为：x2=y.所以所求抛物线白标准方程为：y2=-4x或x2=1y. 占U【考点】圆的切线方程.【分析】将圆化成标准方程，得（x- k） 2+ （y-1） 2=k+

7、1,根据方程表示圆的条件和点与 圆的位置关系，结合题意建立关于 k的不等式组，解之即可得到实数 k的取值范围.【解答】解：圆 x2+y2- 2kx- 2y+k2 k=0,可化为（x k） 2+ （y1） 2=k+1.; 方程 x2+y2 - 2kx- 2y+k2 - k=0 表示圆,k+1 >0,解之得 k> - 1.又过点P （2, 2）可以向圆x2+y2-2kx- 2y+k2- k=0作两条切线，点 P (2, 2)在圆外，可得(2-k) 2+ (2- 1) 2>k+1,故答案为：y2=-x或x2=y.2 .若过点P （2, 2）可以向圆x2+y2-2kx- 2y+k2-

8、 k=0作两条切线，则实数k的取值范围 是（1, 1） U （4, +PQ）.解之得k< 1或k>4综上所述，可得k的取值范围是(-1, 1) U (4, +8), 故答案为(-1, 1) U (4, +8).3 .参数方程 产8ss,、(况R)化为普通方程是 x25.圆x2+ (y- a) 2=9与椭圆*+”二1有公共点，则实数a的取值范围是 -6,6. y【考点】椭圆的简单性质.22【分析】由题意可知：椭圆 三-+2二1焦点在x轴上，a=5, b=3,圆x2+ (y-a) 2=9的圆25 9+ (y-1) 2=1 y=l+ cos 6【考点】参数方程化成普通方程.【分析】利用同

9、角三角函数平方关系，可得结论.【解答】解：由题意，消去参数 9,可得普通方程是x2+ (y-1) 2=1,故答案为x2+ (y- 1) 2=1.24 . M是椭圆上动点，R, F2是椭圆的两焦点，则/ F1MF2的最大值为 _匚97 arccosr-. 9-【考点】椭圆的简单性质.【分析】求得椭圆的 a, b, c,由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得/F1MF2最大，此时M为短轴端点.再由余弦定理，计算即可得到所求最大角.2【解答】解：椭圆的 a=3, b=1, c=/o-=2fi,由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得/ F1MF2最大，此时M为短轴端点.cos/ F1MF2二I

10、叫白肺/-岛上尸_g+9一丝 g2= _=一2X9X99，7可得/ F1MF2的最大值为 兀-arcco河.故答案为： 冗一arccos.22心坐标(0, a),半径r=3.若椭圆三_+匚二11与圆x2+ (y-a) 2=9有公共点，根据图象可 25 9知数a的取值范围.22【解答】解：.椭圆 三_+匚二1焦点在x轴上，a=5, b=3,25 9 1Ixl <5, |y|<4,圆x2+ (y- a) 2=9的圆心坐标(0, a),半径r=3.22若椭圆。+匚m1与圆x2+ (y-a) 2=9有公共点，25 9 1则实数a的取值范围| a| 06；故答案为：-6, 6.6 .与圆x2

11、+y2 - 4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是y2=8x (x>0)或y=0(x< 0).【考点】轨迹方程；抛物线的定义.【分析】分动圆在y轴右侧和动圆在y轴左侧两种情况考虑，若动圆在 y轴右侧，则动圆 圆心到定点(2, 0)与到定直线x=- 2的距离相等, 利用抛物线的定义求轨迹方程，若动圆在 y轴左侧，动圆圆心轨迹是x负半轴.【解答】解：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点(2, 0)与到定直线x=-2的距离相 等，其轨迹是抛物线；且1=2,其方程为y2=8x,若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴，方程为y=0, x<0,故答案为y2=8x,或y=0,

12、x<0.7 .双曲线2x2-3y2=k （k< 0）的焦点坐标是（用k表示）（0, 士4J【考点】双曲线的简单性质.【分析】双曲线2x2-3y2=k （k<0）,化为2女=1,2即可求得c.【解答】解；双曲线2x2 3y2=k （k<0）,=工y 6，双曲线焦点坐标为（0, ±7）故答案为（0, ±“邛）-2化为T2:E=i,根据双曲线方程可知c=Kf8 .已知P （x, v）是圆（x+1） 2+y2=1上一点，则2x+3y的最大侑为 阮 -2 【考点】圆的标准方程.【分析】假设点P的坐标为（-1+cos% sin狐 利用三角函数，可求最值.【解答】

