新课预习讲义选修2-1第二章椭圆(2)椭圆的性质(教师版)doc教学内容

1、新课预习讲义选修21:第二章椭圆（二）§222椭圆的几何性质学习目标1 .掌握椭圆的简单几何性质2 .理解离心率对椭圆扁平程度的影响 .3 .通过椭圆标准方程的求法，体会一元二次方程的根与系数的关系的应用.4 .掌握椭圆的离心率的求法及其范围的确定.5 .掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题学习重点：1 .椭圆的简单几何性质.（重点）2 .椭圆的方程和性质的应用及直线和椭圆的位置关系，相关的距离、弦长、中点等问题是考查的重点.3 .椭圆的第二定义，椭圆的焦点弦、焦半径及其相关问题学学习难点1 .本节常与几何图形、方程、不等式、平面向量等内容结合出题.

2、2 .命题形式比较灵活，各种题型均有可能出现.,命题的形式多样化.一、自学导航 ,焦点在y轴上时知识回顾:复习复习1：椭圆的定义是2:椭圆的标准方程是：焦点在x轴上时,复习3:椭圆复习4:方程b、2 x162 x5c间的关系是2 y122 ym1上一点P到左焦点的距离是 2,那么它到右焦点的距离是1表示焦点在y轴上的椭圆，则 m的取值范围是预习教材：自主梳理：第43页一一第51页的内容。1、椭圆的几何性质：（1）范围；（2）对称性；（3）顶点（长轴、短轴、焦距）；（4）离心率;2、椭圆的第二定义及椭圆的准线方程预习检测：1,椭圆x2+4y2= 1的离心率为（教材第51页）A<23B.42

3、D.3解析：将椭圆方程x2 + 4y21化为标准方程x2+：=141则 a2=1, b2=：r 一1即 a= 1, b = 2,所以c=年故离心率e=：=沿故选A.（4,0）, （0,2）,则此椭圆的方程是（）2.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是BA：1C.xi +:1D.f6+20=1解析：由已知”4, b= 2,椭圆的焦点在X轴上，所以椭圆方程是布卜1.故选C.x2y23.已知点（2,3）在椭圆彳+n=1上，则下列说法正确的是（）A.点（一2,3）在椭圆外B.点（3,2）在椭圆上C.点（一2, 3）在椭圆内D.点（2, 3）在椭圆上解析:m2+n92=1,则点（一2,3）

4、、点（2, 3）、点（2, 3）在椭圆上.故选 D.4.已知点一x2y2 ,(4,2)是直线l被椭圆6+ 9= 1所截得的线段的中点，则 l的方程是解析:设截得的线段为AB, A（xiyi)B（x2, y2）,中点坐标为（xo, yo）,利用“点差法”y1-y得二一 x2x936,即3丝x1 x2 xo936y1-y21k= q,x1 x22直线l的方程为c 1，、y-2= - 2(x-4),x+ 2y-8=0.答案：x2 y25.过椭圆x- + 4x+ 2y- 8=0=1的左焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于 A, B两点，O为坐标原点，求弦AB的长.解析： 由椭圆方程得a2 =5, b2=

5、4c2=1,左焦点为(-1,0).直线AB的方程为y=2（x+ 1）代入x + ?= 1 得 6x2+10x= 0.，x1= 0 或 x2= 一543|AB|= (1255V522) 0( -)3问题与困惑：二、互动探究问题探究：（一）椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程22xy2,2ab1(a b 0)22yx2,2ab-1(a b 0)范围a x a, b y bb x b, a y a顶点（土 a,0）, （0, 土 b）（土 a,0）, （0, 土 b）油长短轴长=2b ,长轴长2a隹点（c,0）（0, c）焦距|F1F2|= 2c 2Va2 b2对制生对称

6、轴：坐标轴，对称中心：坐标原点.离心率c.e -（0 e 1） a(二)椭圆的第二定义、准线方程、焦半径等21、椭圆的第二定义：若动点 M (x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l : x 的距离的比是常数 ce(0 e 1),则动点M的轨迹是一个椭圆.222、椭圆的准线方程：若焦点在x轴上，则左准线是x；右准线是x;cca2a2若焦点在y轴上，则下准线是y；上准线是y；cc3、椭圆上任意一点 M (x0, y0)的焦半径(其中，Fl为左焦点，F2为右焦点)：|MF1a ex0, MF2a ex0(若焦点在y轴上，其中，Fi为下焦点，F2为上焦点，则|MFi a eyojMFzl a

