(自己整理)圆锥曲线常考题型总结归纳——配有大题和测试

1、（自己整理）圆锥曲线常考题型总结归纳I1第1页共1页有大题和测试1、定义与轨迹方程问题2、交点与中点弦问题3、弦长及面积问题4、对称问题5、范围问题6、存在性问题7、最值问题8、定值，定点，定直线问题第二部分知识储备一、与一元 二次方程相关的知识（三个“二次”问题）1 判别式：2、韦达定理：若一元二次方程有两个不等的实数根，则，3、求根公式：若一元二次方程有两个不等的实数根，则二、与直线相关的知识1、直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式2、与直线相关的重要内容：倾斜角与斜率：，；点到 直线的距离公式：（一般式）或（斜截式）3、弦长公式：直线上两点间的距离：4、两直线的位置

2、关系：5、中点坐标公式：已知两点，若点线段AB的中点，则三、 圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准 方程及简单性质，文理要求有所不同。文科：掌握椭圆，了解双 曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线1、圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定 义及几何性质。2、圆锥曲线的标准方程：椭圆的标准方程 双曲线的标 准方程抛物线的标准方程3、圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数三者的关 系，的几何意义等4、圆锥曲线的其他知识：通径：椭圆，双曲线，抛物线 焦点三角形的面积：在椭圆上时在双曲线上时四、常结合其他 知识进行综合考查1、圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两

3、圆的位置 关系2、导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线 方程相关的知识3、向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两 向量的平行与垂直的判断条件等4、三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质5、不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明 方法，均值定理等五、不同类型的大题（1）圆锥曲线与圆例1、（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程 为（I ）求双曲线的方程；（II）设直线是圆上动点处的切线， 与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值【解法1本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知 识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推 理、运算

4、能力、（I）由题意，得，解得，J,，所求双曲线的 方程为、（H）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得、由 及得，,切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且，.二，且，设A、B两点的坐标分别为，则，;，且，、J的大小为、 【解法2】（I）同解法1、 （II）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得、由及 得;切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且，J,设A、B两点的坐标分别为，贝山，的大小为、（且， ，从而当时，方程和方程的判别式均大于零）、练习1：已 知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点、 且当时，的面积为、（I ）求椭圆的方程；（II）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为

5、直径的圆是否经过点？并请说 明理由、（2）圆锥曲线与图形形状问题例2、1已知A, B, C是椭圆W： +y2 = l上的三个点，0是坐标 原点、（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此 菱形的面积；（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形0ABe是否 可能为菱形，并说明理由、解：（1）椭圆肌+y2=l的右顶点B 的坐标为（2,0）、因为四边形0ABC为菱形，所以AC与0B相互垂 直平分、所以可设A（l, m）,代入椭圆方程得+ m2 = l,即m=、 所以菱形0ABC的面积是0B| AC|=22 m|=、（2）假设四边形OABC 为菱形、因为点B不是M的顶点，且直线AC不过原点，

6、所以可设 AC的方程为y = kx + m（kW0, mWO）、由消y并整理得（l + 4k2）x2 + 8kmx +4m24 = 0、设 A（xl, yl）, C（x2, y2）,则，、所以 AC 的中点为M、因为M为AC和0B的交点，所以直线0B的斜率为、 因为kW l,所以AC与0B不垂直、所以OABC不是菱形，与假设 矛盾、所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形、 练习1：已知椭圆过点（，），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点 为顶点的三角形是等腰直角三角形、（I）求椭圆的标准方程；（II） 设是椭圆上的动点，是轴上的定点，求的最小值及取最小值时点 的坐标、（3）圆锥曲线与

7、直线问题例3、1已知椭圆，（1）求椭圆的离心率、（2）设为原点， 若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证 明你的结论、解析：椭圆的标准方程为：，则，离心率;（2）直线与圆相切、证明如下：法一：设点的坐标分别为，其中、因 为，所以，即，解得、当时，代入椭圆的方程，得，故直线的方 程为、圆心到直线的距离、此时直线与圆相切、当时，直线的方 程为，即、圆心到直线的距离、又，故、此时直线与圆相切、 法二：由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为， 当时，易知，此时直线的方程为或，原点到直线的距离为， 此时直线与圆相切；当时，直线的方程为，联立得点的坐标 或；联立得点的坐标，由点的

