数列的极限经典习题

1、Chapl数列的极限1.设 Xn >0(n =1,2, III)及 lim Xn 二 a，用 n：N语言,证明：lim_ /云=JW .,Xn0 , a 0.当a =0时，那么lim Xn =0 ,下证limXn - 0 .n二：n_2Vs >0，则存在 N > 0 , 当 n > N 时，0 < Xn = Xn - 0 < s .-可编辑修改Xn <君,此即Xn 0名.(2)limn 一当a>0时，V s > 0,存在N > 0 ,当n > N时,Xn - aXn - aXnXna alimn.d)nim 3Xn综上两方面,即

2、证.2 已知lim Xn = a ,用£ - N语言,证明： n ,:证（1）当a =0时，那么lim Xn =0 , n 经Vs>0,存在 N >0 ,当 n >N 时,XnVXnXn =0 = Va .（2）当a #0时，因为3 Xn0 ,存在N > 0,当n > N时，有3 3 -2=一(壮)，"im x n 二 a,则对 Pw >4 n iXn aXn - a两百+（扣）2limn 一.：3a.（算术平均收敛公式）设lim xn = a .令n ：Lnxix2I I I xn,求证：lim t n = a .n 2由施笃兹公式li

3、mxix2lim-n n j .xn十四十nx 2 |4 - x i x 2 |ll xn i-li mx n - a . n证法2 由lim xn n一 .：,则V6 > 0 ,存在Ni > 0 ,使当n > Ni时，有Xi + X2 +| + Xn a+ 111 +xNi-aNi" a +)11 +1(1 +x N1 -a ,那么Xix2|lnxn-an Ni存在N 2 >0 ,使当nc> N 2时，有一n再令N = max Ni , N2 ),故当n > N时，由，有xi x2 1,1 xn an - Ni<+- <2 n 24.

4、lim nn 一.：limn 一卷（几何平均收敛公式xix2111 x)设为>0 (n=i,2,iii).且nimx n = a .证明：nim ,nxixzlll xnlimln xn - In a . n 二再由算术平均收敛公式可知Ymn/Xi x2 H"iln x 11n I/n x n=lim e nn ;证令a，n _1 =a ，则a >0 ,依伯努利不等式,有1 a 1 J-a n 1 -an,只要白<名.所以，有n >上.取N =a 11，则当n > N 时，就有 1a - v s ,即 nfa -16 证明：若lim ann:二 a ,则

5、 lim an 一 ：a .当且仅当a为何值时逆命题也成立证 由题设 lim an = a n ,n知Va A0,3N >0 ,当n > N时，皆有an从而当n > N时总有an - a所以lim a n-?<当且仅当a =0时，逆命题也成立7.设 a ER,且 a >1，用_ N语言，证明：lim -n- -, 0 .n an一.7n1 a 1-二2 (由二项展开式得n n-1 a-12 n- 1 a - 1要使只需即若取2a -1,则当n AN时，就有n- na n2n-1 a-1所以limn=0.数列,a >1，aw R是无穷小序列8利用单调有界性证明

6、y i = b > 0 ,且 Xn 上二yn ,.n -1,2, Hl .贝U lim Xn _ lim yn .Xn >0 , yn > 0是显然的.由Xnynyn a1 a2 IP an n -2 -Xn 1 - Xn Vn 至Xn Xn一Xnyn 1 *Xn C yn24单调增加,yn 单调减少,又Xnynyi ,yn 占 Xn Xi ,存在.所以Xn , yn 有界.即 lim Xn 二 A, lim yn对yn 1 Xn , yn两边取极限2，得9 证明：数列1 + IIk n Jn1单调增加证 记Xn =n11 + n ,数列J1 1工调减少1 n11，由平均值不

7、等式，两者收敛于同一极限na1a2|-nil n 1 Sn 1一 Xnynyn 14单调增加,yn 单调减少,且1 - X1 Xnyny1 4 .所以Xn , yn 单调有界，必定收敛.由yn二Xn11 + 2 ),知它们有相同的极限.即nJ )nJ1Q证明：若a =1+2_ln n .则数列an 收敛. n证 由上例知11(1- n11 ；11 + n n j,两边取对数得即有不等式n ln 11 +_n1an 1 -an - In n 1 in nn 11 _1n 11 +_an21n_ +1n11ln n n3-Il1 ln2ln n一 In n 1 - In n 0即an )单调减少有

8、下界,所以an 收敛11.设数列Xn 满足：X0 =1 , Xn +n = 1,2,3 HI .证明：数列%收敛,弁求nimx13证X0 = 1 , X12 一 22, X2 =.2 X1 = 24 .用数学归纳法可证2n 111 一 cXn - 2 2- 2 2 , n - 0,1, 2|llllln 1n2 12 一 1 、 n 1n .22由式知Xn .<Xn(n =0,1IHHI )即Xn)单调递增再由式知1 < xn <2，二xn 收敛.设lim x n = a ,则a 1 1. n .；Xn 1 2. j2Xn,两边取极限有：a = >/2a .二 a 22a ,又；a 0 0 .12a =2 ,即 lim Xn = 2 .n -Xr出 c 0 , 0 x a, x x 2以 a >V，V < xi < a , n += n an =1,2,3 hi .证明：数列 x 收敛，弁求n 其极限 证先用数学归纳法证明0 < xn < a , n 匚 NCl当n =1时，结论成立，归纳假设结论对n成立，再证n +1时，因为xn1xxn.设为 lim x n = b .由 xn +=xn 2田；a J式解得b 一 a .二0 V xn + <a .即式成