7、eyo典例导析：题型一、椭圆的简单几何性质例1、求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标和离心率：(1)4x2 + 9y2= 36;(2) m2x2+ 4m2y2= 1(m >0).思路点拨原方程芦粤>椭TIM的标准方程上令确定">«白>结果解题过程(1)将椭圆方程变形为 29+y4=1, .-.a=3, b = 2, .c='/a2-b2 =9-4 = V5.二椭圆的长轴长和焦距分另1J为2a = 6,2c= 2y5,焦点坐标为Fi（m,0）, F2（45, 0）,顶点坐标为 Ai(3,0), A2(3,0), Bi(0, 2), B

8、2(0,2),离心率e=a1.(2)椭圆的方程 m2x2+ 4m2y2= 1(m>0)可化为x+ -y=1./m2<4m2, 马下焉，m2 4 m2，椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长2年短半轴长b=器半焦距长c=兴 2 ，一1，椭圆的长轴长2a= m,短轴长2b = m,焦点坐标为一2m3,0, 2m，0，一 1111顶点坐标为m, 0, m，0, 0, -2m,。，茄.3c 2mm2 .题后感悟已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点 位置不确定的要分类讨论，找准 a与b,正确利用a2=b2+c2,求出焦点坐标，再写出顶点坐标. 变式训练：

9、1 .求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率.（1）25x2+y2= 25;（2）4x2+9y2=1.解析：（1）将椭圆方程变形为x2+21=1,.a=5, b=1,.,.c= a2- b2 = 25- 1 = 26.，椭圆的长轴长 2a= 10,短轴长2b= 2.焦点坐标为 F1（0, -276）, F2（0,246）,顶点坐标 A1（0, 5）, A2（0,5）, B1（1,0）, B2（1,0）.南p玄 C 2造离心率e=c= 氏. a 5（2）椭圆的长轴长和焦距分别为 2a= 1,2c=W5, 3离心率e= a=（5，焦点坐标为F10 , F2手，0 ,顶点坐标为A1 1

10、,0 , A21,0 , B1 0, 1, B20, 12233题型二、由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程 例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程.长轴在x轴上，长轴的长等于12,离心率等于|；3(2)长轴长是短轴长的 2倍，且椭圆过点(2, 4).思路点拨 I = 1 N * - =。= 8 , 工=2。| 求方程 |CT4*1a（2% 次"殳方程 +- 1 成X +吝 =1 （e 小AO）JOrOt»坐标解题过程(1)由已知2a=12, e=c=2,得a=6, c=4,从而b2=a2c2=20,又长轴在x轴上, a 3x2 y2故所求椭圆的标准方程为三+ 2o= i.(2)

11、-2a=2X2b,，a=2b,一心 tx2 y2当焦点在x轴上时，设方程为42+，1,一，一，4169点(2, 4)在椭圆上，后+记=1,，b2=17.x2 y2椭圆的标准方程为 雨+石=1，x2 y2当焦点在y轴上时，设方程为： /+狗=1，点(一2, 4)在椭圆上，j42+46= 1,，b2=8, .,.椭圆的标准方程为：x + ;y;=1.8 32综上，椭圆的标准方程为 。+5=1或xr + y； = 1.68178 32题后感悟(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：求出 a2, b2的值；确定焦点

12、所在的坐标轴；写出标准方程.(3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用.变式训练：2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6;(2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点 A(5,0).x2 y2解析：(1)设椭圆万程为了+上=1(a>b> 0).如图所示， A1FA2为一等腰直角三角形， OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c, |AiA2|=2b,-.c= b=3,，a2= b2+c2= 18,x2 y2故所求椭圆的方程为历+y9=i.(2)方法一：若椭圆的焦点在x轴上,a= 5, 解得b=1,2

13、22a=5X2b,设其标准方程为X2+/= 1(a>b>0).由题意，得 25 0 尹落1，故所求的标准方程为x+ y2= 1 25 y '若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为=1(a>b>0)2a= 5"b，a=25,由题意，得 0 25 解得尹产1,b=5，故所求的标准方程为烝+X2=1.625 25综上所述，所求椭圆的标准方程为X2- + y2=1或g+圣=1.25 )625 25X2 y2方法二：设椭圆方程为-+-=1(m>0, n>0, mn),25+ 0= 1,%0=1,由题意，得m n或m n2Vm = 5X26,2玖=5X2

