高等数学3-7凹凸性ppt课件

1、一、曲线凹凸的定义一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyo图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABCxyo)(xfy 1x2x)2(21xxf )(1xf)(2xf221xx xyo1x2x)(xfy )(2xf)(1xf221xx 定义定义（或或凸凸弧弧）的的上上的的图图形形是是（向向上上）凸凸在在那那末末称称如如果果恒恒有有（或或凹凹弧弧）的的上上的的图图形形是是（向向上上）凹凹在在那那末末称称恒恒有有点点上上任任意意两两如如果果对对上上连连续续在在区区间间设设)()

2、(,2)()()2(;)()(,2)()()2(,)(2121212121convexIxfxfxfxxfconcaveIxfxfxfxxfxxIIxf ;)(,)(,)(),(,)(的的或或凸凸内内的的图图形形是是凹凹在在那那末末称称的的或或凸凸内内的的图图形形是是凹凹且且在在内内连连续续在在如如果果baxfbabaxf二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定递递增增)(xf 0 y递递减减)(xf 0 yxyo)(xfy abABxyo)(xfy abBA定理定理1 1).(,)(, 0)()2();(,)(, 0)()1(),(,),(,)( 上上的的图图形形是是凸凸的的在在则则上上的的图图

3、形形是是凹凹的的在在则则内内若若在在一一阶阶和和二二阶阶导导数数内内具具有有在在上上连连续续在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0 ,(时，时，当当0 x, 0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线), 0 .)0 , 0(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到,例例1 1的的凹凹凸凸性性判判断断曲曲线线3xy (concavity and convexity).三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法注意注意(1)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线;

4、(2)拐点在曲线上拐点在曲线上.(knee)方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数;)(,(,)()1(000即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不不是是拐拐点点点点不不变变号号两两近近旁旁xfxxfx 000000( ),()()0,()0,(,(20()9)0(.f xxfxfxfxxf xyf x 设设函函数数在在的的某某邻邻域域内内具具有有三三阶阶连连续续导导数数而而那那末末是是见见教教材材页页的的拐拐点点习习题题线线）曲曲2、拐点的求法：、拐点的求法：证证,)(二阶可导二阶可导

5、xf,)(存存在在且且连连续续xf , )()(0两两边边变变号号在在则则xxfxf ,)(,(00是拐点是拐点又又xfx,)(0取得极值取得极值在在xxf ,条条件件由由可可导导函函数数取取得得极极值值的的. 0)(0 xf( necessary condition)是是拐拐点点连连续续，)(,()(00 xfxxf. 0)(0 xf变变号号过过且且0 0)(, 0)(xxfxf 是是拐拐点点)(,(00 xfx解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的

6、凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32(例例2(P199)2(P199)区区间间的的拐拐点点及及凹凹、凸凸的的求求曲曲线线1x4x3y34 (regions of concavity and convexity).,32,32, 0,0 ,( 凹凹凸凸区区间间为为方法方法2:2:000000( ),()()0,()0 ,(, ()( ).f xxf xfxfxxf xyf x 设设函函数数在在的的邻邻域域内内三三阶阶可可导导 且且而而那那末末是是曲曲线线的的拐拐点点例例3 3.)2 , 0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线 xxy解解,sincosxxy ,cossin

7、xxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 例例4(P199)4(P199).3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy532,9yx .,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,)0 ,( y内内但但在在;0 ,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0 , 0(3的的拐拐点点是是曲曲线线点点xy .)()(,(,)(0)(0000 的可能拐

8、点的可能拐点是连续曲线是连续曲线点点不存在不存在或或xfyxfxxfxf 注意注意: :例例5 5补充）补充）拐拐点点？的的是是否否曲曲线线点点 ln)0 , 1(xy . 1,ln; 10 ,lnxxxxy , 1yyx在在曲曲线线是是凹凹的的时时，, 01,1102 xyxyx曲曲线线是是凸凸的的时时，,01,112 xyxyx例例6(补充证明不等式补充证明不等式).20(sin2 xxx,2sin)(xxxf ,2cos)( xxf.sin)(xxf , 0)(),2, 0( xfx .2sin)(,)20是是凸凸的的内内，在在（xxxf , 0)(),2, 0( xfx 对对).20(

9、2sin xxxxyo2 xxy 2sin , 0)2()0( ff例例7 7P200,P200,习题习题3-73-7，3 31 1）利用凹凸性证明：）利用凹凸性证明：)1, 0, 0()2()(21 nyxyxyxyxnnn)1()( nuufn令令2 1)1()(,)( nnunnufnuuf0)(01 ufun时，时，当当 上上是是凹凹的的，在在 0nuy)2(2f(y)f(x) , 0, 0yxfyxyx 义义时，由定时，由定当当)1()2()21 nyxyxnnn（即即四、小结四、小结Brief summary)1、曲线的弯曲方向、曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;2、改变弯曲方向的点、改

10、变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定(定理定理1).曲线曲线 的凹凸区间及拐点的求法的凹凸区间及拐点的求法:)(xfy (1)求求);(),(xfxf (2)解方程解方程, 0)( xf并求并求)(xf 不存在的点不存在的点;(3)用上述点划分用上述点划分的定义域，列表讨论；的定义域，列表讨论；)(xf(4)写出凹凸区间及拐点写出凹凸区间及拐点.思考题思考题设设)(xf在在),(ba内内二二阶阶可可导导，且且0)(0 xf，其其中中),(0bax ，则则,(0 x)(0 xf是是否否一一定定为为曲曲线线)(xf的的拐拐点点？举举例例说说明明.思考题解答思考题解答故故,(0 x)(0

11、 xf不不一一定定是是拐拐点点.例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并并不不是是曲曲线线)(xf的的拐拐点点.)0(0)(0)( 或或外外，恒恒有有xfxf一一、 填填空空题题：1 1、 若若函函数数)(xfy 在在 （ba,） 可可导导， 则则曲曲线线)(xf在在( (ba,) )内内取取凹凹的的充充要要条条件件是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 曲曲线线上上_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的点点，称称作作曲曲线线的的拐拐点点 . .3 3、 曲曲线线)1ln(2xy 的的拐拐点点为为_ _ _ _ _ _ _ _

12、_ _ _. .4 4、 曲曲线线)1ln(xy 拐拐点点为为_ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 求求曲曲线线xeyarctan 的的拐拐点点及及凹凹凸凸区区间间 . .三三、 利利用用函函数数图图形形的的凹凹凸凸性性，证证明明不不等等式式： 22yxyxeee )(yx . .四四、求求曲曲线线 2sin2cot2ayax的的拐拐点点 . .练练 习习 题题五五、 试试证证明明曲曲线线112 xxy有有三三个个拐拐点点位位于于同同一一直直线线上上 . .六六、 问问a及及b为为何何值值时时，点点( (1 1, ,3 3) )为为曲曲线线23bxaxy 的的拐拐点点？七七、 试试决决定定22)3( xky中中k的的值值, ,使使曲曲线线的的拐拐点点处处的的法法线线通通过过原原点点 . .一一、1 1、),()(baxf在在 内内递递增增或或0)(),( xfbax； 2 2、凹凹凸凸部部分分的的分分界界点点；3 3、2 ,(),2),2,2(2 e； 4 4、)2ln, 1(),2ln,