清华数学实验第三章符号计算与微积分ppt课件

1、1/20符号计算与微积分符号计算与微积分 符号表达式及其应用符号表达式及其应用微分和积分符号计算微分和积分符号计算台劳展开式符号计算台劳展开式符号计算旋转曲面绘制方法旋转曲面绘制方法2/20在符号计算中在符号计算中, 符号表达式是主要操作对象符号表达式是主要操作对象.符号表达式符号表达式符号变量、运算符、函数、数字组成符号变量、运算符、函数、数字组成在定义符号表达式之前在定义符号表达式之前,首先要创建符号变量首先要创建符号变量.符号计算又称为计算机代数，以符号形式处理数学表符号计算又称为计算机代数，以符号形式处理数学表达式，关注准确的计算和公式推导。符号计算不仅用达式，关注准确的计算和公式推导

2、。符号计算不仅用于数学研究，还可以用于工程计算于数学研究，还可以用于工程计算 。1993年年MathWorks公司购买公司购买Maple的使用权的使用权,开发了符号计算开发了符号计算工具箱工具箱Symbolic Math Toolbox.syms 符号变量符号变量1 符号变量符号变量2 符号变量创建方法符号变量创建方法3/20syms x ; f = exp(-0.2*x)*sin(0.5*x); ezplot(f,0,8*pi) 例例3.2 用符号表达式定义用符号表达式定义 f(x)= e-0.2xsin0.5x 并绘图并绘图.Name Size Bytes Class f 1x1 168

3、sym object x 1x1 126 sym objectWhos 4/20S1=subs(S, old, new)用用new置换符号表达式置换符号表达式S中的中的old 例例3. 3输入不同的参数输入不同的参数a,b绘制函数的图形绘制函数的图形 f(x)=exp(-a x)sin(b x)符号表达式中变量替换方法符号表达式中变量替换方法syms a b xf=exp(-a*x)*sin(b*x);f1=subs(f,a,0.8);f2=subs(f1,b,0.5);ezplot(f2,0,2*pi)5/20例例3.4 3.4 用符号计算验证三角恒等式用符号计算验证三角恒等式 )sin(s

4、incoscossin212121xxxxxx syms x1 x2;y1= sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2);y2=simple(y1)expand(y2)y2 = sin(x1-x2)ans = sin(x1)*cos(x2)-cos(x1)*sin(x2)练习练习: :分别用分别用simplesimple和和simplifysimplify对符号表达式对符号表达式cos(x)2-sin(x)2cos(x)2-sin(x)2进行化简，观察结果进行化简，观察结果化简符号表达式方法化简符号表达式方法simplify6/20微积分符号计算微积分符号计算diff(f)

5、 对缺省变量求导数对缺省变量求导数diff(f,v) 对指定变量对指定变量 v 求导数求导数diff(f,v,n) 对指定变量对指定变量 v 求求n阶导数阶导数int(f) 对对f表达式的缺省变量求积分表达式的缺省变量求积分int(f,v) 对对f表达式的表达式的v变量求积分变量求积分int(f,v,a,b) 对对f表达式的表达式的v变量在变量在a, b 区间求定积分区间求定积分 7/20例例3.6 3.6 验证求导数公式验证求导数公式 )2sin(sin)( kxxk (k=1，2，3，4 )syms xs=diff(sin(x),1)=sin(x+pi/2); diff(sin(x),2)

6、=sin(x+pi); diff(sin(x),3)=sin(x+3*pi/2); diff(sin(x),4)=sin(x+2*pi)s = 1 1 1 1 Name Size Bytes Class s 1x4 32 double array x 1x1 126 sym objectwhos 8/20例例3.7计算计算 f = 1/(5+4cos(x) 关于关于x的导数的导数syms xf=1/(5+4*cos(x)ezplot(f)f1=diff(f,x,1)ezplot(f1)-6-4-20240.81x1/(5+4 cos(x)-6-4-20246-1-0.500

7、.51x4/(5+4 cos(x)2 sin(x)f1 =4/(5+4*cos(x)2*sin(x)9/20例例3.9 计算不定积分计算不定积分 dxbxeax)sin(syms xint(exp(a*x)*sin(b*x)g=simplify(ans) g = exp(a*x)*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x)/(a2+b2)diff(g)f=simplify(ans) f = exp(a*x)*sin(b*x)cos()sin(1)sin(22bxbbxaebadxbxeaxax 10/20例例3.11 计算曲线段计算曲线段 f(x)=exp(a x)sin(b x), 绕绕