14、,m= 25,m= 25,解得或n= 1,n = 625.故所求椭圆的标准方程为 z1+y2=1或三十吗=1.25625 25题型三、求椭圆的离心率例3、如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1, F2在x轴上，A, B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且 PF1，x轴，PF2/AB,求此椭圆的离心率.思路点拨求椭圆的离心率就是要设法建立a、c的关系式，可借助 PF1F2sAOB来建立a、c的关系式.22规范彳K 设椭圆的方程为02+jy2=1(a>b>0).如题图所示，则有 F1(-c,0), F2(c,0), A(0, b), B(a,0),直线PFi的方程为x=-c,代入方程yL=

15、 1彳曰v=且b2 1,付 y一,b2.又 PF2/AB, .妒F1F2S»OB.|PFi|AO| . b2FiF2一|OB.2aca-.b= 2c.,c2_ 1,a2=5.例4、若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆=1总有公共点，求 m的取值范围. .b2= 4c2, .a2 c2= 4c2即e=卷,所以椭圆的离心率为隼c题后感悟(1)求离心率e时，除用关系式a2=b2 + c2外，还要注意e 的代换，通过解方程求离心率.a(2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识.变式训练：3.已知椭圆的两个焦点为 F1、F2, A为

16、椭圆上一点，且 AF1XAF2, ZAF2F1 = 60° ,求该椭圆的离心率.解析：不妨设椭圆的焦点在 x轴上，画出草图如图所示由AF1LAF2知，AF1F2为直角三角形，且/ AF2F1=60°.由椭圆定义，知 AFi|十|AF2| = 2a, |FiF2|=2c.则在 Rt»FiF2 中，由/ AF2Fi= 60彳导|AF2| = c, |AFi|=、/3c所以 |AF1|十 |AF2|=2a=（ .；3+1）c,所以离心率e=+V3-1.题型四、直线与椭圆的位置关系思路点拨方法一 ； |联立直域写椭圜方程|卫"二矣于丁的二次方程施1«1

17、m的迄国I* A*。对任意也巨R都成团公共点解题过程方法消去V,y= kx+ 1由 x2 y27+m=1得(m+ 5k2)x2+ 10kx+ 5(1 m) =0, .A= 100k2-20(m+5k2)(1 - m)= 20m(5k2+m-1). .直线与椭圆总有公共点，A>0对任意kCR都成立.m>0,，5k2>1 m 恒成立， -1 mW 0,即 m> 1.又椭圆的焦点在x轴上，OvmvS, .K m< 5.方法二：二.直线y=kx+1过定点M(0,1), .要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上,0 V m< 5,由此得02 1

18、2? + m< 1，解得1 w m<5.题后感悟判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y或x,得到关于x或y的一元二次方程，记该方程的判别式为 ,则(1)直线与椭圆相交？ A>0; (2)直线与椭圆相切？ A=0;(3)直线与椭圆相离？ A<0.变式训练： .x24.对不同的实数值 m,讨论直线y=x+m与椭圆+y2=1的公共点个数.解析：直线与椭圆的公共点的坐标就是下面方程组的解:y=x+mx2 c% y2=1x2将代入得-+(x+m)2= 1,整理得 5x2+8mx+ 4m2 4=0此方程的实数根的个数由根的判别式A决定，A= (8m)2 4

19、 X 5(4m2-4) = 16(5- m2).当一45vmv45时，A>0,方程有两个不同的实数根，代入可得到两个不同的公共点坐标，此时 直线与椭圆有两个公共点.当m=- &或m=45时，A= 0,方程有两个相等的实数根，代入可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共点.当mv45或m>45时，Av 0,方程没有实数根，直线与椭圆没有公共点.题型五、中点弦问题例5、已知点P(4,2)是直线l被椭圆' + y2= 1所截得的线段的中点，求直线 l的方程. 36 9规范彳答方法一：若直线l斜率不存在，则直线l垂直x轴，故弦中点应为(4,0),与已知矛盾，所 以直线