13、解：圆的标准方程为（x+1） 2+y2=1,设 P （ - 1 +cos % sin &,贝2x+3y=2cos +3sin or 2=V13cos （ o+ 0） - 22x+3y的最大值为：V13 - 2.故答案为：VTs - 2.9.若直线 什百厂乏与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数 a的取值范围是 （正，2）.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】抓住两个关键点，一是直线过（0, 1）; 一是直线与圆相切，分别求出 m的值， 即可确定出直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时a的范围.【解答】解：分两种情况：当直线 叶畲产曰过（0, 1）时，将x=0, y=1 代

14、入得：a=/s;当直线亦痣支看与圆x2+y2=1相切时，圆心到直线的距离 d=r=r=1, V 1+3解得：a=2或-2 （舍去）,则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，实数a的取值范围是（/，2）.故答案为（加，2）.2210.椭圆E:三_十匚二i的右顶点为B,过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M, N 43两点，则 MBN的面积为隼，.7 72【考点】椭圆的简单性质.22【分析】由椭圆E:三_十匚二1右焦点（1,0）,右顶点（2, 0）,设直线L的方程为y=x-1,4I 0-2+1 |代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得I MN | ,则B到直线L的距离d= / ,., 山 +（

15、T）d斗，ZXMBN 的面积 S=? I MN | ?d.22【解答】解：由题意可知：椭圆 E:工+匚=1右焦点（1, 0）,右顶点（2, 0）,43设直线 L的方程为 y=x- 1, M（X1, y1），N（X2, y2）,由，了 /,整理得：7x2- 8x-8=0,-F=1I 4 3 1由韦达定理可知： x1+x2=1 , 乂仅2二一号,I MN I =V?J（K +p2&町广沈？4乂（-1）二 岸,I 0-2+1 |贝U B至“直线L的距离d= /+（_产=与, MBN的面积S=!?| MN I ?d=:义号义洛舟2,. MBN的面积为,故答案为：平.11 .设实数x, y满足x

16、2=4y,则d（3）XyT）沁 的最小值是一2_.【考点】抛物线的简单性质.【分析】抛物线的准线方程为 y=- 1,九.3产+61)5+1-1最小值是(3, 1)与焦 点(0, 1)的距离减去1,可得结论.【解答】解：抛物线的准线方程为 y=-1,，&-3)2+(厂1)% + 1-1最小值是(3,1)与焦点(0, 1)的距离减去1,即忘豕的最小值是3-1=2,故答案为2.2212.椭圆C： J+J=1向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C'：22+&二?一n.设直线l： (2a+1) x+ (1-a) y-3=0,当实数a变化时，l被C'截得 168的

17、最大弦长是 8 .【考点】椭圆的简单性质.【分析】直线 l： (2a+1) x+ (1-a) y-3=0,化为：a (2x-y) + (x+y-3) =0,利用直线22系的性质可得：直线l经过定点M (1, 2),为椭圆C': 5二。一+每二一二1的中心.因此1681当实数a变化时，l被C'截得的最大弦长是2a.【解答】解：直线 l: (2a+1) x+ (1-a) y- 3=0,化为：a (2x-y) + (x+y 3) =0,令，2x-y=0 丘, 八，解得 x=1, y=2, x+y-S=O22因此直线l经过定点M (1, 2),为椭圆C'：('? +蜉)

18、二的中心. lo 8因此当实数a变化时，l被C'截得的最大弦长是2a=8.故答案为：8.二、选择题(共20分，每题5分)13.圆x2+y2+2x+4y 3=0上至ij直线x+y+1=0的距离为道的点有()A. 1个B. 2个C 3个D. 4个【考点】直线与圆的位置关系.【分析】圆x2+y2+2x+4y - 3=0可化为(x+1) 2+ (y+2) 2=8,过圆心平行于直线x+y+1=0的 直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为点的平行线与圆相切，只有一个交百八、【解答】解：圆 x2+y2+2x+4y 3=0可化为（x+1） 2+ （y+2） 2=8圆心坐标是（-1, -

19、 2）,半径是2优；.圆心到直线的距离为d二I-1-2+1 I . rz五一过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为近的平行线与圆相切，只有一个交点 所以，共有3个交点.故选：C14 . “ab0”是方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D,既不必要也不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】运用反例，特殊值，结合双曲线的标准方程判断.【解答解：若a=1, b=- 1, c=0,则不能表示双曲线，不是充分条件，反之，若方程ax2+by2=c表示双曲线，则a, b异号，是必要条

20、件，故ab< 0是方程ax2+by2=c表示双曲线的必要不充分条件，故选：C.15 .过点（3, 0）和双曲线x2-ay2=1 （a>0）仅有一交点的直线有（）A. 1条B. 2条C. 4条D.不确定【考点】双曲线的简单性质.【分析】直线斜率不存在时，不满足条件，直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足 题意，可得结论.【解答】解：直线斜率不存在时，满不足条件；直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，过点（3, 0）和双曲线x2-ay2=1 （a>0）仅有一交点的直线有2条.故选：B.16.双曲线C的左、右焦点为R, F2, P为C的右支上动点（非顶点），I为FFE的内