8、X轴旋转的旋转曲面体积轴旋转的旋转曲面体积数据转化为数值数据数据转化为数值数据: double(A) numeric(A)syms a b xf=exp(a*x)*sin(b*x);f1=subs(f,a,-0.2);f2=subs(f1,b,0.5);V=pi*int(f2*f2,x,0,2*pi)double(V) 20 xV =pi*(-125/116*exp(-4/5*pi)+125/116)ans = 3.1111 202)(dxxfV11/20theta=linspace(0,2*pi,20);r=exp(-.2*theta).*sin(0.5*theta);cylinder(r)

9、X,Y,Z=cylinder(r);figure,mesh(Z,X,Y)colormap(0 0 1)注记：旋转曲面的绘图方法如下注记：旋转曲面的绘图方法如下12/20例例3.12 计算二重积分计算二重积分syms x yf=x2*sin(y);int(int(f,x,0,1),y,0,pi)ezmesh(f,0,1,0,pi) Ddxdyyx sin20 , 10| ),( yxyxDans = 2/3 13/20定积分数值计算命令定积分数值计算命令 quad(f, a, b)例例3.14 计算积分上限函数值计算积分上限函数值f=inline(x.3./(exp(x)-1);q= ;for

10、k=1:5 q=q,quad(f,eps,k);endq tdxxxtF031)exp()( t 1 2 3 4 5F(t) 0.2248 1.1764 2.5522 3.8771 4.8999024681000.511.514/20级数求和运算级数求和运算S=symsum(f，n，a，b) syms k nS=symsum(k,k,1,n)；S1=simple(S)S1 =1/2*n*(n+1)S=symsum(k2,k,1,n);S2=simple(S)S2 =1/6*n*(n+1)*(2*n+1)nkSnk 2111例例3.17计算级数计算级数2212221nkSnk 15/20tayl

11、or(f,n,x) n-1次麦克劳林多项式展开次麦克劳林多项式展开taylor(f,n,x,a) a点的点的n-1次泰勒多项式展开次泰勒多项式展开. 例例3.21求椭圆积分近似表达式求椭圆积分近似表达式syms t e2 xf=sqrt(1-e2*x)F=taylor(f,3,x)g=subs(F,x,cos(t)2)int(g,0,pi/2) ans= 1/2*pi-1/8*e2*pi-3/128*e22*pi 2/022cos1 dtte)643411(2cos1422/022eedtte 16/20定积分近似计算实验定积分近似计算实验syms e2 tf=sqrt(1-e2*cos(t)

12、2);S1=inline(1/2*pi-1/8*E2*pi-3/128*E22*pi);E2=0.2;P=;Q=;符号计算符号计算近似计算近似计算for k=1:5 E2=E2+.1; P=P,S1(E2); f1=subs(f,e2,E2); S=int(f1,0,pi/2); Q=Q,double(S);endQ;P1.4454 1.3994 1.3506 1.2984 1.24171.4464 1.4019 1.3560 1.3087 1.259817/20命令格式：命令格式：dsolve(eq1,con1,x)y的一阶导数的一阶导数 Dy, y的二阶导数的二阶导数 D2y例例3.26

13、解微分方程解微分方程y = dsolve(Dy=1/(1+x2)-2*y2,y(0) = 0,x)y = 2*x/(2*x2+2)22211yxy 符号解：符号解： y(x)= x / (1 + y(x)= x / (1 + x 2) x 2) 0)0( y18/200123456700.8旋转曲面绘制方法旋转曲面绘制方法非负函数非负函数 y =f(x)在有限区间上的图形为上半平面在有限区间上的图形为上半平面的一条曲线，曲线绕的一条曲线，曲线绕x轴旋转时，产生以轴旋转时，产生以x为对称为对称轴的旋转曲面，方程为轴的旋转曲面，方程为 )(22xfzy 绘制网面需创建三维坐标绘制

14、网面需创建三维坐标矩阵矩阵,对某一确定的对某一确定的x=t,旋旋转曲面上对应于过点转曲面上对应于过点x=t垂直于垂直于X轴的圆轴的圆,该圆周上该圆周上所有点的所有点的X坐标不变，坐标不变，y和和z的坐标则满足圆的方的坐标则满足圆的方程程 19/20f=inline(exp(-0.2*x).*sin(0.5*x);t=(0:20)*pi/10;theta=t;r=f(t);x=t*ones(size(t);y=r*cos(theta);z=r*sin(theta);mesh(x,y,z)colormap(0 0 0)axis offview(-17,54)5 . 0sin()(2 . 0 xexfx 曲线曲线 绕绕X X轴旋转图形绘制轴旋转图形绘制)(22xfzy cos)(tfy sin)(tfz tx 20/20思考题与练习题思考题与练习题用用syms x 定义了符号变量定义了符号变量,表达