20、l的斜率存在.所以可设直线l方程为y2=k(x4),即y=kx4k+2.x2 y236+ 9=1，222由消 y 并化简，得(1+4k2)x2-16k(2k- 1)x+64k264k 20=0.y= kx 4k+ 2,16k 2k 1x1 + x2设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1 + x2="一,由已知一 一 = 4.1 + 4k2216k 2k111=8,解得k= 5,1 + 4k22 直线l的方程为x+2y8=0.X2. yi= 136 + 9 1方法二：(点差法)设直线l与椭圆交于一得,贬对+且_且=036 36 99 0,A(x1 ,y1) ,

21、B(x2, y2)(x1w x2), l 的斜率为 k,则2x2 y2,36+ 9= 1x2 + x1 x2x1y2+y1 y2 y1即 36+9x1+x2y1 + y2y2y1 点P(4,2)是弦AB中点， -x1 + x2=2X 4=8, y1+y2=2X2=4, 直线l的斜率k满足"+4k=0. 36 91.k= - 2,1 一 直线 l 的方程为 y 2= 2(x 4),即 x+ 2y 8=0.x2 y2题后感悟在处理与弦的中点有关的问题时，常采用“点差法:即：若椭圆方程为a2+b2=1,直 线与椭圆交于点 A(x1, y1), B(x2, y2),且弦AB的中点为M(x,

22、y),则x2 y2a2'+ 萨=1x2 y2尹1一，得 a2(y2-y2) + b2(x2-x2)= 0,yi y2X1 X2b2 X1 +X2a2 yi + y2b2 xa2 y.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决.变式训练：X21 15.已知椭圆X2+y2=i,求过点p 2，2且被p平分的弦所在直线的万程.解析：方法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为2|'+y2= 1,11.2O+ 2 2k,由11彳#(2 + 4k2)X2+4k(1 k)X+(1 k)24=0.y=kX + 2-2k,11)y-2= k x 2 ,即 y=

23、 kX设直线与椭圆交于 A(X1, y1), B(X2, y2)两点,则4k 1-kX1 + X2 = = 1 ,2+4k2，r1解之得k= - 2.直线方程为2X+4y3=0.方法二：设直线与椭圆交于 A(X1, y1)，B(x2, y2)两点,由题意知，所求直线的斜率存在，设为k,则 X1+X2=1, y1 + y2=1.界 y2=1,X225 + y2= 1，2(x2-x2),y1 y21 X1 + X2 = _ X1 X22 y1 + y212'即 k=-2,.直线方程为y-2； =-2 x-2 ,即 2x+ 4y3= 0.题型六、椭圆的弦长问题x2例6、已知斜率为 + k2J

24、 y1 + y2 2 4y1y2.的直线l过椭圆-+ y2= 1的右焦点，交椭圆于A、B两点,求弦AB的长思路点拨求直线7方粗卜构述方程细:两点同即驾公式求弦长解题过程.a2 = 4,b2=1,c= Ja2 b2 = y/3,，右焦点F(a/3, 0), 直线l方程y= x小.消去y并整理得5x2 843x+ 8=0.y= x事由x22i+y =1设直线l与椭圆的交点为 A(x1, y1), B(x2, y2),则 xiXA3 x1x2=5. .|AB|=弋 x1一x2 2+ y1 - y2 2=x1x22+ x1 一 6一 x2 +V3 22 x1 x2 2=42 x1 + x2 2 4x1

25、x2业4X8 =|,即弦AB的长为5.x2 y2题后感吾(1)求弦长的公式：设直线方程y=kx+ m,椭圆方程p + 2=1(a>b>0).直线与椭圆的两个交点为 A(x1, y1), B(x2, y2),|AB|= / x1 x2 2+ y1 y2 2 = x1 x2 2 + kx1 + m kx2 m 2 =，x1 - x2 2 1 + k2 = 11 + k2|x1 - x2|N1 + k2 x1 + x2 2 4x1x2或 |AB| =y1一 my2一 m 2+ (y-y2)211 + k2|yi y2|当k=0时，直线平行于 x轴，.|AB|=|xi X2.弦长公式：MN