8、坐标的对称性知，无妨取点进行计 算，于是直线的方程为：，即，原点到直线的距离，此时直线与圆 相切。综上知，直线一定与圆相切、法三：当时，易知，此 时，原点到直线的距离，、此时直线与圆相切；当时，直线 的方程为，设，则，联立得点的坐标或；于是，所以，直线 与圆相切；综上知，直线一定与圆相切练习1:已知椭圆过点，且 长轴长是焦距的倍、过椭圆左焦点F的直线交椭圆于A, B两 点，0为坐标原点、（I）求椭圆的标准方程；（H）若直线AB 垂直于x轴，判断点。与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说 明理由；（HI）若点0在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的 斜率的取值范围、（4）圆锥曲线定值与证明问题

9、例4、1已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭 圆上的点到两个焦点的距离之和为、（I ）求椭圆的方程；（II）设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于 点，过原点与平行的直线与椭圆交于点、证明：、解：（I ）设 椭圆的标准方程为，由题意知解得，、所以椭圆的标准方程为、5分(II)设直线的方程为：，则、由得(*)、设，则，是方程(*)的两个根，所以、所 以、设直线的方程为：、由得、设，则，、所以，、 所以、例4、2：已知椭圆C：(a>b>0)的离心率为,A (a,0) ,B(O,b), 0 (0, 0), 0AB的面积为1、 (I)求椭圆C的方程；(I I)设P的

10、椭圆C上一点，直线 PA与Y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N。求证：为定值。练 习1：已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成 的三角形的面积为、(I)求椭圆的方程；(II)已知动直线与椭圆相 交于、两点、若线段中点的横坐标为，求斜率的值;若点，求 证：为定值、练习2：已知抛物线C ： y2 =2 px (p> 0),其焦 点为F, 0为坐标原点，直线AB (不垂直于x轴)过点F且抛物 线C交于A, B两点，直线0A与0B的斜率之积为一p、 (1)求 抛物线C的方程；(2)若M为线段AB的中点，射线0M交抛物 线C于点D ,求证：>2练习3：动点到定点的距离与它到定直

11、 线的距离之比为、(I)求动点的轨迹的方程；(II)已知定点，动点在直线上， 作直线与轨迹的另一个交点为，作直线与轨迹的另一个交点为，证 明：三点共线、(5)圆锥曲线最值问题例5：已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点，、（I）求椭圆 的方程；（H）设点是椭圆上的一个动点，且点在轴的右侧、直 线，与直线分别相交于两点、若以为直径的圆与轴交于两点， 求点横坐标的取值范围及的最大值、解：（I ）由题意可得，1分，2分得，3分解，4分椭圆的标准方程为、 5分（II）设，所以，直线的方程为，6分同理：直线的方程为，直线与直线的交点为，7分直线与直线的交点为，线段的中点，8分所以圆的方程为，9分令，贝&q

12、uot;，10分因为，所以，H分所以，因为这个圆与轴相交，该方程有两个不同的实数解，所以，解得、12分设交点坐标，则（）所以该圆被轴截得的弦长为最大值为2、 14分练习1：已知椭圆C：的一个焦点为F（2, 0）,离心率为。过焦点F的直线1与椭圆C交于A, B两 点，线段AB中点为D, 0为坐标原点，过0, D的直线交椭圆于M, N两点。（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形AMBN面积的 最大值。练习2：已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点、（I ）求 椭圆的方程和离心率；（H）设点，动点在轴上，动点在椭圆 上，且在y轴的右侧，若，求四边形面积的最小值、（6）圆锥曲 线存在性问题例6、已知椭圆：的离

13、心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点、（I ）求 椭圆的方程，并求点的坐标（用表示）；（II）设为原点，点与 点关于轴对称，直线交轴于点、问：轴上是否存在点，使得？若 存在，求点的坐标；若不存在，说明理由、解析：（I）由题意得 解得，故椭圆的方程为设因为，所以直线的方程为，所以，即因 为点与点关于轴对称，所以、设，则、“存在点使得”等价于 “存在点使得”，即满足、因为，所以或，故在轴上存在点，使得，点的坐标为或、练习1：设Fl , F2分别为椭圆的左、右焦 点，点P （1,）在椭圆E上，且点P和F1关于点C （0,）对 称。（1）求椭圆E的方程；（2）过右焦点F2的直线1与椭圆 相交于A, B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另