年高考第一轮复习数学新编函数的极限

1、13.3 函数的极限知识梳理(1) 数极限的概念：(1)如果lim f (x) =2且lim f (x) =a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数 f(x)的极限是a,记彳lim f (x) =a,也可记作当x00时，f (x) 一 a.(2) 一般地，当自变量x无限趋近于常数xo (但x不等于x。)时，如果函数f (x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x。时，函数f (x)的极限是a,记作lim f (x) =a,也可记作当x一x。时，f (x)x xo一 a.(3) 一般地，如果当 x从点x=xo左侧(即xvxo)无限趋近于 xo时，函数f (x)无限趋近于常数 a,就说a是函数f (x

2、)在点xo处的左极限，记作lim f (x) =a.如果从点x=xo右侧(即x>xo)无限趋x xo近于xo时，函数f (x)无限趋近于常数 a,就说a是函数f (x)在点xo处的右极限，记作lim f (x) X Xo=a.2.极限的四则运算法则：如果 lim f (x) =a, lim g (x) =b,那么 x xox xolim f (x) ± g (x) 二a ± b; lim f (x) g (x) =a - b; lim (x) = (bw o).x xox xox xo g (x) b特别提示(1)上述法则对x00的情况仍成立；(2) lim Cf (

3、x) =C lim f (x) (C 为常数); x xox xo(3) lim f (x) n= lim f (x) n (nC N *). x xox xo点击双基1. lim f (x) = lim f (x) =2是 f (x)在 xo处存在极限的 x xox xoA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C2x x 1,. .一2.f (x)=下列结论正确的是o x 1,A. lim f (x) = lim f (x) x 1x 1B. lim f(x)=2, lim f (x)不存在 x 1x 1C. lim fx 1(x)=0, lim f (

4、x)不存在 x 1D. lim fx 1(x)手 lim f (x)x 1答案:D3 .函数f (x)在xo处连续是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A(x)在点X0处有极限的4 . (2005年西城区抽样测试)xm1解析：limx 12_x* 2 x 2=limx 1(x 1)(x x(x 1)2)=limx 1x 2 =3.x答案：35.若 limax-2 x=2,则 a=解析:axx2 33=2,4=2. 1. a=4.(1)(3)(4)limx(v(x a)(x-b) -x)；x, |x|lim兀cosx2 cos 一2x sin24答案：4

5、典例剖析【例1】求下列各极限:需求f (xo)即可；若f 的式子.剖析:若f (x)在xo处连续，则应有lim f (x) =f (xo),故求f (x)在连续点xo处的极限时，只 x x0(x)在xo处不连续，可通过变形，消去 xxo因式，转化成可直接求 f (xo)解：(1)原式=limx 24-=limx 4 x 2原式=limx(a b)x ab =a+b. x2(a b)x ab x(3)因为limx 0limx 0x|X|=1,而=mx=1|x|所以limx 0丰lim x 0 |x|x不存在.|x|(4)原式=lim兀 x .22 x cos 2x cos-2.2 sin2 =

6、lim . xx Rsin -x 22(cos +sin x ) = 222思考讨论数列极限与函数极限的区别与联系是什么?【例2】2x b(1)设 f (x) = 00,0,试确定b的值，使lim f (x)存在;； x 0(2) f解：(1)2x0,(x)为多项式，且limxf(x)x4x3f (x)=1, lim =5,求 f (x)的表达式.x 0 xlim fx 0(x)limx 0(2x+b)=b, lim f (x) = lim(1+2x) =2,当且仅当b=2时,lim fx 0(x)lim fx 0(x),故b=2时,原极限存在.(2)由于f (x)是多项式，且limxf(x)

7、4x3 =1,. .可设 f (x) =4x3+x2+ax+b (a、xb为待定系数)"幻=5,x即 lim (4x2+x+a+ ) =5,，a=5,b=0,即 f (x) =4x3+x2+5x.评述：(1)函数在某点处有极限，与其在该点处是否连续不同(2)初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值 是求函数值，使极限运算大大简化.，也就是对初等函数而百，求极限就【例3】讨论函数f(x) = lim2n x2n xx (0<x< +8)的连续性，并作出函数图象部析:应先求出f (x)的解析式，再判断连续性解:当0< x<1时，f2n/、_1 x(x)

8、 = lim - x=x;n 1 x2n当 x> 1 时，f (x) = lim2n x-2a x二1 x. x=lim x=-x;n 工12nx当 x=1 时，f (x)=0.f (x) = 0(0 (x(xx 1),1)， i1).- lim f (x) = lim(x) = - 1, lim f x 1(x) = lim x=1,x 1lim f (x)不存在. x 1.f (x)在x=1处不连续，f (x)在定义域内的其余点都连续 图象如下图所示.评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在闯关训练夯实基础“分界点”的左、右极限，进而判断连续性1.已知函数f (x)是偶函数，且Jim

9、f(x)=a则下列结论一定正确的是A. lim f(x)= 一 aB.limx(x) =aC. Jm f(x)=|a|D.limx(x)=|a|解析：f(x)是偶函数,.1. f ( x)=f (x).又limxf (x) =a,lim f x(x) =a,f(x) =f (x),limxf (x)limx(x)=a.2. (2004年全国n ,理2)lxm12 x2 x4x1 A.一2B.12 C.51 D.-4解析:(x 1)(x2)x2 4x 5(x 1)(x 5)lxm1x2 4x 5 23.已知函数y=f (x)在点x=x0处存在极限，且limx xqf (x) =a22, lim