26、| J(1 k2)(xi X2)2 4x1X2适用于所有圆锥曲线.变式训练：3.椭圆ax2+by2=1与直线x+y1 = 0相交于A, B两点，C是AB的中点，若AB|=242, OC的斜率为 求椭圆的方程.解析： 方法一：设 A(x1，巾)、B(x2, y2),代入椭圆方程并作差得a(x1 + x2)(x1 x2)+ b(y+ y2)(y1 y2)= 0,y1 一 y2y1 + y2 L 二而 =1,= koc = Q ,x1 x2x + x22代入上式可得b= ,2a.再由|AB尸,2|x2 x11= 2.2,其中x1、x2是方程(a+b)x22bx+ b1 = 0的两根，2ba+ bb-

27、 1- 4 -= 4,a+ b将b=ma代入得a = 3，小=乎, 所求椭圆的方程是x2+<2y2 = 3.ax2 + by2= 1方法二：由，得(a+b)x22bx+b1 = 0.x+ y= 1设 A(x1, y1)、B(x2, y2),=啦4b2 4a+b b- 1则|AB=q k2+1 x1-x22a+ b- a+ b一 ab .|AB|=2V2,= 1Wa+ b设 C(x, y)-Ux=七x2b,y= a+ b一二2 a , 2.OC的斜率为2，=2 .代人，得a = 3, b=2.一、, X7、已知点A (2, &3),设F为椭圆162 c椭圆方程为不十为-y2= i.

28、33题型七、椭圆第二定义、焦半径及其应用22例7、已知F1、F2是椭圆 i的两个焦点，能否在椭圆上求一点 M (M在y轴的左侧)，使M 43请说明理由到左准线的距离 MQ是MFi与MF2的等比中项，若能，求出该点的坐标，若不能,思路点拨因为题目中涉及焦半径及到左准线的距离，所有考虑用椭圆的第二定义解析：假设存在点M(Xi, Yi)(2x10)满足 MQMF1MF2 ,2.椭圆方程42,b,3,c i MQMFiMQe,又 MF2由MQ但2 Xi2aXiMFiMFi| |MF22aXie(4得(4Xi)Xii 、(2 2Xi),1- Xi ；2Xi)2(20),故不存在适合题意的点MF2i2Xi

29、)(2i2 XiiXi )2解此方程得Xi题后感悟当题目种涉及焦半径、焦点弦问题时，用椭圆的第二定义常常使解题更简便 变式训练：2MF的2y i的右焦点，M为椭圆上一动点，求 AM i2最小值，并求出此时点 M的坐标.解析：过A作右准线l的垂线，垂足为 N ,与椭圆交于 M .,离心率 AMAMMFMN1 得 2MF| MN ,2MF的最小值即为线段 AN的长,AN =2 + 8=102MF的最小值为10,此时M (243, J3)题型八、椭圆的综合问题例8、如图，点A是椭圆C:a2+3=1（a>b>0）的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点 B,若P在y轴上,

30、且 BP /x轴，AB AP =9.若点P的坐标为（0,1）,求椭圆C的标准方程;（2）若点P的坐标为（0, t）,求t的取值范围.思路点拨解答第问的关键是由已知条件准确分析出|AB|与| AP|的关系，再由向量的数量积,得|AP|,从而用待定系数法求出椭圆C的方程，解答第（2）问的关键是利用 a2>b2>0,构造t的不等式解出t的范围.规范彳K 二.直线AB的斜率为1, ./BAP=45°,即ABAP是等腰直角三角形，|AB|= V2|AP|. 1 .ABAP=9, .,.|AB|AP|cos 45 = 721Ap12cos 45 = 9,一2 .|A P |= 3.(

31、1) .P(0,1), .|OP|=1, |OA|=2,即 b = 2,且 B(3,1),.B在椭圆上，%；=1,得a2=12,a 4（2）由点P的坐标为（0, t）及点A位于x轴下方，得点 A的坐标为（0, t 3）,- -t3 = b,即 b = 3t.显然点B的坐标是（3, t）,将它代入椭圆方程得:丹+上弓=1,解得a2="La 3-t 23-2t2. a2>b2>0,3 3-t2>(3 1)2>0.3-2t.3- 32t. 32t"3-2t- 1-3-2t>0,3所求t的取值范围是0<t<3.变式训练：8、已知椭圆的长轴A

