高中数学 第九章第23课时二面角教师专用教案 新人教A版

1、二面角 一、素质教育目标（一）知识教学点1二面角的有关概念2二面角的平面角的定义及作法（二）能力训练点1利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念；掌握二面角的平面角的定义2用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题，进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力3通过练习，归纳总结作二面角的平面角的三种方法（三）德育渗透点让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点二、教学重点、难点、疑点及解决方法1教学重点：二面角、二面角的平面角的概念2教学难点：如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题3教学疑点：二面角的平面角必须满足下列两个条件：一是平面角的顶

2、点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内三、课时安排1课时四、教与学过程设计（一）二面角师：我们知道，两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫生时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度（图看课本P39中图143），等等这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角”叫二面角，那么如何定义二面角呢？阅读课本P3940，回答下列问题师：我们先来回

3、忆：什么是角？如何表示？生：从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图1117），表示为AOB师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角先给出半平面的定义生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面（如图1119）师：那么如何表示二面角呢？生：棱为AB，面为、的二面角记作二面角AB，如果棱用a表示，则记作二面角a师：二面角的画法通常有哪几种？生：第一种是卧式法，也称为平卧式（如图1120）第二种是立式法，也称为直立式（二）平面角师：为了对相交平面的相

4、互位置作进一步的探讨，有必要研究二面角的大小问题如门和墙所在的平面是相交的，但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上，也就是说两平面虽处于相交的位置关系，但相互之间的位置关系还是应当讨论的为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角师：二面角的大小可以用它的平面角来度量，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度现在我们来思考：问题1：这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理？为什么？生：是合理的如图1121，在二面角a的棱a上任取一点O，在半平面和内，从点O分别作垂

5、直于棱a的射线OA、OB，射线OA和OB组成AOB，在棱上另取任意一点O，按同样的方法作AOB，因为OA和OA、OB和OB都垂直于棱a，所以AOB和AOB的两边分别平行且方向相同，根据等角定理，得：AOBAOB，即AOB的大小是一定的由于这个唯一性，从而说明这样定义二面角的平面角是合理的，且与点O在棱上的位置无关问题2：二面角的平面角必须满足哪几个条件？生：两个条件一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内师：平面角是直角的二面角叫直二面角在实际生活中，木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个角所成二面角的平面角（图见P40中图145）我国发射的第一颗人造

6、地球卫星的倾角是68.5°，就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68.5°（图见P39中图143）下面请同学们完成例题和练习（三）练习例 如图1122，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？解：已知CD=100米，设DH垂直于过BC的水平平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度在平面DBC内，过点D作DGBC，垂足是G，连结GHDH平面BCH，DGBC，GHBC因此，DGH就是坡面DGC和水平平面BCH所成的二面角的平面

7、角，DGH60°，由此得：43.3（米）答：沿直道前进100米，升高约43.3米注：在解题中要特别注意书写规范如：DGBC，GHBC，DGH是坡面DGC和水平面BCH所成二面角的平面角练习：（P4142练习1、2、3、4）1拿一张正三角形的纸片ABC，以它的高AD为折痕，折成一个二面角，指出这个二面角的面、棱、平面角2一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角为什么？3教室相邻两面墙、天花板两两所成的二面角各有多少度？4在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10cm，求它到棱的距离解：1如图1123，二面角BADC中，面AB

8、D，面ACD；棱AD；平面角BDC2如图1124，平面AOBa，平面AOB与平面、的交AOB是二面角a的平面角3如图1125，二面角c，二面角b，二面角a的平面角分别为AOB，AOC，BOC，都是90°4已知：如图1126，二面角AB为30°，P，P到平面的距离为10cm求P到AB的距离解：在内作点P的射影O，过点P作PQAB于Q，连结OQ，根据三垂线定理，可得OQABPQO为二面角AB的平面角，即PQO3O°PO10cm，PQ20cm即P到AB的距离为20cm小结：从上面四题练习，我们可以总结三种作二面角的平面角的一般方法1定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角（如练习1，3）2应用三垂线（逆）定理法：在二面角l的面上取一点A，作AB于B，BCl于C，则ACB即为l的平面角（如练习4）3作垂面法：作棱的垂面