21、心.当P变化时，I的轨迹为（）A.双曲线的一部分B.椭圆的一部分C.直线的一部分D.无法确定【考点】轨迹方程.【分析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q的横坐标，PFi - PF2=FiQ -F2Q=2a, FiQ+F2Q=FiF2 解出 OQ,可得结论.【解答】解：如图设切点分别为 M, N, Q,则PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与 Q横坐 标相同.由双曲线的定义，PF - PF2=2a=4.由圆的切线性质 PF1 - PF2=FiM - F2N=FiQ - F2Q=2a, FiQ+F2Q=RF2=2c, 二 FiQ=a+c, FzQ=c- a, .OQ=FF2QF2=c (c-a

22、) =a. .FiPF2内切圆与x轴的切点坐标为(a, 0),当P变化时，I的轨迹为直线的一部分.故选C.三、解答题(共 52 分，8+10+10+12 +12)17 .已知抛物线C: y=2X2和直线l: y=kx+1, O为坐标原点.(1)求证：l与C必有两交点；(2)设l与C交于A, B两点，且直线OA和OB斜率之和为1,求k的值.【考点】抛物线的简单性质.【分析】(1)联立抛物线C： y=2x2和直线l： y=kx+1,可得2x2 - kx- 1=0,利用> 0,即 可证明l与C必有两交点；(2)根据直线OA和OB斜率之和为1,利用韦达定理可得k的值.【解答】(1)证明：联立抛物

23、线C: y=2x2和直线l： y=kx+1,可得2x2- kx-1=0,.=k2+8>0,，l与C必有两交点;(2)解：设 A (xi, yi), B(X2, y2),则2久=1 叼治因为 yi=kxi+1, y2=kx?+1,代入，得 2k+ (+) =1 町工2因为X1+X2,k, X1X2= - -7,代入得k=1.222218 .斜率为1的动直线L与椭圆三-+9二1交于P, Q两点，M是L上的点，且满足42| MP|?| MQ|=2,求点M的轨迹方程.【考点】椭圆的简单性质.【分析】设直线 L的方程为：y=x+t, P(X1, y1)，Q(X2, y2), M (m, n).可得

24、 y1=x1+t, y2=X2+t , t=n - m ,直线方程与 椭圆方程联立可得：3x2+4tx+2t2 - 4=0 , | MP| = F ) 4 (V F )，= J26 F)',同理可得：| MQ| =，2(工2 f" 利用|MP|?|MQ|=2,代入化简即可得出.【解答】解：设直线L的方程为：y=x+t, P(X1, y1)，Q (泡，v- , M (m, n).则 y1=X1+t, y2=X2+t, t=n - m.联立 1y7c+ 2,化为：3x2+4tx+2t2-4=0,2 =16t2- 12 (2t2-4) >0,解得：t2<6. .X1+X

25、2=粤，=2LW.3 IE 3| MP| =J(K F)4 (y F)2=小2(1F) £ ,同理可得：| MQ|=j2(X2F)<| MP| ?| MQ| =2, . 1=| (x1 - m) (x2- m) | = | 工工+ ”)I, m2+2n2=1 或 7.点M的轨迹为椭圆，其方程为 m2+2n2=1或7.19.已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A, B关于直线L： y=4x+b对称，求实数b的取值范围. 【考点】椭圆的简单性质.【分析】将A, B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线 AB的斜率，由直线AB的斜 率为-十，代入求得AB中点M（X0, y°）

26、,横坐标和纵坐标与 m的关系，代入x2+2y2< 1,即可求得b的取值范围.【解答】解：二椭圆x2+2y2=1,焦点在x轴上,设椭圆上两点A (xi, yi)、B(X2, v2关于直线y=4x+b对称,AB中点为M (xo, yo),直线AB的斜率为-14则 xi2+2yi2=1,x22+2y22=1,一得：(xi+x2)(x1 一x2)+2 (yi+y2)(yi y2)=0,由中点坐标公式可知：xi+x2=2xo, yi+y2=2yo,即 2xo? (x1一x2)+2?2yo? (yy2)=0,. 3J 13 1 =?=x)- x 22 M 4191；yo弓xo,代入直线方程 y=4x+b 得 xo=-yb, yo=-yb；(xo, yo)在椭圆内部，2 i 2.J1L+2X 工<1,即 6b2<49,4g 49_解得孚<b<?理. 66实数b的取值范围(-孚，挛). 662o,已知双曲线C的渐近线方程为x± 2y=o,且点A (5,。)到双曲线上动点P的最小距 离为加，求C的方程.【考点】双曲线的简单性质.2【分析】由已知条件，设双曲线方程 亍-y2=%入wo,由定点A (5。)到双曲线C上的动 点P的最小距