32、A26,焦距F1F24寸2,过左焦点Fi作倾角为的直线交椭圆于M、N两点,问 在什么范围内取值时，弦 MN的长不小于椭圆短轴的长?2解析：由题意a 3, c 272, . b 1,椭圆方程为 9方法一：设直线MN的方程为y k（x 2<2）9y2 9 0(1 9k2)x2 36、,2k2x9(8k21)k(x2.2)y1），N(X2,y2)，有 XiX236.2k21 9k2X1X2_ _ 29(8k9k2由弦长公式得MN;(1-k2)(Xi-X2)24X1X22由此求出k的范围进而再求的范围（此解法较繁）方法二：连结 MF2、NF2 ,设MF1 dNF1d2,则 MF26d16 d2在

33、 MF1F2中，由余弦定理有:MF2MF1F1F222 MF1F1F2 cos( (6 d1)2d12328,2dl cos22同理，在 NF1F2中，有（6 d2）d232 8,2d 2 cos1分别解得：d1 1, d23 2 , 2 cos12,2 cosMNd1 d2-962,由题意8 cosMN色或cos 2.32，为倾角，Q）,故当0,6 .）时满足题意方法三：设M、N到左准线的距离分别是则MF1eriXi2e(一cXi)ex1 ,同理 NFia ex2MN由知x1MNMF1X2NF12ae(x1X2)2.23(Xi X2) 636 2k21 9k26笆1 9k26 6k21 9k

34、2口（以下解略）3三、巩固拓展必做：教材第49页,习题2.2 A组第8、9、10题，B组第1、2、3、4题补充作业：一、选择题（每小题5分，共20分）1,椭圆X5+y92=i上的点p到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是（）A. 8,2B. 5,4C. 9,1D. 5,1解析： 因为a= 5, c=4,所以最大距离为 a+c= 9,最小距离为a- c= 1.答案： C2 .已知F1、F2为椭圆X22+*=1（a>b>。）的两个焦点，过 F2作椭圆的弦AB,若 AF1B的周长为16,椭圆离心率e=-23,则椭圆的方程是（）A.7+3口壮1B/=1C " 1C.16 12解析

35、： 由题意知4a=16,即a=4,3又 e=3- c= 2 .;3, .b2= a2 c2 = 16 12=4,22椭圆的标准方程为1+ y4=1.答案： B3 .已知以F1（2,0）,F2（2,0）为焦点的椭圆与直线 x+J3y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A. 3mB. 276C. 2/D. 4v2解析： 设椭圆方程为$+今=1（a>b>0）.b2x2+a2y2-a2b2=0,x+ ,/3y+ 4 = 0,得(a2+ 3b2)y2+ 8#b2y+ 16b2 a2b2=0,由题意得 A= (8V3b2)2- 4(a2+ 3b2)(16b2- a2b2) = 0且

36、a2b2=4,可得 a2=7, .-.2a=27.答案： C4,过椭圆2| 十1的右焦点且倾斜角为 45°的弦AB的长为()90A. 5B. 6C.行D. 7解析:椭圆的右焦点为（4,0）,直线的斜率为k=1,，直线AB的方程为y=x 4,y= x 4得 9x2 + 25(x 4)2 = 225,25由弦长公式易求90 AB尸石.二、填空题(每小题5分，共10分)5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是解析：设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2c,由题意可得 2a+ 2c= 4b, a+c= 2b,又 b=/a2-c2,所以 a+ c= 2Ja

37、2- c2,3 .整理得 5e2+2e 3=0, e= 3或 e= 1(舍去).56 .若倾斜角为广的直线交椭圆X+y2=1于A, B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是解析：设中点坐标为(x, y),直线方程为y=x+b,代入椭圆方程得5x2+ 8bx+ 4(b2- 1)=0,X1 + X2x=24一 P得 x+4y"by=5由 A>0 得一V5<b<V5,故N5<x<4J5.答案： x+ 4y =0 4y5<x<4V555三、解答题(每小题10分，共20分)x2y27 . (10分P(x, y)是椭圆25+力=1上的点且P的纵坐标y" 点A(5,0)、B(5,0),试判断kPA kPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.解析： 因为点P的纵坐标yw0,所以xw圻设p(x, y).kpB =x5所以 kPA kPB =-y-y_= y2x+ 5x 5 x2 25x2 y2因为点P在椭圆西+泊1上,x225x2所以 y2=16x >25=16*b把 y2= 16 x25 x2代入 kPA k