10、f (x) =2a+1,贝U函数 y=f (x) x x在点x=x。处的极限是a=3.解析：；y=f (x)在x=xo处存在极限，1 lim f (x) = lim f (x)，即 anxn n2=2a+1. a= -1xxoxxolim f (x) =2a+1= 1 或 7. x Xo4.若f (x) =n n = lim在点x=0处连续，则f (0)3x11解析：:f (x)在点x=0处连续, -f (0) = lim f (x), x 0x1 1lim f(x)=limx 0x 03 x1 13limx 0L(X 1)2 3x 1 1 3答案：325.已知函数f(x) = lim2n2n

11、nX一,试求：nX(1) f(x)的定义域，并画出图象;是否存在lim f (x)、lim f (x),并指出 lim f解:(1)当冈2时,lim n2n2nnXnX=limn(2)nX1-=-1；当|x|<2时,lim n2n xn1 (x)n=1；x n1 ()2当x=2时,limn2n xn =0; 2n xn当 x= 2 时，lim2n2nnx fl”不存在.nx1-f (x) = 01(x (x (22 或x2),2), x 2).f(x)的定义域为x|xv 2 或 x=2 或 x> 2.如下图：(2) lim f (x)x 2=1, lim f (x)x 2=1. 1

12、, lim f (x)不存在.x 26.设函数f(x) =ax2+ bx+c是一个偶函数，且lim f (x) =0, lim f (x) =3,求出这一函数最大值. x 1x 2解:.£ (x)f (x)=ax2+bx+c是一偶函数,=f (x),即 ax2+bx+c=ax2 bx+c.b=0. f (x) =ax2+c.又 lim f (x) = lim ax2+c=a+ c=0, lim f x 1x 1x 2(x)=lim ax2+c=4a+c=3, x 2，a= 1,c=1.f.f.f(x)(x)(x)max=f (0) =1.的最大值为1.培养能力7.在一个以AB为弦的弓

13、形中,C为"的中点，自A、B分别作弧AB的切线，交于D点，设x为弦AB所对的圆心角，求lim S ABC X 0 S ABD解：设二卜所在圆圆心为。，则C、D、。都在AB的中垂线上， ./AOD = /BOD = x .设 OA=r.2字ABC=S 四边形 AOBC Sa AOB=r2sin r2sinx=r2sin 11 cos),8AABD=S 四边形 AOBD字AOB=r2tan 21 r2sinx=r22. 3 x sin22x . cos一2S ABC lim = limx 0 S abd x 02 . xx、r sin (1 cos )22=lim2 . 3 X r si

14、n 一2x cos- 2xcos-)21x 一 2 cos28.当a> 0时，求limx 0:x2一x22 ab222解:原式=lim "x ax 0 /2,23 x ba)(、. x22 ab2a)(一 x2b2b)b)( x2 a2 a)/ 2222,2(x a a )(, x b b)=lim x 0 , 2,2,222、(xbb)( xa a).x 因而 f (x)=- 2a2b2b|b|b= lim =x 0.x2a2alaia0 Wb。日t),=b(当 b 0时).a探究创新9.设f (x)是x的三次多项式，已知 f(x) r f(x) dlim = lim =1.

15、X 2a x 2a x 4a x 4a试求lim f(x)的值(a为非零常数). x 3a x 3af(x) .解:由于lim ' ) =1,可知f (2a) =0.x 2a x 2a同理f (4a) =0.由，可知f (x)必含有(x2a)与(x-4a)的因式，由于f (x)是x的三次多项式，故可设f (x) =A (x2a) (x4a) (x C).这里A、C均为待定的常数.由 lim f(X)=1,即 x 2a x 2a=lim A (x 4a) (x C) =1, x 2a得 A (2a4a) (2a C) =1, 即 4a2A-2aCA=-1.同理，由于lim f(x) =1

16、, X 4a x 4a得 A (4a2a) (4a C) =1, 即 8a2A2aCA=1.由得 C=3a,A=12 , 2a2(x 2a) (x4a) (x 3a).f (x)lim = limX 3a x 3a X1,、=-.a . a)2a2思悟小结3a1， 八、，、-(x2a) (x4a) 2a211. lim f (x) =A xlim f (x) = lim f (x) =A,lim f (x) =A lim f (x) = lim f (x) =A.X xox X0X X02 .函数f (x)在X0处连续当且仅当满足三个条件：(1)函数f (x)在x=xo处及其附近有定义；(2) lim f (x)存在； x xo(3) lim f (x) =f (xo).x xo3 .会熟练应用常见技巧求一些函数的极限.教师下载中心教学点睛1 .在讲解过程中，要讲清函数极限与数列极限的联系与区别，借助于函数图象讲清连续性的意义2 .函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需给 予关注.3.在求函数极限时，需观察，对不能直接求的可以化简后求,但提醒学生要注意类似于lim qx x2 i与lim Xx_1的区别. x x拓展题例5x 2k (x 0,k为常数)【例1】 设