复变函数习题答案习题详解

1、第三章习题详解1 沿下列路线计算积分。1) 自原点至的直线段；解：连接自原点至的直线段的参数方程为： 2) 自原点沿实轴至，再由铅直向上至；解：连接自原点沿实轴至的参数方程为： 连接自铅直向上至的参数方程为： 3) 自原点沿虚轴至，再由沿水平方向向右至。解：连接自原点沿虚轴至的参数方程为： 连接自沿水平方向向右至的参数方程为： 2 分别沿与算出积分的值。解： 而3 设在单连通域内处处解析，为内任何一条正向简单闭曲线。问，是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。解：不成立。 例如：，4 利用在单位圆上的性质，及柯西积分公式说明，其中为正向单位圆周。解： 5 计算积分的值，其中为正向圆

2、周：1) ；解：在上， 解：在上， 6 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？是正向的圆周。解：在内解析，根据柯西古萨定理，解：在内解析，根据柯西古萨定理，解：在内解析，根据柯西古萨定理，解：在内解析，在内，解：在内解析，根据柯西古萨定理，解：在内解析，在内，7 沿指定曲线的正向计算下列各积分：1) ，：解：在内，在解析，根据柯西积分公式：2) ，：解：在内，在解析，根据柯西积分公式：3) ，：解：在内，在解析，根据柯西积分公式：4) ，：解：不在内，在解析，根据柯西古萨定理：5) ，：解：在解析，根据柯西古萨定理：6) ，：为包围的闭曲线解：在解析，根据柯西古萨定理：7)

3、，：解：在内，在解析，根据柯西积分公式：8) ，：解：在内，在解析，根据柯西积分公式：9) ，：解：在内，在解析，根据高阶导数公式：10) ，：解：在内，在解析，根据高阶导数公式：8 计算下列各题：解：1) ；解：2) ；解：3) ；解：4) ；解：5) （沿到的直线段）。解：9 计算下列积分：1) ，（其中：为正向）；解：2) ，（其中：为正向）；解：3) ，（其中：为正向，：为负向）；解：在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：4) ，：（其中为以，为顶点的正向菱形）；解：在所给区域内，有一孤立奇点，由柯西积分公式：5) ，（其中为的任何复数，：为正向）。解：当，在所给区域内解析，根据柯西古

4、萨基本定理： 当，在所给区域内解析，根据高阶导数公式：10 证明：当为任何不通过原点的简单闭曲线时，。证明：当所围成的区域不含原点时，根据柯西古萨基本定理：； 当所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：；11 下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？解：1）； 2） 由此可见，1）和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为在复平面上处处不解析。12 设区域为右半平面，为内圆周上的任意一点，用在内的任意一条曲线连接原点与，证明。提示：可取从原点沿实轴到，再从沿圆周到的曲线作为。证明：因为在内解析，故积分与路径无关，取从原点沿实轴到

5、，再从沿圆周到的曲线作为，则：13 设和为相交于、两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为与。与的公共部分为。如果在与内解析，在、上也解析，证明：。证明：如图所示，在与内解析，在、上也解析，由柯西古萨基本定理有：14 设为不经过与的正向简单闭曲线，为不等于零的任何复数，试就与跟的不同位置，计算积分的值。解：分四种情况讨论：1） 如果与都在的外部，则在内解析，柯西古萨基本定理有2） 如果与都在的内部，由柯西积分公式有3） 如果在的内部，都在的外部，则在内解析，由柯西积分公式有4） 如果在的外部，都在的内部，则在内解析，由柯西积分公式有15 设与为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明证明：因

6、为与为两条互不包含，也不相交，故与只有相离的位置关系，如图所所示。1） 当在内时，在内解析，根据柯西古萨基本定理以及柯西积分公式：2） 当在内时，在内解析，根据柯西古萨基本定理以及柯西积分公式：16 设函数在内解析，且沿任何圆周：，的积分等于零，问是否必需在处解析？试举例说明之。解：不一定。例如：在处不解析，但。17 设与在区域内处处解析，为内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于。如果在上所有的点处成立，试证在内所有的点处也成立。证明：设是内任意一点，因为与在及内解析，由柯西积分公式有： ， 又在上所有的点处成立，故有： 即在内所有的点处成立。18 设区域是圆环域，在内解析，以圆环的中心为中心

7、作正向圆周与，包含，为，之间任一点，试证仍成立，但要换成。证明：19 设在单连通域内处处解析，且不为零，为内任何一条简单闭曲线。问积分是否等于零？为什么？解：因为在单连通域内处处解析且不为零，又解析函数的导数仍然是解析函数，故在内处处解析。根据柯西古萨基本定理，有20 试说明柯西古萨基本定理中的为什么可以不是简单闭曲线？解：如不是简单闭曲线，将分为几个简单闭曲线的和。如，则，是简单闭曲线。21 设在区域内解析，为内的任意一条正向简单闭曲线，证明：在对内但不在上的任意一点，等式成立。证明：分两种情况：1） 如果在的外部，和在内解析，故2） 如果在的内部，在内解析的函数，其导函数仍是内的解析函数，

8、根据柯西积分公式有：由高阶导数公式有：22 如果和都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而，那末是的解析函数。证明： ， ，又和都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等，即，。和满足拉普拉斯方程：，故是的解析函数。23 设为区域内的调和函数及，问是不是内的解析函数？为什么？解：设，则， ， ， 因为为区域内的调和函数，具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程 ， 是内的解析函数。24 函数是的共轭调和函数吗？为什么？解：， ， 故函数不是的共轭调和函数。25 设和都是调和函数，如果是的共轭调和函数，那末也是的共轭调和函数。这句话对吗？为什么？解：这句话不对。如果是的共轭调和函数，则是解析函数，满足

9、柯西黎曼方程： ， ， 即是的共轭调和函数，就不是的共轭调和函数。26 证明：一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数。证明：27 如果是一解析函数，试证：1) 也是解析函数；证明：2) 是的共轭调和函数；证明：3) 。证明：28 证明；和都是调和函数，但是不是解析函数。证明29 求具有下列形式的所有调和函数：1) ，与为常数；解：2) 。提示：1)l令，因，从而有；2)令。解：30 由下列各已知调和函数求解析函数。1) ；解：2) ，；解：3) ，；解：4) ，。解：31 设，求的值使为调和函数，并求出解析函数。解：32 如果是区域内的调和函数，为内以为中心的任何一个正向圆周：，它的内部全含于。试证：提示：利用平均值公式。1) 在的值等于在圆周上的平均值，即；证明：2) 在的值等于，在圆域上的平均值，即。证明：33 如果在区域内处处解析，为的正向圆周：，它的内部全含于。设为内一点，并令，试证。证明：34 根据柯西积分公式与习题33的结果，证明，其中为。证明：35 如果令，验证。并由34题的结果，证明。取其实部，得。这个积分称为泊松积分。通过这个积分，一个调和函数在一个圆内的值可用它在圆周上的值来表示。证明：36 设在简单闭曲线内及上